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Inéquation

Posté par Profil Ramanujan 14-01-19 à 08:13

Bonsoir,

Je dois résoudre : (x- \dfrac{2}{x})^6 < 1

Je vois pas comment faire

Posté par
gerrebare : Inéquation 14-01-19 à 08:17

Bonjour,
Il faut commencer par résoudre X^6<1  soit X^6-1<0 puis revenir en x...

Posté par
processusre : Inéquation 14-01-19 à 09:10

Bonjour
(x- \dfrac{2}{x})^6 < 1<=>[(x- \dfrac{2}{x})^2]^3-1^3<0

Posté par
processusre : Inéquation 14-01-19 à 09:13

Ou bien

(x- \dfrac{2}{x})^6 < 1<=>[(x- \dfrac{2}{x})^3]^2-1^2<0

C'est  selon ...

Posté par
Pirhore : Inéquation 14-01-19 à 10:40

Bonjour,

X^6-1=(X^2-1)(X^4+X^2+1)

(X^4+X^2+1)> 0

...

Posté par
matheuxmatoure : Inéquation 14-01-19 à 10:59

déjà tu peux t'intéresser au type de solution en étudiant la fonction paire

f(x)=(x-2/x)6 - 1

tu verras que l'ensemble solution est du type ]-b ; -a[]a ; b[

avec

0 < a < 2 < b

ensuite tu remarqueras que f(2/x)=f(x)

don si f s'annule en a, il s'annule aussi en 2/a

donc

l'ensemble solution est du type ]-2/a ; -a[]a ; 2/a[
avec 0 < a < 2

puis tu remarqueras que f(1)=0

et tu en déduiras que

l'ensemble solution est  ]-2 ; -1[]1 ; 2[

sauf erreur de ma part !

Posté par Profil Ramanujanre : Inéquation 14-01-19 à 11:30

Merci pour vos réponses @procesus j'ai compris mais @matheux pas tout compris ça ma l'air compliqué votre méthode.

La fonction x \rightarrow x^3 est strictement croissante sur \R et bijective ainsi pour tout x \in \R^*

(x- \dfrac{2}{x})^6 < 1  \Leftrightarrow (x- \dfrac{2}{x})^2 < 1  \Leftrightarrow (x- \dfrac{2}{x}-1)(x- \dfrac{2}{x}+1) < 0  

Je vais continuer mes calculs.

Posté par Profil Ramanujanre : Inéquation 14-01-19 à 11:31

Pirho @ 14-01-2019 à 10:40

Bonjour,

X^6-1=(X^2-1)(X^4+X^2+1)

(X^4+X^2+1)> 0

...


Bien vu aussi

Posté par
matheuxmatoure : Inéquation 14-01-19 à 11:58

Ramanujan @ 14-01-2019 à 11:30

@matheux pas tout compris ça ma l'air compliqué votre méthode.


di une étude de fonction comme celle-ci te paraît compliquée, faut arrêter !

Posté par Profil Ramanujanre : Inéquation 14-01-19 à 12:58

Non mais l'histoire de si f s'annule en a alors elle s'annule en a/2 je vois pas trop le rapport en plus j'ai pas vu ça dans mon cours.

Posté par
malou Webmasterre : Inéquation 14-01-19 à 13:17

Ramanujan, pourrais-tu arrêter de croire que tout ce qu'on écrit en maths, c'est parce qu'on l'a vu dans un cours ! raisonne ! lis ce qui a été écrit !!

Posté par Profil Ramanujanre : Inéquation 14-01-19 à 13:35

Avec ma méthode je trouve :

(x- \dfrac{2}{x})^6 < 1  \Leftrightarrow (x-2)(x+1)(x-1)(x+1) <0  

Soit S= ]-2,-1[ \cup ]1,2[

Posté par
carpediemre : Inéquation 14-01-19 à 15:52

salut

aux études près (d'ensemble) de définition (voir matheuxmatou) (*)

la fonction cube est strictement croissante donc

{\blue 0 \le } (x - 2/x)^6 < 1 \iff_{\red (*)} {\blue 0 \le } (x - 2/x)^2 < 1 => (x^2 - 2)^2 - x^2 < 0 \iff (x^2 - x - 2)(x^2 + x - 2) < 0 \iff (x + 1)(x - 2)(x - 1)(x + 2) < 0 \iff x \in [-2, -1] \cup [1, 2]

et (*) permet de conclure

sans avoir la finesse du mathou je me serais tout de même débarrasser évidemment des fractions

x \ne 0 => x^6 > 0 => [(x - 2/x)^6 < 1 \iff (x^2 - 2)^6 - x^6 < 0] ...

Posté par
matheuxmatoure : Inéquation 14-01-19 à 19:05

Ramanujan @ 14-01-2019 à 12:58

Non mais l'histoire de si f s'annule en a alors elle s'annule en a/2 je vois pas trop le rapport en plus j'ai pas vu ça dans mon cours.


quand j'écris 2/a, il ne faut pas lire a/2

et si avec f(2/a)=f(a) tu ne vois pas que si f s'annule en a, alors elle s'annule en 2/a, alors faut acheter des lunettes.

la méthode du Carpi est plus algébriste... et plus élégante.

Posté par
carpediemre : Inéquation 14-01-19 à 19:22

merci

moi j'aime bien ta résolution très déductive ...

la prochaine fois on s'échange nos démo avant de poster !!!

Posté par
alb12re : Inéquation 14-01-19 à 20:05

salut,
on peut aussi dire que la demo de Ramanujan est tres bien

Posté par
carpediemre : Inéquation 14-01-19 à 20:25

effectivement ...


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