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Irrationalité de V2 + V3

Posté par
Newe 02-04-20 à 15:05

J'aurais voulu savoir votre avis à propos de la démonstration de l'irrationalité de \sqrt{2} + \sqrt{3} Je raisonne par l'absurde qui doit être la méthode ici. On suppose que \sqrt{2} + \sqrt{3} est rationnel. On peut donc écrire : \sqrt{2} +\sqrt{3} = \frac{p}{q} avec p et q qui sont des éléments de N* et où la fraction \frac{p}{q} est irréductible. Donc \sqrt{2} + \sqrt{3} = \frac{p}{q} \Leftrightarrow \sqrt{2} = \frac{p}{q} - \sqrt{3} \Leftrightarrow 2= (\frac{p}{q} - \sqrt{3})² \Leftrightarrow 2 = \frac{p²}{q²} - 2 \frac{p}{q}\sqrt{3} + 3 Finalement c'est impossible qu'on puisse avoir 2 un entier d'un coté et \sqrt{3} de l'autre sachant que \frac{p}{q} est irreductible. Dois-je developer davantage ? Ma démonstration est-elle bonne ?

Posté par
Newere : Irrationalité de V2 + V3 02-04-20 à 15:05

Newe @ 02-04-2020 à 15:05

[tex]J'aurais voulu savoir votre avis à propos de la démonstration de l'irrationalité de \sqrt{2} + \sqrt{3} Je raisonne par l'absurde qui doit être la méthode ici. On suppose que \sqrt{2} + \sqrt{3} est rationnel. On peut donc écrire : \sqrt{2} +\sqrt{3} = \frac{p}{q} avec p et q qui sont des éléments de N* et où la fraction \frac{p}{q} est irréductible. Donc \sqrt{2} + \sqrt{3} = \frac{p}{q} \Leftrightarrow \sqrt{2} = \frac{p}{q} - \sqrt{3} \Leftrightarrow 2= (\frac{p}{q} - \sqrt{3})² \Leftrightarrow 2 = \frac{p²}{q²} - 2 \frac{p}{q}\sqrt{3} + 3 Finalement c'est impossible qu'on puisse avoir 2 un entier d'un coté et \sqrt{3} de l'autre sachant que \frac{p}{q} est irreductible. Dois-je developer davantage ? Ma démonstration est-elle bonne ?

Posté par
Newere : Irrationalité de V2 + V3 02-04-20 à 15:06

Voyez vous les racines ou autre ?

Posté par
carpediemre : Irrationalité de V2 + V3 02-04-20 à 15:18

salut

illisible : il faut utiliser les balises ... pour écrire en Latex : voir icone LTX en dessous de ce cadre d'édition ...

Posté par
carpediemre : Irrationalité de V2 + V3 02-04-20 à 15:19

salut

illisible : il faut utiliser les balises [ tex] ... [ /tex] pour écrire en Latex : voir icone LTX en dessous de ce cadre d'édition ...

PS : j'ai volontairement laissé un espace dans les balises pour qu'elles apparaissent à l'écran ...

Posté par
Newere : Irrationalité de V2 + V3 02-04-20 à 16:03

Merci beaucoup de l'astuce, c'était mon, premier post c'est pour ça.

J'aurais voulu savoir votre avis à propos de la démonstration de l'irrationalité de \sqrt{2} + \sqrt{3}Je raisonne par l'absurde qui doit être la méthode ici.
On suppose que \sqrt{2} + \sqrt{3} est rationnel. On peut donc écrire : \sqrt{2} +\sqrt{3} = \frac{p}{q} avec p et q qui sont des éléments de N* et la fraction \frac{p}{q} est irréductible.
Donc \sqrt{2} + \sqrt{3} = \frac{p}{q}
\Leftrightarrow \sqrt{2} = \frac{p}{q} - \sqrt{3}
\Leftrightarrow 2= (\frac{p}{q} - \sqrt{3})²
\Leftrightarrow 2 = \frac{p²}{q²} - 2 \frac{p}{q}\sqrt{3} + 3
Finalement c'est impossible qu'on puisse avoir 2 (un entier) d'un coté et \sqrt{3} de l'autre. Sachant que \frac{p}{q} est irreductible.
Dois-je developer davantage ? Ma démonstration est-elle bonne ?

Posté par
cerveaulogikre : Irrationalité de V2 + V3 02-04-20 à 16:39

Bonjour,
Je ne sais pas si votre méthode peut conclure, mais je peux vous donner une autre indication.

 Cliquez pour afficher

Posté par
Newere : Irrationalité de V2 + V3 02-04-20 à 16:44

Oui mais dans ce cas on obtient \frac{q}{p} qui n'est pas forcément irréductible

Posté par
cerveaulogikre : Irrationalité de V2 + V3 02-04-20 à 16:52

C'est à dire ? Qu'obtenez vous ?

Posté par
carpediemre : Irrationalité de V2 + V3 02-04-20 à 16:57

cerveaulogik : oui bonne idée ...

Posté par
Newere : Irrationalité de V2 + V3 02-04-20 à 16:58

Si on par du fait que \sqrt{2} + \sqrt{3} = \frac{p}{q}
Avec \frac{p}{q} irréductible.
l'inverse n'est pas forcément vraiment prenons l'exemple de \frac{1}{3}
si on prend son inverse cela donne \frac{3}{1} or cette fraction est réductible.
Peut être que je pars sur une mauvaise piste je ne sais pas...

Posté par
Newere : Irrationalité de V2 + V3 02-04-20 à 16:59

Faute:  vraiment

Posté par
carpediemre : Irrationalité de V2 + V3 02-04-20 à 17:02

Newe : passer r(3) de l'autre côté n'apporte pas grand chose

et ta conclusion ne convient pas ... sauf à ajouter un argument fondaental

on élève simplement au carré et on obtient :

2 \sqrt 6 = \dfrac {p^2} {q^2} - 5

soit encore après élévation au carré et simplification : 24q^4 = (p^2 - 5q^2)^2

et cette fois (après quelques transformations) on pourra utiliser que p et q sont premiers entre eux pour conclure ...

Posté par
Imodre : Irrationalité de V2 + V3 02-04-20 à 17:02

Oui mais c'est un peu artificiel , j'aurais calculé (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 .

Imod

Posté par
Newere : Irrationalité de V2 + V3 02-04-20 à 17:08

J'ai essayé avec la méthode que vous proposez mais je mettais arrêté à la première élévation au carré.
Vu sous cet angle oui ça fonctionne.
Et il a bien calculé (\sqrt{2} + \sqrt{3})² = 2 + 2 \sqrt{6} + 3.
Puis il a fait passé le 5 de l'autre côté.

Merci de m'avoir donné du temps pour ce problème !

Posté par
cerveaulogikre : Irrationalité de V2 + V3 02-04-20 à 17:11

Bonjour,
Si on connait déjà que pour tout entier n n'étant pas un carré parfait,  \sqrt{n} est irrationnel, alors la conclusion est immédiate avec ce calcul !


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