Salut,
Soit un entier positif et soit des réels positifs.
Montrer que :
J'ai essayé de trivialiser en passant par les Inégalités arithmético-géométrique puis ensuite passer au log mais ça ne marche pas.
Quelqu'un aurait d'autres pistes ?
Bonjour,
Une récurrence peut-être.
L'initialisation se fait bien.
On doit montrer que 4-a2+2a+3.
Je ne suis pas allé plus loin pour le moment
Bonsoir,
J'arrive à quelque chose dans le cas particulier où la somme des ai (notée S) est inférieure à (n-1)ln(2).
Si on ramène tout du même côté, l'inégalité équivaut à :
Puis avec l'inégalité des moyennes, on minore le membre de gauche :
Par ailleurs, le dénominateur du membre de droite peut être majoré en utilisant 1+x exp(x) ce qui donne (je note S la somme des ai):
Et cette quantité est supérieure à 1 lorsque S(n-1)ln(2)
On note que l'application directe (et très tentante) de l'inégalité des moyennes ne permettra pas de répondre à la question dans le cas général car la minoration obtenue peut être inférieure à 1 lorsqu'on prend par exemple a0=a1=...=0 et an=2n... c'est trop grossier, il faut trouver autre chose.
Bonne soirée
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