itérées de (x*(sqrt(3)+2)-1)/(x+sqrt(3)+2)

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itérées de (x*(sqrt(3)+2)-1)/(x+sqrt(3)+2)
Posté par 
alb12  07-05-23 à 18:35
Salut, 

niveau: lycée. 

Au début soyez avare de détails 
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alb12re : itérées de (x*(sqrt(3)+2)-1)/(x+sqrt(3)+2)  07-05-23 à 19:01
Erratum. 

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jandri re : itérées de (x*(sqrt(3)+2)-1)/(x+sqrt(3)+2)  07-05-23 à 20:58
Bonjour,

ce n'est pas très difficile, je trouve : 
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 Posté par 
dpire : itérées de (x*(sqrt(3)+2)-1)/(x+sqrt(3)+2)  08-05-23 à 07:33
Bonjour,

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Par simple curiosité..

Il faut étudier deux courbes.

x -(2+3);2-3)

x(2-3);2023)
 Posté par 
verdurinre : itérées de (x*(sqrt(3)+2)-1)/(x+sqrt(3)+2)  10-05-23 à 20:00
Salut,

on peut le faire au niveau lycée, mais ce n'est pas si facile.

Déjà on peut se dire qu'il y a un  pas trop grand tel que  sinon ce n'est pas calculable.

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On calcule .

Je ne détaille plus les calculs.

On trouve 

C'est un résultat simple et on calcule 

On a donc 

On divise 2023 par 12, il reste 7 et 
 Posté par 
alb12re : itérées de (x*(sqrt(3)+2)-1)/(x+sqrt(3)+2)  10-05-23 à 20:50
On peut autoriser les calculs avec un logiciel pour rendre moins penible la redaction de l'exercice. 
 Posté par 
GBZMre : itérées de (x*(sqrt(3)+2)-1)/(x+sqrt(3)+2)  10-05-23 à 23:15
Bonsoir,

Sans calcul, mais avec un peu de background :

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On reconnaît dans la matrice  deux fois la somme de la matrice identité et de la matrice de rotation d'angle , qui est un scalaire fois la matrice de rotation d'angle . Il suit sans calcul que  est l'identité.
 Posté par 
elhor_abdelali re : itérées de (x*(sqrt(3)+2)-1)/(x+sqrt(3)+2)  11-05-23 à 03:21
Bonsoir 

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 Si on note pour  , 

on vérifie facilement que :  ,  , .

D'où,    sauf erreur bien entendu
 Posté par 
fabo34re : itérées de (x*(sqrt(3)+2)-1)/(x+sqrt(3)+2)  11-05-23 à 11:10

Cheminement d'un (piètre) niveau Tle 

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Déjà avec la forme  , on a  . Mais ça ne m'a mené à rien. Je me dit qu'avec les complexes, il y a surement moyen de s'en servir, mais nada.

Puis en généralisant avec la forme , là on voit que  .

Donc pour la composée on retrouve exactement la même forme, ce sont juste les coefficients qui changent par la transformation  .  Bref, pour trouver les composées, il suffit juste de travailler avec ces coefficients: on part de  Le 2ème donne ,  ... mais ensuite ça semble "diverger" . Je ne vois pas que ce 2ème se simplifie en   (cf le calcul de verdurin ). Et je ne pense pas à continuer ...   

merci pour vos solutions!

 Posté par 
GBZMre : itérées de (x*(sqrt(3)+2)-1)/(x+sqrt(3)+2)  11-05-23 à 11:41
fabo34 @ 11-05-2023 à 11:10

Je me di[s] qu'avec les complexes, il y a surement moyen de s'en servir, mais nada.

C'est une bonne idée : au complexe  on associe la transformation . 

1) Montrer que 
2) Montrer que pour tout réel , .

3) Montrer  (où  est la transformation de alb12).

4) Conclure sur la 2023e itérée de .
 Posté par 
fabo34re : itérées de (x*(sqrt(3)+2)-1)/(x+sqrt(3)+2)  11-05-23 à 15:26
Et oui,   (à la calculette), qui résoud la question 3). La question 2) dégage le coefficient multiplicateur. Enfin la question 1 dit que les composées successives de h(z) sont des h(puissance de ). Et qu'ainsi on va retomber sur nos pieds toutes les 12 fois. 

Ca me fait penser que de mon côté, j'aurais d'un partir d'un couple avec une norme de 1, vu que la transformation  conserve la norme. Ca n'aurait pas "divergé". Et j'aurais pu le résultat (sans deviner que c'était un  non "unitaire".

Mais après coup, c'est toujours trop facile! 
 Posté par 
GBZMre : itérées de (x*(sqrt(3)+2)-1)/(x+sqrt(3)+2)  11-05-23 à 15:31
fabo34 @ 11-05-2023 à 15:26

la transformation  conserve la norme.

Tu veux vraiment dire ça ? Ce n'est pas le cas, puisqu'il s'agit de l'élévation au carré d'un complexe (vue sur les parties réelle et imaginaire).
  Posté par 
fabo34re : itérées de (x*(sqrt(3)+2)-1)/(x+sqrt(3)+2)  11-05-23 à 15:47
GBZM : Merci de reprendre mes maladresses. Effectivement, ça met la norme au carré. Je voulais juste dire que ça conservait la norme d'un vecteur "unitaire".