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JFF application ... **

Posté par
lyonnais 04-08-06 à 12:03

Bonjour à tous

En attendant d'autres énigmes de puisea et minkus, voici une petite JFF.

JFF application :

Soit X un espace orienté de dim = 3

On donne f : X -> X définie analytiquement dans un repère orthonormal  3$\rm (O,( \vec{i} , \vec{j} , \vec{k} ))  par :

4$\rm \fbox{\{ x' = y+1 \\ y' = z-2 \\ z' = x+3}

Reconnaître f et donner toutes ses caractéristiques ...

PS : répondez en blanké

Bonne chance

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF application ... ** 04-08-06 à 12:15

Bonjour lyonnais

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Kaiser

Posté par
lyonnaisre : JFF application ... ** 04-08-06 à 12:26

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Je précise que :

X est un espace affine euclidien orienté de dim = 3

Posté par
lyonnaisre : JFF application ... ** 04-08-06 à 12:36

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4$\rm \white \fbox{\{ x' = x+1 \\ y' = y-2 \\ z' = z+3}

non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF application ... ** 04-08-06 à 13:02

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kaiser Moderateurre : JFF application ... ** 04-08-06 à 13:08

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lyonnaisre : JFF application ... ** 04-08-06 à 13:39

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Romain

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kaiser Moderateurre : JFF application ... ** 04-08-06 à 17:24

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lyonnaisre : JFF application ... ** 04-08-06 à 17:27

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kaiser Moderateurre : JFF application ... ** 04-08-06 à 17:28

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lyonnaisre : JFF application ... ** 04-08-06 à 17:33

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kaiser Moderateurre : JFF application ... ** 04-08-06 à 17:39

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Romain

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kaiser Moderateurre : JFF application ... ** 04-08-06 à 17:42

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kaiser Moderateurre : JFF application ... ** 04-08-06 à 17:45

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lyonnaisre : JFF application ... ** 04-08-06 à 17:48

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lyonnaisre : JFF application ... ** 04-08-06 à 17:49

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kaiser Moderateurre : JFF application ... ** 04-08-06 à 18:00

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lyonnaisre : JFF application ... ** 04-08-06 à 18:06

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Romain

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kaiser Moderateurre : JFF application ... ** 04-08-06 à 18:06

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lyonnaisre : JFF application ... ** 04-08-06 à 18:08

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kaiser Moderateurre : JFF application ... ** 04-08-06 à 18:14

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lyonnaisre : JFF application ... ** 04-08-06 à 18:20

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Je donnerai ma correction demain ...
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Posté par
lyonnaisre : JFF application ... ** 05-08-06 à 11:09

Aller, je donne ma correction, comme cela on va pouvoir discuter des erreurs éventuelles ...

JFF application :

1ère étape : f est une application affine.

Si  M (x,y,z) et f(M) = M'(x',y',z') alors le système s'écrit :

3$\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1\\-2\\3\end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)

En notant \varphi     tq    3$M_{(\vec{i},\vec{j},\vec{k})}(\varphi) = \left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{array}\right)

On obtient  3$\rm \fbox{f(M) = f(0) + \varphi (\vec{OM})}

Et on déduit alors que f est une application affine de partie linéaire \varphi

2ème étape :  \varphi \in O(\vec{X})

car en reprenant sa forme matricielle , \varphi transforme une base orthonormale (\vec{i},\vec{j},\vec{k}) en une base orthonormale (\vec{k},\vec{i},\vec{j})

3ème étape :  \varphi \in SO(\vec{X})

car  det3$ \left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{array}\right) = 1

d'où f est un déplacement.

4ème étape : caractérisation de \varphi

3$ \alpha \vec{i}+\beta \vec{j} +\gamma \vec{k} \in Ker(\varphi -Id) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \alpha\\ \beta\\ \gamma\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \alpha\\ \beta\\ \gamma\end{array}\right) \Leftrightarrow \alpha = \beta = \gamma

On chosit   3$ \vec{u} = \vec{i}+\vec{j}+\vec{k}

Recherche de l'angle de \varphi en rotation autour de \vec{u}

tr\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{array}\right) = 0

Or comme \varphi est une rotation sa matrice à pour forme :

\rm \left(\begin{array}{ccc}cos(\theta)&-sin(\theta)&0\\sin(\theta)&cos(\theta)&0\\0&0&1\end{array}\right)    et   tr\left(\begin{array}{ccc}cos(\theta)&-sin(\theta)&0\\sin(\theta)&cos(\theta)&0\\0&0&1\end{array}\right) = 1+2cos(\theta)

En égalisant, on obtient donc :  3$\rm cos(\theta) = -\frac{1}{2}.

De plus, d'après notre cour ()  sin(\theta) a le même signe que  3$\rm [\vec{i},\varphi (\vec{i}),\vec{u}]  avec :

3$\rm [\vec{i},\varphi (\vec{i}),\vec{u}] = det\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&0&1\\0&1&1\end{array}\right) = -1

On déduit  sin(\theta) < 0   d'où :  3$\rm \theta \equiv -\frac{2\pi}{3} [2\pi]

3$\rm \fbox{\varphi_{ } est la rotation vectorielle autour de \vec{u} = \vec{i}+\vec{j}+\vec{k} d'angle -\frac{2\pi}{3}}

4ème étape : axe, vecteur du vissage

On cherche  3$\rm \{ M \in X tq \exists \alpha \in R , \vec{Mf(M)} = \alpha \vec{u}\ }

3$\rm \exists \alpha \in R , \vec{Mf(M)} = \alpha \vec{u} \Leftrightarrow \exists \alpha \in R , \{ x'-x = \alpha \\ y'-y = \alpha \\ z'-z = \alpha
                                               3$\rm \Leftrightarrow \exists \alpha \in R , \{ y-x = \alpha -1 \\ z-y = \alpha +2 \\ x-z = \alpha -3
                                               3$\rm \Leftrightarrow \exists \alpha \in R , \{ -x+y = \alpha -1 \\ -y+z = \alpha +2 \\ 0 = 3\alpha -2
                                               3$\rm \Leftrightarrow \exists \alpha \in R , \{ -x+y = -\frac{1}{3} \\ -y+z = \frac{8}{3} \\ \alpha = \frac{2}{3}

(D) est la droite  3$ \{-x+y = -\frac{1}{3} \\ -y+z = \frac{8}{3}  soit  pout  t\in R 3$\rm \{ x = t + \frac{1}{3} \\ y = t \\ z = t + \frac{8}{3}

Conclusion générale :

3$\rm \magenta \fbox{ f est un vissage autour de (D) oriente par \vec{u} = \vec{i}+\vec{j}+\vec{k} d'angle -\frac{2\pi}{3} de vecteur \frac{2\vec{u}}{3}}

aux erreurs de frappes près ... j'attend des commentaires :D

Merci Kaiser d'avoir participé

Romain

Posté par
lyonnaisre : JFF application ... ** 05-08-06 à 11:15

Je viens déjà de repérer une erreur de frappe (du à un copié/collé )

Au début, c'est :

3$\left(\begin{array}{c}x'\\y'\\z'\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1\\-2\\3\end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)

Posté par
infophilere : JFF application ... ** 05-08-06 à 12:16

J'ai rien compris ... cela dit, encore une fois c'est très joli

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF application ... ** 05-08-06 à 12:22

Salut lyonnais

Jolie correction et puis tout en \LaTeX !

Par contre, seulement pour chipoter, quand tu dis que la matrice de \Large{\varphi} est de cette forme, ce n'est pas tout à fait vrai. En effet, sa matrice est de cette forme dans une base orthonormée bien choisie, contrairement aux rotations du plan qui ont toujours une matrice sympathique.

Kaiser

Posté par
_Estelle_re : JFF application ... ** 05-08-06 à 12:22

Pareil

Estelle

Posté par
borneore : JFF application ... ** 05-08-06 à 12:27

5$\blue\textrm Je confirme, c'est magnifique ! Bravo Romain !

Posté par
lyonnaisre : JFF application ... ** 05-08-06 à 12:36

Merci Borneo , info et Estelle !

Kaiser > Oui, tu as tout à fait raison de chipoter :D

En fait oui, je ne l'ai pas précisé, mais c'est sous-entendu dans la base (\vec{i},\vec{j},\vec{k}) qui est par hypothèse orthonormale

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF application ... ** 05-08-06 à 12:40

Citation :
Kaiser > Oui, tu as tout à fait raison de chipoter :D




Citation :
c'est sous-entendu dans la base (\vec{i},\vec{j},\vec{k}) qui est par hypothèse orthonormale


Comment ça ? La matrice \left(\begin{array}{ccc}cos(\theta)&-sin(\theta)&0\\sin(\theta)&cos(\theta)&0\\0&0&1\end{array}\right) ?

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : JFF application ... ** 05-08-06 à 12:52

Ah, j'avais mal compris ton intervention. J'ai compris mon erreur

On peut prendre \rm \left(\begin{array}{ccc}cos(\theta)&-sin(\theta)&0\\sin(\theta)&cos(\theta)&0\\0&0&1\end{array}\right) pour la matrice d'une rotation, mais uniquement dans une base orthonormale. Or cette base orthonormale n'est pas forcément (\vec{i},\vec{j},\vec{k}) .

C'est ça ?

( faut que je revois ce cours là )

Romain

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF application ... ** 05-08-06 à 13:33

C'est tout à fait ça !
D'ailleurs, tu peux te rendre compte que dans la base (\vec{i},\vec{j},\vec{k}), la matrice de \Large{\varphi} c'est \left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{array}\right) qui n'est pas de la forme \left(\begin{array}{ccc}cos(\theta)&-sin(\theta)&0\\sin(\theta)&cos(\theta)&0\\0&0&1\end{array}\right).

Posté par
lyonnaisre : JFF application ... ** 05-08-06 à 13:34

Exact

Merci, je m'en couviendrais !!

Donc, j'ai une question : ta réponse était-elle correcte alors ?

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF application ... ** 05-08-06 à 13:39

a priori, je ne vois pas d'erreur dans mon raisonnement mais je pense que la réponse attendue doit être plus explicite, comme tu l'as fait, en parlant de vissage, puisque les déplacements de \Large{\mathb{R}^{3}} sont exactement les vissages et que les vissages sont plus simples à visualiser.

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF application ... ** 05-08-06 à 13:40

Citation :
Merci, je m'en couviendrais !!


souviendrai plutôt, non ?

Posté par
lyonnaisre : JFF application ... ** 05-08-06 à 13:41



Ok merci en tout cas pour ta participation et pour le petit coin cours

Bonne journée

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF application ... ** 05-08-06 à 13:42

Mais je t'en prie !
Bonne journée à toi aussi !


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