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Itération de composition d'une fonction numérique.
Bonjour,
Soit un entier naturel non nul.
est une injection continue de
vers
qui vérifie la propriété suivante :
Démontrer que .
Bravo LittleFox !
Pour le second cas, j'avais pensé à autre chose :
Cliquez pour afficherUn complément dont je n'ai pas la réponse :
Quelles sont les injections
C'est vraiment la même chose, je n'ai juste pas nommé f(f(x)).
Pour le complément:
Ce sont des fonctions qui sont l'inverse d'elle-même.
Je vois f(x)=x et f(x) = -x.
f(x) = 1/x n'est malheureusement pas continue.
Il est inutile de préciser que f est une injection, puisque c'est une conséquence immédiate du fait que f est inversible :
Ensuite, la continuité de f implique sa stricte monotonie.
Si f est strictement croissante on a forcément , parce que si f(x) > x, alors x = f(f(x)) > f(x). Absurde.
De même, on a forcément parce que si f(x) < x, alors x < f(x). Ceci montre que f(x) = x pour tout x et donc que f = id.
Si f est strictement décroissante, je pense f est de la forme mais là je n'ai pas le temsp de développer, ce soit peut-être
Wolfram a ouvert mon esprit limité
Soit une fonction inversible et continue. Alors
répond à la condition
.
En effet, .
On peut donc créer toute une famille de fonction .
Un exemple:
Bonjour.
Si f est strictement décroissante, je pense f est de la forme
Ce ne sont pas les seules. Comme
Par exemple, sauf erreur de calcul de ma part, l'application qui vaut
Par contre je ne sais pas encore si toutes les fonctions qui marchent proviennent de recollement de demi-droites et de segments ou si on peut en trouver d'autres.
@Sugaku,
Ton graphique est très inspirant :
Il suffit de choisir une fonction f continue et strictement décroissante de [a ; +
[ vers ]-; a] et de la compléter pour x dans ]-; a] par f(x) = f-1(x).
A vérifier.
Par ailleurs une bijection décroissante et continue de 
vers a un unique point fixe.
Tu as raison Sugaku .
Et on peut trouver une infinité de solutions en prenant strictement décroissante et non bornée sur
avec
et
puis de compléter symétriquement par rapport à la première bissectrice pour obtenir une multitude d'exemples .
Imod
@Sylvieg , nos messages se sont croisés et tu as raison il n'y a aucune raison d'imposer a> 0 et il ne faut pas oublier d'imposer la continuité avant a 
Imod
Bon ben voilà, c'est ce qu'on appelle un travail d'équipe
Ceci étant, il reste à montrer que toutes les fonctions solution sont de ce genre là
salut
pour avoir ce sujet et suivre ...
et aussi parce qu'il me semble que cette question est déjà sortie sur ce site (ou du moins très semblable)
Bon ben voilà, c'est ce qu'on appelle un travail d'équipe
Ceci étant, il reste à montrer que toutes les fonctions solution sont de ce genre là
Par ailleurs une bijection décroissante et continue de
vers a un unique point fixe.
Il y a une seule fonction f qui n'est pas du type précédent c'est f=Id . On peut le voir en étudiant g=f-id qui est continue .
Imod
On avait déjà prouvé que f(x) = x (ou f = Id) est la seule fonction croissante possible.
Je ne vois pas ce que g=f-Id apporte 
C'est quoi "ce genre là" et "du type précédent"?
Une fonction strictement décroissante continue et symétrique par rapport à y=x?
La fonction ne doit être strictement décroissante, juste décroissante, du moment que les endroits plats soient réduits à un point. La fonction y = (1-x^3)^(1/3) en est un exemple avec une dérivée nulle en 0 et infinie en 1.
On a bien .
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