itération de (x,y,z)->(x+y,y+z,x+z)

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itération de (x,y,z)->(x+y,y+z,x+z)
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alb12  18-12-22 à 13:23
salut, 

A tout triplet de réels (x,y,z) on fait correspondre le triplet (x+y,y+z,x+z). 

Ce processus pouvant être réitéré. 

Trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur les réels x, y, z pour qu'au terme d'un nombre fini d'itérations on retrouve le triplet de départ. 
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GBZMre : itération de (x,y,z)->(x+y,y+z,x+z)  18-12-22 à 14:48
Bonjour,

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Sylvieg re : itération de (x,y,z)->(x+y,y+z,x+z)  18-12-22 à 16:16
Bravo à tous les deux !
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alb12re : itération de (x,y,z)->(x+y,y+z,x+z)  18-12-22 à 20:06
@Sylvieg Ils étaient un ! 
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Sylvieg re : itération de (x,y,z)->(x+y,y+z,x+z)  18-12-22 à 20:21
Tu es le deuxième alb12 
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GBZMre : itération de (x,y,z)->(x+y,y+z,x+z)  18-12-22 à 20:22
On a une matrice circulante, une base de vecteurs propres est connue, les valeurs propres racines de l'unité sortent immédiatement.
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alb12re : itération de (x,y,z)->(x+y,y+z,x+z)  18-12-22 à 20:54
On peut trouver un raisonnement simple au niveau lycée. 

Le match n'est pas fini  
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Sylvieg re : itération de (x,y,z)->(x+y,y+z,x+z)  19-12-22 à 07:48
Une démonstration niveau lycée :

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1) En posant u0 = x, v0 = y et w0 = z,

puis un+1 =un+vn, vn+1 = vn+wn et wn+1 = wn+un,

et aussi sn = un+vn+wn,

on a sn+1 = 2sn.

D'où sn = 2ns0.

Si s0  0 alors sn  s0 pour tout n  1 ;

donc (un, vn, wn)  (u0, v0, w0) pour tout n  1.

Il est donc nécessaire que x+y+z = 0 pour qu'au terme d'un nombre fini d'itérations on retrouve le triplet de départ.

2) Pour démontrer que la condition est suffisante, il suffit de partir de (x, y, -(x+y)).
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alb12re : itération de (x,y,z)->(x+y,y+z,x+z)  19-12-22 à 09:38
GBZM:1-Sylvieg:1

On peut continuer à jouer pendant les prolongations 
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GBZMre : itération de (x,y,z)->(x+y,y+z,x+z)  19-12-22 à 10:54
Je détaille la vision matricielle, sans blanker.

La matrice circulante de l'application linéaire a une base de vecteurs propres formée de  de valeur propre associée ,  de valeur propre associée  et  de valeur propre associée . Les deux dernières valeurs propres sont des racines primitives sixièmes de l'unité, et le sous-espace engendré par les deux derniers vecteurs propres est le plan . C'est donc la condition nécessaire et suffisante pour retomber sur ses pieds, et si elle est satisfaite on retombe sur ses pieds au bout de six fois.

C'est assez marteau-pilon par rapport à la jolie méthode élémentaire de Sylvieg, mais au moins le 6 arrive sans qu'on ait besoin de se fatiguer !
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Sylvieg re : itération de (x,y,z)->(x+y,y+z,x+z)  19-12-22 à 11:45
Et la condition sur x+y+z apparaît moins mystérieusement 
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carpediemre : itération de (x,y,z)->(x+y,y+z,x+z)  19-12-22 à 14:17
salut

au niveau première la suite géométrique de raison 2 "saute" au yeux et permet de conclure simplement ... mais ne donne pas la période

au niveau terminale math expertes on peut considérer le calcul matriciel "naïf" de base sans aller jusqu'au développement "professionnel" de GBZM (du moins dans les termes) et c'est alors un exercice relativement classique de Tle math experte :

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en posant  alors en terminale math experte on donnerait la matrice M correspondant à la transformation de l'énoncé

on introduirait alors (classiquement) la matrice J (3 x 3) constituée uniquement de 1 et alors 

et la matrice T de la transformation :  qui est une application linéaire vérifiant   

(en terminale on ferait vérifier que ...)

alors

on en déduit donc la suite géométrique  

on conclurait par l'étude de la suite  après avoir fait calculer les produits JT et TJ  (JT = TJ = -J) et les premières puissances
 ... pour arriver à ce six ...