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Inégalité

Posté par
matheux14 01-10-24 à 19:35

Salut,

Soit n un entier positif et soit a_1, a_2, \dots, a_n des réels positifs.

Montrer que : \sum\limits^n_{i = 1} \dfrac{1}{2^i} \left(\dfrac{2}{1 + a_i}\right)^{2^i} \ge \dfrac{2}{1 + a_1 a_2 \dots a_n} - \dfrac{1}{2^n}

J'ai essayé de trivialiser en passant par les Inégalités arithmético-géométrique puis ensuite passer au log mais ça ne marche pas.

Quelqu'un aurait d'autres pistes ?

Posté par
matheux14re : Inégalité 02-10-24 à 09:52

Posté par
sanantonio312re : Inégalité 02-10-24 à 17:31

Bonjour,
Une récurrence peut-être.
L'initialisation se fait bien.
On doit montrer que 4-a2+2a+3.
Je ne suis pas allé plus loin pour le moment

Posté par
matheux14re : Inégalité 02-10-24 à 18:36

Salut sanantonio312, a = a_i ?

Posté par
matheux14re : Inégalité 02-10-24 à 18:39

Pourriez vous détailler un peu plus votre raisonnement ?

Posté par
matheux14re : Inégalité 02-10-24 à 18:44

4 est bien le maximum de -x^2 + 2x + 3,  \forall x \in \R.

Posté par
matheux14re : Inégalité 02-10-24 à 18:49

(-x^2+ 2x + 3) - 4 = -x^2 + 2x - 1 = - (x^2 - 2x + 1) = -(x - 1)^2 \le 0

Posté par
thetapinch27re : Inégalité 02-10-24 à 21:47

Bonsoir,

J'arrive à quelque chose dans le cas particulier où la somme des ai (notée S) est inférieure à (n-1)ln(2).

Si on ramène tout du même côté, l'inégalité équivaut à :

\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{2^i} \left( \frac{ 2(1+\prod_{i=1}^n a_i)^{2^{-i}}} {2^{2^{-i}} (1+a_i)}  \right)^{2^i} + \dfrac{1}{2^n}\dfrac{1+\prod_{i=1}^n a_i}{2} \geq 1

Puis avec l'inégalité des moyennes, on minore le membre de gauche :

\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{2^i} \left( \frac{ 2(1+\prod_{i=1}^n a_i)^{2^{-i}}} {2^{2^{-i}} (1+a_i)}  \right)^{2^i} + \dfrac{1}{2^n}\dfrac{1+\prod_{i=1}^n a_i}{2} \geq \dfrac{2^n (1+\prod_{i=1}^n a_i)}{ 2 \prod_{i=1}^n (1+a_i)}

Par ailleurs, le dénominateur du membre de droite peut être majoré en utilisant 1+x exp(x) ce qui donne (je note S la somme des ai):

\dfrac{2^n (1+\prod_{i=1}^n a_i)}{ 2 \prod_{i=1}^n (1+a_i)} \geq \dfrac{2^n (1+\prod_{i=1}^n a_i)}{ 2 \exp(S)}
Et cette quantité est supérieure à 1 lorsque S(n-1)ln(2)

On note que l'application directe (et très tentante) de l'inégalité des moyennes ne permettra pas de répondre à la question dans le cas général car la minoration obtenue peut être inférieure à 1 lorsqu'on prend par exemple a0=a1=...=0 et an=2n... c'est trop grossier, il faut trouver autre chose.

Bonne soirée

Posté par
sanantonio312re : Inégalité 03-10-24 à 16:36

Citation :
Salut sanantonio312, a = a_i ?

J'aurais dû préciser: avec a=a1
Pour initialiser la récurrence avec n=1, j'ai voulu motrer que \dfrac{1}{2}(\dfrac{2}{1+a})^2 \geq \dfrac{2}{1+a}-\dfrac{1}{2}
Ce qui m'a amener à vérifier que 4-a2+2a+3 a+
Ça, c'est facile.

Pour l'hérédité, j'ai commencé des calculs en notant =a1a2...an et an+1=a pour alléger l'écriture.
Ça m'a amener à comparer \dfrac{1}{2^{n+1}}(\dfrac{2}{1+a})^2^{n+1} et \dfrac{2}{1+\alpha a}-\dfrac{1}{2^{n+1}}-\dfrac{2}{1+\alpha }+\dfrac{1}{2^n}

Mais c'est un peu galère...
Je ne suis donc pas convaincu que la méthode soit bonne.


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