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Inégalité

Posté par
kaitokid 22-10-21 à 19:47

Bonsoir...
Ça fait plus de deux jours que j'essaie de prouvet une inégalité dans un Dm..Si quelqu'un pourrait m'aider...
Bon voici l'inégalité a démontrer :
(n*) ((n+1)/2)ⁿ≥1×2×3×...×n.
J'ai utilisé un raisonnement par réccurence.. dans l'étape d'hérédité..j'ai démontré qu'on a (1+a)^(n+1)1+(1+n)a..puis je me suis bloquée..
Merci d'avance.

Posté par
carpediemre : Inégalité 22-10-21 à 21:21

salut

et ton énoncé n'est constitué que de cette unique question ?

Posté par
ty59847re : Inégalité 22-10-21 à 21:25

Pas sûr que la récurrence soit très efficace ici. Le terme de gauche change d'une façon qui ne se prête pas à une démonstration par récurrence.
Traite séparément le cas n pair et le cas n impair.

Posté par
kaitokidre : Inégalité 22-10-21 à 21:45

carpediem @ 22-10-2021 à 21:21

salut

et ton énoncé n'est constitué que de cette unique question ?

Ouii c'est la seule question

Posté par
kaitokidre : Inégalité 22-10-21 à 21:46

ty59847ty59847

ty59847 @ 22-10-2021 à 21:25

Pas sûr que la récurrence soit très efficace ici. Le terme de gauche change d'une façon qui ne se prête pas à une démonstration par récurrence.
Traite séparément le cas n pair et le cas n impair.
Ok je vais essayer puis répondre.

Posté par
kaitokidre : Inégalité 22-10-21 à 21:52

Dois je donc prendre un nombre k comme variable dans les deux cas ? Si n pair alors il existe un entier k tel que n=2k..et dans l'autre cas n=2k+1? C'est ça ?

Posté par
bernardo314re : Inégalité 22-10-21 à 22:58

Bonsoir,

Il me semble que la récurrence fonctionne , tu veux  (n+1)! <[(n+2)/2]n+1.
Il  suffit  d'après l'hypothèse de récurrence que  (n+1)[(n+1)/2]n < [(n+2)/2]n+1.
Tu divises tout par  (n+1)/2]n   il te reste  (n+1) < (1+1/(n+1))n (n+2)/2  .  Tu utilises ce que tu as prouvé :
(1+ 1/(n+1))n > 1+ n/(n+1)    et sauf erreur de calcul, ça passe.

Posté par
kaitokidre : Inégalité 23-10-21 à 15:57

Ok ça a bien fonctioné..
Mercii beaucoupp

Posté par
lakere : Inégalité 23-10-21 à 16:45

Bonjour,

Une preuve directe :

Il est facile de prouver que pour a et b positifs, \sqrt{ab}\leq \dfrac{a+b}{2} (cas particulier de l'inégalité entre moyennes géométrique et arithmétique).
qui peut s'écrire : ab\leq\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2  (1)

  (n!)^2=\prod_{k=1}^nk(n+1-k)

  (n!)^2\leq \prod_{k=1}^n\left(\dfrac{n+1}{2}\right)^2 (avec (1))

   (n!)^2\leq \left(\dfrac{n,+1}{2}\right)^{2n}

   n!\leq \left(\dfrac{n+1}{2}\right)^n

Posté par
carpediemre : Inégalité 23-10-21 à 16:46

salut

une autre façon de faire si on connait la fonction ln ...

éventuellement distinguer suivant la parité de n ...


posons p = \dfrac {n + 1} 2 ou  p = E \left( \dfrac {n + 1} 2 \right)

en remarquant que 2p = n + 1 = n - 1 + 2 = n - 2 + 3 = ... n - p + p

on veut démonter que p^n \ge n! \iff n \ln p \ge \sum_1^n \ln k \iff 2n\ln p \ge \sum_1^n \ln k + \sum_1^n \ln(n + 1 - k) \iff n \ln p \ge \dfrac 1 2 \sum_1^n [\ln k + \ln (n + 1 - k)]

alors il suffit de montrer que \ln p \ge \dfrac 1 2 [\ln (p - k) + \ln (p + k)]

ce qui est vrai puisque la fonction ln est concave ...

Posté par
carpediemre : Inégalité 23-10-21 à 16:48

ha ben lake exprime plus simplement ce que j'exprime plus compliquément !!!

Posté par
lakere : Inégalité 23-10-21 à 16:50

Posté par
kaitokidre : Inégalité 23-10-21 à 16:56

Vous êtes tous les meilleurs...Merci infiniment.


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