Bonjour je voudrais savoir si quelqu'un pouvait m'aider à calculer : 1/(1+x4) entre 0 et plus l'infini dx sans avoir recours au théroème des résidus.

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si on se réfère aux intégrales de Riemann,
on a 4 < 1, donc
diverge.
Comme on intègre une fonction positive, sa valeur sur est me semble-t-il.

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Bonjour

x⁴+1 = (x²+1)²-2x² = (x²-V(2)x+1)(x²+V(2)x+1)  avec V = racine carré

Tu peux donc faire une décomposition en élément simple de 1/(x⁴+1)

1/(x⁴+1) = (ax+b)/(x²-V(2)x+1) + (cx+d)/(x²+V(2)x+1)

Et cela va surement faire intervenir du ln et du arctan après intégration.

Bon courage ...

Romain


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4 supérieur à 1 pardon

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>> romu :

Pourtant ma calculatrice trouve :  

             ...



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Bonjour lyonnais
aïe encore une fois j ai dit n importe quoi, bon je vais tenter par les éléments simples.

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Romu, ta fonction n'est pas équivalente à 1/x^4 en 0, mais en l'infini.
En 0 elle est équivalente à 1.

Elle est continue sur un compact, elle ne peut pas, ne pas être intégrable Elle est L^p, pour tout p>=0.

(et je pense que tu le sais, mais ce n'est pas vrai que 4<1 )

Ici, il y'a plusieurs méthodes classiques:

1) 1+x^4 est réductible car de degré 4 sur R. Tu peux chercher ses deux facteurs premiers et faire une décomposition en éléments simples.

2- tu peux carrément le décomposer dans C, intégrer, et revenir dans R, c'est ce que je considérerais comme méthode la plus simple.

3- Tu peux peut être faire un développement en série et intégrer terme à terme. Ce n'est pas évident cependant, que tu pourras intervertir somme et intégrale, vue que le rayon de convergence de la série sera de 1 ici.

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Bonjour,
fais une décomposition en éléments simples dans R.
Ca me semble ce qu'il y'a de plus approprié, compte tenu du fait que tu pourras expliciter une primitive de 1/(1+x^4).

otto >>

Tu as déjà répondu ici !!

(Lien cassé)

Multi-post involontaire j'ai l'impression pour abalone ...

Ce n'est pas la même intégrale.
Une fois on la calcule sur [0,1] où le théorème des résidus ne pourra pas vraiment s'appliquer.
L'autre fois, on la calcule sur [0,+infini[

Pourtant dans l'autre post, la question est sensiblement la même :

D'accord merci je suis arrivé à une forme du type 1/(x²+a²) ça me donne x/a * atan(x/a)?

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La question est sensiblement la même, mais les méthodes pour calculer l'intégrale (par exemple le théorème des résidus, qu'il ne veut pas appliquer ici) ne sont pas nécessairement les mêmes.

Par exemple, ici pas de développement en série possible. (bien que je pense qu'il diverge dans l'autre cas également)

Si tu n'es pas sur, dérives ce que tu as à droite. Si tu retombes sur ce qu'il y'a à gauche c'est gagné, sinon recommence

Je pense que c'est correct.
a+

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Re

Je pense que c'est faux :

j'obtiens 2 termes en arctan et 2 termes en ln après intégration ...

Après qui a raison ?



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j avais oublié à quel point c'est long ce genre de calcul d'intégrales avec la méthode des éléménts simples.
Pour ma part, après intégration, je trouve aussi deux termes en ln et deux termes en Atan.

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Bonsoir romu

Je met à tout hasard ce que j'ai trouvé, même si il y a peu de chance que l'on ait pareil vu la lourdeur des calculs :D



Romain


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lyonnais, comme résultat je trouve :

.

Ce qui doit etre la même chose que ton résultat et donc en calculant le trouve que les ln  s'annulent et les somme des deux Atan fait . Donc il y a bien .

Le nombre de bourdes que j ai du rectifier n'empêche sur la fin, faudra que je revois les intégrales de plus près

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Merci romu pour ton résultat

Je suis donc tout à fait d'accord avec toi ...

Bonne journée

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Euh quoique !!

Quand je relis ton résultat, il me semble y avoir un petit problème ...

En effet, tu as du :

  et du  

Selon moi, tu devrais avoir plutôt du :

  et du  

Cela provient de la décomposition en éléments simples ...

1/(x⁴+1) = (ax+b)/(x²-V(2)x+1) + (cx+d)/(x²+V(2)x+1)

:D

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oui effectivement, j ai zappé les coeff [tex] \sqrt 2 [tex] au bout d'un calcul, jusqu à la fin. Je devais etre un peu fatigué.
Bonne journée lyonnais!

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