Bonjour à tous,

Je viens de remettre la main sur de zolis exercices de mathématiques assez atypiques mais peu triviaux (). Je m'empresse donc de vous les proposer:


Vous connaissez certainement le jeu de nim en 1D: Vous disposez d'un certain nombre de batônnets (en général ça tourne autour de 40). Chaque joueur (il y en a 2) enlève alors un certain nombre de batônnets (1,2,3 ou 4) et à la fin celui qui ne peut plus enlever de batonnêts a perdu.


Voici la version 2D et ses règles:


On dispose d'un damier rectangulaire aux dimensions arbitraires sur lequel on a disposé des pions dans une configuration initial non connue. Ces pions sont blancs d'un côté et noir de l'autre.
Chacun des 2 joueurs retourne, à son tour, un pion de sorte de le faire passer du blanc au noir. A ce moment, il peut aussi retourner (quelle que soit sa couleur à ce moment-là) un pion quelconque plus haut dans la même colonne, ou un pion quelconque plus à gauche dans la même ligne, ou encore les deux à la fois à condition dans ce cas de retourner aussi le 4^ème sommet du rectangle défini par les trois pions retournés.
Le jeu se termine bien évidemment quand tous les pions sont blancs: le joueur dont c'est alors le tour de jouer (et qui ne le peut donc plus) a alors perdu.

1^ère question: Montrer que le jeu se termine toujours en un temps fini.


Bonne réflexion et vive l'algèbre!

Ayoub.