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intégrale simple

Posté par
Justin 30-03-07 à 11:08

Bonjour,

Je voudrais calculer $\int_0^a{\sqrt{x(a-x)}dx$ mais je ne sais pas comment l'attaquer. Je suppose qu'il faille faire une substitution (un tout petit indice (vraiment rikiki) serait la bienvenue!)

Merci!

Posté par re : intégrale simple 30-03-07 à 11:47

V(x(a-x)) (Avec V pour racine carrée).

Poser x = a.sin²(t)

dx = 2a.sin(t).cos(t) dt

x(a-x) = a.sin²(t).(a-a.sin²(t)) = a².sin²(t).(1-sin²(t)) = a².sin²(t).cos²(t)

V(x(a-x)) dx = 2a².sin²(t).cos²(t) dt

V(x(a-x)) dx = (1/2)a².sin²(2t) dt

V(x(a-x)) dx = (1/4)a².(1-cos(4t)) dt

Avec S pour le signe intégral:

S V(x(a-x)) dx = (a²/4).(t - (1/4).sin(4t))

x = 0 --> t = 0
x = a --> t = Pi/2

S(de 0 à a) V(x(a-x)) dx = (a²/4).((Pi/2) - (1/4).sin(2Pi))

S(de 0 à a) V(x(a-x)) dx = a².Pi/8
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Sauf distraction.

Posté par re : intégrale simple 30-03-07 à 11:51

Tu n'as vraiment aucune pudeur J-P!

Non, je rigole. Enfin je pense juste que tu n'as pas compris que je voulais un PETIT indice pour que je puisse y réfléchir un peu.

Merci quand même pour tes excellentes corrections.

Posté par re : intégrale simple 30-03-07 à 12:00

Je me pose une question quand même. Car avec ton changement de variable -a<=x<=a.

Tout va bien pour cette intégrale mais doit-on, en regle générale, justifier la validité de notre de changement de variable?

Amicalement,

Justin.

Posté par re : intégrale simple 30-03-07 à 12:57

Justin, cela veut dire quoi un petit indice ?

Si je suggère seulement le changement de variable à faire, j'ai l'air de n'avoir donné qu'un petit indice, mais c'est faux car tout ce qui suit est sans difficultés réelles.

... Et c'est bien dur de donner une aide qui n'indique pas presque sans ambiguïté le changement de variable.

Alors ?

Maintenant, il existe presque toujours de multiples voies pour arriver au bout du problème, il en reste donc d'autres que je n'ai pas indiquées, tu peux essayer d'en trouver l'une ou l'autre.

Posté par re : intégrale simple 30-03-07 à 20:35

Bonjour

$3$\rm y=\sqrt{x(a-x)}\Leftrightarrow y^{2}=ax-x^{2}\Leftrightarrow y^{2}+x^{2}-ax=0\Leftrightarrow y^{2}+(x-\frac{a}{2})^{2}=\frac{a^{2}}{4}$

La courbe est un demi cercle de centre (0,a/2) et de rayon a/2. Tu peux facilement calculer son aire sur [0,a].

(Pas besoin de se précipiter sur un calcul d'intégrale fastidieux lorsqu'on peut faire un calcul d'aire niveau 4éme )