Bonjour,
Je ne réponds que pour P(T=k) :

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Bonsoir,

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quelque soit on a car il y a n-k valeurs possibles strictement plus grandes que k.

Puis pour

Et enfin

Je me souvenais vaguement qu'il y a des formules générales pour la dernière somme, elles ne sont pas simple, voir ou

Bonjour à vous deux , bravo pour vos réponses
pour l'esperance en considérant un n très grand il faut connaitre les approximations :
(1+x)^p --> 1+px   quand  x tend vers 0  et k/(n-k) tend vers une approximation asymptotique qui est p.n.ln(n) , tout calcul fait une approxation de E avec un n "grand" serait n²p/3     sauf erreur

Bonjour,

je suis d'accord avec les résultats de verdurin mais pas avec ce qu'a écrit flight pour l'espérance.

Pour fixé la limite quand tend vers l'infini de est égale à (c'est une somme de Riemann).

On a donc quand tend vers l'infini.

J'ai écrit une coquille : c'est quand n tend vers l'infini.

Bonsoir.
Ça me semble bizarre de faire tendre n vers l'infini.
Il me semble plus intéressant de regarder ce qui se passe quand p tend  vers l'infini et que n est fixé.
Il est clair que E(T) tend vers 1 quand p tend vers l'infini avec n fixé.
Il serait intéressant  de donner un équivalent de E(T_p)-1 quand p tend vers l'infini.

Au passage j'ai écrit des choses fausses :

Pour fixé quand tend versl'infini on a

Bonsoir jandri , merci effectivement apres re calcul j'ai fais fausse route
la somme  k (n-k+1/n)^p -((n-k)/n^p)  pour k   compris entre 1 et n  peut etre reduit à (1 - j/n)^p , pour j compris entre 0 et n-1  , or  (1/n)f(1+k/n) ->(1+x)^p dx  entre 0 et 1  avec f(x)=(1+x)^p  et effectivement on en deduit que la somme vaut n/(p+1)

trop d'erreurs dans mon dernier message  je revois ca demain