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Inégalités, plus !!

Posté par Khue (invité) 19-07-07 à 12:33

Je vous présente quelques inégalités jolies et difficiles

Inégalité 1 (Vasîle Cîrtoaje). Pour tous a,b,c, on a
(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)

Inégalité 2 (Le.H.D.Khue). Pour tous a,b,c deux à deux différants, on a
\frac{a^2}{(a-b)^2}+\frac{b^2}{(b-c)^2}+\frac{c^2}{(c-a)^2} \ge 1

Inégalité 3,4,... : À la prochaine   
Je vous présente quelques inégalités jolies et difficiles

édit Océane

Posté par
nomisre : Inégalités, plus !! 19-07-07 à 13:15

salut!

tu veux que l'on te les démontre ?

Posté par
imène-mathsre : Inégalités, plus !! 20-07-07 à 16:40

je pense oui!

Posté par
moctarre : Inégalités, plus !! 20-07-07 à 17:42

Bonsoir,
Pour la première: (je suppose que les réels sont positifs)

Par la symétrie des roles,je suppose que 4$a\ge b\ge c(1) donc 4$a^2\ge b^2\ge c^2

4$(a^2+b^2+c^2)^2=(a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)

dont d'après l'inégalité de Chebyshev 4$(a^2+b^2+c^2)^2\ge 3(a^4+b^4+c^4)

Et d'après le (1) 4$a^4\ge a^3b,b^4\ge b^3c,c^4\ge c^3a

donc 4$(a^2+b^2+c^2)^2\ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)

Posté par
moctarre : Inégalités, plus !! 20-07-07 à 23:55

j'ai fait une erreur dans l'utilisation de l'inégalité de Chebyshev,je vais refaire ma démonstration.

Posté par Khue (invité)re : Inégalités, plus !! 21-07-07 à 04:35

On a (a^2+b^2+c^2) \le 3(a^4+b^4+c^4) pour tous a,b,c, moctar.
Cette inégalité est très difficile.

Posté par
moctarre : Inégalités, plus !! 21-07-07 à 12:44

c'est ce que je me disais.
je recommence...
Commencons par montrer que 4$(a^2+b^2+c^2)^2\ge 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)

En faisant la différence on obtient:

4$(a^2+b^2+c^2)^2-3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=a^4+b^4+c^4-a^2b^2b^2c^2-c^2a^2

4$(a^2+b^2+c^2)^2-3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=\frac{1}{2}(a^4-2a^2b^2+b^4+b^4-2b^2c^2+c^4+c^4-2c^2a^2+a^4)

4$(a^2+b^2+c^2)^2-3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=\frac{1}{2}((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)\ge 0

Donc 4$(a^2+b^2+c^2)^2\ge 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)

Par la symétrie des roles,supossons 4$a\ge b\ge c alors:

4$(a^2+b^2+c^2)^2\ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)

Est ce juste ?

Posté par Khue (invité)re : Inégalités, plus !! 22-07-07 à 05:00

Mais nous ne pouvons pas supposer que a \ge b \ge c, moctar

Posté par
moctarre : Inégalités, plus !! 22-07-07 à 12:19

et pourquoi on ne peut pas ?
Ce serait toujours le même résultat si on met b ou c devant...

Posté par Khue (invité)re : Inégalités, plus !! 24-07-07 à 12:59

Okie. Prouve pour a \ge c \ge b, moctar !

Posté par Khue (invité)Belle inégalité 24-07-07 à 13:23

Problème (Le.H.D. Khue). Pour tous a,b,c deux à deux différants, on a
\frac{a^2}{(a-b)^2}+\frac{b^2}{(b-c)^2}+\frac{c^2}{(c-a)^2} \ge 1

*** message déplacé ***

Posté par
nomisre : Belle inégalité 24-07-07 à 13:33

déja bonjour...

*** message déplacé ***

Posté par Scott_parker (invité)re : Belle inégalité 24-07-07 à 13:46

Je sens que cette question n'aura pas beaucoup de reponse

*** message déplacé ***

Posté par Khue (invité)re : Belle inégalité 24-07-07 à 13:50

C'est une inégalité difficile !
Allez ! Allez !

*** message déplacé ***

Posté par
1 Schumi 1re : Belle inégalité 24-07-07 à 13:56

Khue >> Si tu veux qe des personnes participent à tes exos, commence avec un minimum de politesse. Je te le répète tout le temps.
Lis la FAQ si tu t'es toujours pas décidé de le faire. C'est le moment ou jamais. Ca commence franchement à devenir lassant à la fin.



*** message déplacé ***

Posté par
gloubire : Belle inégalité 24-07-07 à 14:06

Khue, tu as déjà posé la question, dans le forum "Lycée", le 19/07.
Sur lequel tu es d'ailleurs revenu aujourd'hui...  

gloubi

*** message déplacé ***

Posté par
moctarre : Inégalités, plus !! 24-07-07 à 16:37

on a du mal à se comprendre toi et moi,j'attends ta solution...

Posté par Khue (invité)re : Inégalités, plus !! 25-07-07 à 12:18

Citation :
Khue >> Si tu veux qe des personnes participent à tes exos, commence avec un minimum de politesse. Je te le répète tout le temps.
Lis la FAQ si tu t'es toujours pas décidé de le faire. C'est le moment ou jamais. Ca commence franchement à devenir lassant à la fin.

Merci beaucoup Schumi. Je ferai attention. Pardon tous les gens ! Parce que je suis étranger (ne pas être français), je parle français pas très bien. Excusez-moi !
Merci.

@moctar : Merci moctar. I posterai la solution (ce n'est pas à moi )

Posté par
1 Schumi 1re : Inégalités, plus !! 25-07-07 à 13:02

Ya pas de souci Khue. Mais fais attention la prochaine fois.

Posté par Khue (invité)re : Inégalités, plus !! 25-07-07 à 13:10

Uhm, d'accord, Schumi. Merci

Posté par
infophilere : Inégalités, plus !! 25-07-07 à 14:22

Bien sûr qu'on peut supposer a > b > c par symétrie des rôles de a,b et c


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