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Inégalités

Posté par
Yona07
17-11-21 à 20:37

Bonjour!

1/ Soient a, b, c et d quatre réels strictement positifs, montrer que:

\frac{a+c}{a+b}+\frac{b+d}{b+c}+\frac{c+a}{c+d}+\frac{d+b}{d+a}\geq 4

2/ Soient a, b, c trois réels compris entre 0  et 1, montrer que:

\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}\leq 2

Discuter le cas d'égalité.

Merci d'avance!

Posté par
malou Webmaster
re : Inégalités 17-11-21 à 20:39

Bonsoir

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q01 - Que dois-je faire avant de poster une question ?

Posté par
Yona07
re : Inégalités 17-11-21 à 23:46

Bonjour!

Concernant 2:
J'ai pensé à faire apparaitre:

\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}+\frac{1}{1+ab}\geq \frac{3}{2}

On a:

\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}=\frac{a(1+bc-bc)}{1+bc}+\frac{b(1+ac-ac)}{1+ac}+\frac{c(1+ab-ab)}{1+ab}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{a(1+bc)}{1+bc}-\frac{abc}{1+bc}+\frac{b(1+ac)}{1+ac}-\frac{abc}{1+ac}+\frac{c(1+ab)}{1+ab}-\frac{abc}{1+ab}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; =a+b+c-abc(\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}+\frac{1}{1+ab})\\ \\
 \\ \text{Donc: } \frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}\leq a+b+c-\frac{3abc}{2}

On pose: f(c)=a+b+c-\frac{3abc}{2}

On a:  0c1
Et: f(0)=a+b\leq 2
Et: f(1)=a+b+1-\frac{3ab}{2}\leq 2

En fait:
f(c)=a+b+c-\frac{3abc}{2}= a+b - c(a+b) +c (a+b+1-\frac{3ab}{2})=f(0)(1-c)+cf(1)\leq 2

Ainsi:

\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}\leq a+b+c-\frac{3abc}{2}\leq 2

Ce qui fallait démontrer.

Posté par
Yona07
re : Inégalités 17-11-21 à 23:53

Mais je m'en doute. Dans l'exo où j'ai démontré que :

\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}+\frac{1}{1+ab}\geq \frac{3}{2}, j'avais a^2+b^2+c^2=3, et on a égalité si a=b=c=1..

Posté par
bernardo314
re : Inégalités 18-11-21 à 00:15

Bonjour,

Pour la  1)  j'essaierais d'ordonner  a,b,c,d  et de voir quels sont les plus grandes sommes...mais il est tard (inégalités du réordonnement)

Posté par
Yona07
re : Inégalités 18-11-21 à 00:46

Bonjour!
Merci pour avoir répondu!
le 2 est correct??
Je vais essayé d'appliquer l'inégalité de réarrangement pour montrer 1. J'ai pensé à Cauchy.. En tous cas, je vais essayer.

Posté par
carpediem
re : Inégalités 18-11-21 à 09:53

salut

\dfrac {a + c} {a + b} = 1 + \dfrac {c - b} {a + c} donc

\dfrac {a + c} {a + b} + \dfrac {b + d} {b + c} + \dfrac {c + a} {c + d} + \dfrac {d + b} {d + a} = 4 + \dfrac {c - b} {a + b} + \dfrac {d - c}{b + c} + \dfrac {a - d} {c + d} + \dfrac {b - a} {d + a}

peut-être cela est-il intéressant ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Inégalités 21-11-21 à 19:17

Bonsoir,
Pas de réaction de Yona07. Pourtant, la piste de carpediem permet d'aboutir.

Posté par
Yona07
re : Inégalités 21-11-21 à 21:47

Bonsoir!
Je suis tellement désolée. Je me suis chargée de faire d'autres exos et j'ai oublié celui-ci.
Je vais essayer de le résoudre maintenant.
Merci infiniment pour vos interventions!



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