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Intégration

Posté par
matheux14 08-11-24 à 15:15

Bonjour,

J'essaie de calculer ceci

$\begin{aligned}\int^1_0 \int^1_0 \int^1_0 \dfrac{d x d y d z}{\ln(xyz)}\end{aligned}$

Mais le problème c'est que $\ln(xyz) \underset{xyz \longrightarrow 0}{\longrightarrow} -\infty$

Est-il possible de calculer de manière propre sur [0 ; 1] × [0 ; 1] × [0 ; 1] ?

Posté par re : Intégration 08-11-24 à 17:14

salut

je ne sais pas si on peut calculer cette intégrale mais le pb des 0 peut être partiellement et momentanément shunté en les remplaçant par a, b et c avec 0 < a < 1 et idm pour b et c.

si on peut alors calculer cette intégrale un pb peut alors apparaitre lorsqu'on fera tendre a, b et c vers 0 ...

Posté par re : Intégration 08-11-24 à 17:21

Les problèmes, c'est plutôt en 1 qu'ils sont gênants. Et heureusement, parce qu'il existe plein de façons pour un produit de réels de [0,1] de converger, mais une et une seule de tendre vers 1.

A ma connaissance, il n'existe de pas de façon simple de calculer cette intégrale, si elle converge. Sauf si tu considères que remplacer son expression par des évaluations de la fonction Li est une simplification

Posté par re : Intégration 09-11-24 à 09:38

Bonjour,

Mes quelques singes ont tous trouver la même valeur, soit : -1/2,

Mais je ne sais pas comment ils ont procédé.

Copie de l'affichage d'un de ces programmes :

Intégration

Posté par re : Intégration 09-11-24 à 09:38

Désolé pour l'orthographe

Posté par re : Intégration 09-11-24 à 11:23

Oui et c'est ce qui est étonnant

$\begin{aligned}\mathcal{I} = \int^1_0\int^1_0 \int^1_0 \dfrac{d x d y d z}{\ln(x) + \ln(y) + \ln(z)}\end{aligned}$

Soit $t = \ln(z) \Longrightarrow d z = e^t dt ;$

On a :

$\begin{aligned} \\ \int^1_0 \dfrac{d z}{\ln(x) + \ln(y) + \ln(z)} = \int^0_{-\infty} \dfrac{e^t d t}{\ln(x) + \ln(y) + t} = \int^0_{-\infty} \dfrac{e^t d t}{s + t}\end{aligned}$

Et le calcul de cette primitive fait intervenir des fonctions particulières du genre $Ei$ ..

Posté par re : Intégration 09-11-24 à 13:31

Bonjour,

Pour calculer cette intégrale il faut utiliser deux changements de variables et deux IPP. Je ne discuterai pas ici de l'existence des intégrales.
On commence par effectuer le changement de variable $t=xyz$ ( $dt = xydz$ ) :
$\int_{0}^1 \int_{0}^1 \int_{0}^1 \frac{dz dy dx}{\ln(xyz)} = \int_{0}^1 \int_{0}^1 \frac{1}{xy}\int_{0}^{xy} \frac{dt}{\ln(t)} dy dx$ .
Puis le changement de variable $u=xy$ ( $du = xdy$ ) :

$\int_{0}^1 \int_{0}^1 \frac{1}{xy}\int_{0}^{xy} \frac{dt}{\ln(t)} dy dx = \int_{0}^1 \frac{1}{x} \int_{0}^{x} \frac{1}{u}\int_{0}^{u} \frac{dt}{\ln(t)} du dx$ .

On effectue une IPP sur la première intégrale:

$\int_{0}^1 \frac{1}{x} \int_{0}^{x} \frac{1}{u}\int_{0}^{u} \frac{dt}{\ln(t)} du dx = \left[ \ln(x) \int_{0}^{x} \frac{1}{u}\int_{0}^{u} \frac{dt}{\ln(t)} du \right]_{0}^{1} - \int_{0}^1 \ln(x) \frac{1}{x}\int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} dx$ .

Là il faut faire un peu attention à la justification mais le crochet est nul. Ainsi on se retrouve à calculer $- \int_{0}^1 \ln(x) \frac{1}{x}\int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} dx$ . On procède à nouveau par IPP en remarquant que $\frac{\ln(x)}{x}$ est la dérivée en $x$ de $\frac{1}{2}\ln^2$ :

$- \int_{0}^1 \ln(x) \frac{1}{x}\int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} dx = -\left[ \frac{1}{2}\ln(x)^2 \int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} \right]_0^{1} + \int_{0}^1 \frac{1}{2} \ln(x)^2 \frac{1}{\ln(x)} dx$ .

Il reste donc à justifier qu'encore une fois le crochet est nul et à calculer $\frac{1}{2} \int_{0}^1 \ln(x) dx = \frac{1}{2}\left[ x \ln(x) - x \right]_0 ^1 = -\frac{1}{2}$ .

Finalement on obtient bien $\int_{0}^1 \int_{0}^1 \int_{0}^1 \frac{dz dy dx}{\ln(xyz)} = -\frac{1}{2}$ modulo l'étude de l'intégrabilité des fonctions qui rentrent en jeux ainsi que les justifications pour les crochets nuls.