Je suppose connu l'inégalité de Young, à savoir : pour tout
positif, pour
et
deux réels strictement positifs tels que
, on a :
(1)
Je pose
et
Si
, alors puisque
et
, on a
De même, si
, on a :
Supposons donc
et
Alors, de (1), on déduit :
D'où le résultat.
En fait, on peut prendre des suites à valeurs négatives à conditions de mettre des valeurs absolues dans l'inégalité. Idem pour celle de Young.