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Intégrale changement de variable

Posté par
duhkha44 18-04-19 à 13:13

Bonjour,

Voici l'énoncé :

Calculer l'intégrale suivent en faisant le changement de variable proposé :

I = \int_{0}^{ln2}{\frac{1}{5shx - 4chx}}
en posant u = e^x

J'ai donc fait :

u = e^x <=> du = e^x dx <=> dx = \frac{du}{e^x} = \frac{du}{u}

0 \leq x \leq ln2
1 \leq e^x \leq 2
1 \leq u \leq 2

\int_{0}^{ln2}{I =} \frac{1}{\frac{5}{2}.(e^x - \frac{1}{e^x}) - 2.(e^x + \frac{1}{e^x})}dx

Et ensuite je ne sais pas quoi faire avec ça pour trouver une formule que je connais.

J'ai essayé de multiplier par e^x, j'obtiens :

\int_{0}^{ln2}{I =} \frac{e^x}{\frac{1}{2}e^(2x) - \frac{9}{2}}dx

Ça ne m'avance pas. Merci de votre aide !

Posté par
duhkha44re : Intégrale changement de variable 18-04-19 à 13:15

*suivante

Posté par
carpediemre : Intégrale changement de variable 18-04-19 à 13:21

salut

multiplier par 2 haut et bas pour se débarrasser des fractions ...

et remarquer que exp(2x) - 9 est une identité remarquable pour décomposer en éléments simples ...

Posté par
duhkha44re : Intégrale changement de variable 18-04-19 à 13:23

En ne multipliant pas par e^x je trouve :

\frac{1}{\frac{5}{2}(u-\frac{1}{u}) - 2(u + \frac{1}{u})} . \frac{du}{u} = \frac{1/u}{\frac{5}{2}(u-\frac{1}{u}) - 2(u + \frac{1}{u})} . \frac{du}{u} = \frac{2}{x^2-9}

Du coup maintenant je sais faire...

Qqun pour confirmer?

Posté par
duhkha44re : Intégrale changement de variable 18-04-19 à 13:28

\frac{2}{u^2-9}* d'ailleurs

Posté par
duhkha44re : Intégrale changement de variable 18-04-19 à 13:52

Mmh...
J'arrive donc à \frac{2}{u^2 - 9}du = \frac{A}{u-3} + \frac{B}{u+3}

2 = A(u+3) + B(u-3)
2 = (A+B)u + 3A - 3B
A + B = 0
3A - 3B = 2
A = 1/3
B = -1/3

\frac{\frac{1}{3}}{u-3} - \frac{\frac{1}{3}}{u+3} = \frac{1}{3u-9} - \frac{1}{3u+9}

\int_{1}^{2}{I =} \int \frac{1}{3u-9} - \frac{1}{3u+9}

= \frac{1}{3}ln(|-3|) - \frac{1}{3}ln(|12|) ??

Posté par
Pirhore : Intégrale changement de variable 18-04-19 à 18:55

Bonjour,

ta réponse n'est pas juste

remarques :

1) attention quand même à la rigueur, il manque parfois des dx, du ...

tu as calculé du et après tu reviens avec des x....

2) perso, à partir d'ici,

\textcolor{blue}{\int_{0}^{ln2} \dfrac{dx}{\dfrac{5}{2}.(e^x - \dfrac{1}{e^x}) - 2.(e^x + \dfrac{1}{e^x})}}

j'aurais écrit

\int_{0}^{ln2}\dfrac{dx}{\dfrac{5(e^{2x}-1)}{2e^x}-\dfrac{4(e^{2x}+1)}{2e^x}}=\int_{0}^{ln2}\dfrac{2 e^x dx}{e^{2x}-9}


e^{x}=u, e^{x}dx=du

l'intégrale devient après décomposition en fractions simples et changement des bornes

\int_{1}^{2}\dfrac{2du}{u^2-9}}=\dfrac{1}{3}\int_{1}^{2}\dfrac{du}{u-3}}-\dfrac{1}{3}\int_{1}^{2}\dfrac{du}{u+3}}=\dfrac{1}{3}\left [ln\left |\dfrac{u-3}{u+3}\right|\right ]_1^{2}=...

Posté par
duhkha44re : Intégrale changement de variable 18-04-19 à 19:39

Pirho @ 18-04-2019 à 18:55

Bonjour,

ta réponse n'est pas juste

remarques :

1) attention quand même à la rigueur, il manque parfois des dx, du ...

tu as calculé du et après tu reviens avec des x....

2) perso, à partir d'ici,

\textcolor{blue}{\int_{0}^{ln2} \dfrac{dx}{\dfrac{5}{2}.(e^x - \dfrac{1}{e^x}) - 2.(e^x + \dfrac{1}{e^x})}}

j'aurais écrit

\int_{0}^{ln2}\dfrac{dx}{\dfrac{5(e^{2x}-1)}{2e^x}-\dfrac{4(e^{2x}+1)}{2e^x}}=\int_{0}^{ln2}\dfrac{2 e^x dx}{e^{2x}-9}


e^{x}=u, e^{x}dx=du

l'intégrale devient après décomposition en fractions simples et changement des bornes

\int_{1}^{2}\dfrac{2du}{u^2-9}}=\dfrac{1}{3}\int_{1}^{2}\dfrac{du}{u-3}}-\dfrac{1}{3}\int_{1}^{2}\dfrac{du}{u+3}}=\dfrac{1}{3}\left [ln\left |\dfrac{u-3}{u+3}\right|\right ]_1^{2}=...


Merci beaucoup pour votre réponse, elle m'aide à comprendre mon erreur qui était de ne pas mettre 1/3 devant l'intégrale !

Ça et le manque de rigueur évidemment

Posté par
Pirhore : Intégrale changement de variable 18-04-19 à 19:42

de rien mais soit plus rigoureux la prochaine fois  

Posté par
Pirhore : Intégrale changement de variable 18-04-19 à 19:44

oups !! de rien mais sois plus rigoureux la prochaine fois  


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