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JFF - des mathématiques avant-gardistes
Côme Ainpié est une valeur montante de la peinture contemporaine, voire d'avant-garde. Du moins est-ce ainsi qu'il se définit lui-même. Comme tous les précurseurs, son génie n'est pas encore reconnu par la critique spécialisée qui a qualifié ses oeuvres récentes comme "tout aussi intéressantes que les dessins d'un enfant de 6 ans". Côme Ainpié n'écoute plus ces critiques jaloux de son talent, et se prépare à entamer ce qui sera probablement son chef d'oeuvre.
Il étale sur le sol de son atelier une bâche carrée de 3 mètres de côté. Il saisit un pot de peinture rouge dont il asperge le contenu sur la bâche selon un processus créatif connu de lui seul. A la fin de cet effort artistique, la bâche présente donc des zones blanches et rouges harmonieusement (?) réparties.
Montrer qu'il existe sur la bâche au moins deux points de même couleur et distants de 1 mètre.
On supposera que tout point de la bâche est indiscutablement soit blanc soit rouge.
Indice "blank-é" :
Cliquez pour afficherProblème non inédit, accessible en Première, avec un peu de bon sens !
Nicolas
Bonjour, borneo. Je suis quasi-débutant en JFF. Quel est le barême des étoiles ?
Je connais deux démonstrations, qui utilisent toutes deux des outils mathématiques de Troisième, mais un peu d'astuce tout de même !
En fait chacun fait comme il veut. Si c'est accessible à des élèves de 3e, je dirais une étoile.
On peut aussi ruser, et mettre 3 étoiles pour une énigme facile, en faisant un peu d'intox dans l'énoncé 
désolé, je sais pas blanquer.
Enfin c'est quand même assez élémentaire. Je pense qu'un CM1 a la notion nécessaire pour trouver. Attention, cela ne veut pas dire qu'un CM1 pourrait trouver, ce qui m'étonnerait fort, mais uniquement qu'il en a les outils nécessaires.
Il suffit donc de prendre un triangle équilatéral de côté 1, et hop! le tour est joué!
Dans le même genre mais cette fois-ci en 4 étoiles:
on colorie tout le plan avec 2 couleurs. Montrer qu'il existe un triangle équilatéral dont les sommets sont de même couleur, et de côté 1 ou racine de 3.
Pour blanquer, il suffit d'encadrer ton texte avec les balises [blank ] et [/blank ] (sans les espaces)
Bonjour, borneo. Je suis quasi-débutant en JFF.
Alors je te donne un truc : il faut interdire assez fermement aux gens de répondre sans blanquer. Je n'ai pas posté beaucoup de JFF, mais on apprend vite que les réponses en clair n'incitent pas les suivants à répondre
Fractal et Musichien, bravo.
(Fractal, merci d'avoir blanqué et pour ton appréciation sympathique 
)
Borneo >> Merci de ton conseil, particulièrement avisé. Je pensais que donner un indice "blank-é" allait rappeler aux Mathîliens l'intérêt de l'opération, mais je serai plus explicite la prochaine fois.
Je posterai une solution détaillée demain, reprenant l'idée exposée par Fractal, ainsi qu'une autre, un tantinet plus laborieuse.
Nicolas
De rien Nicolas...
Juste une petite question, est-ce que c'est ma solution au l'autre qui utilise les
Cliquez pour afficher Cliquez pour afficherAaaaaaaaaaah, j'ai compris. 
En fait je connaissais vaguement ce théorème mais je n'avais pas fait le rapprochement avec ces points colorés. Mais c'est bon j'ai compris 
Fractal
Enoncé
Côme Ainpié est une valeur montante de la peinture contemporaine, voire d'avant-garde. Du moins est-ce ainsi qu'il se définit lui-même. Comme tous les précurseurs, son génie n'est pas encore reconnu par la critique spécialisée qui a qualifié ses oeuvres récentes comme "tout aussi intéressantes que les dessins d'un enfant de 6 ans". Côme Ainpié n'écoute plus ces critiques jaloux de son talent, et se prépare à entamer ce qui sera probablement son chef d'oeuvre.
Il étale sur le sol de son atelier une bâche blanche carrée de 3 mètres de côté. Il saisit un pot de peinture rouge dont il asperge le contenu sur la bâche selon un processus créatif connu de lui seul. A la fin de cet effort artistique, la bâche présente donc des zones blanches et rouges harmonieusement (?) réparties.
Montrer qu'il existe sur la bâche au moins deux points de même couleur (rouge) et distants de 1 mètre.
On supposera que tout point de la bâche est indiscutablement soit blanc soit rouge.
Démonstration 1
Appliquons le principe des tiroirs de Dirichlet : si tiroirs sont occupés par
paires de chaussettes, alors il y a au moins un tiroir occupé par plus d'une paire.
Sur la bâche de 3 mètres de côté, on peut tracer sans problème un triangle équilatéral de côté 1 mètre.
On s'intéresse aux 3 sommets du triangle : ils sont soit blancs soit rouges.
Rangeons ces 3 sommets dans deux boîtes "blanc" et "rouge". Il y en a nécessairement deux qui seront dans la même boîte, donc de même couleur... et distants de 1 mètre.
Démonstration 2
Sur la bâche de 3 mètres de côté, on peut tracer sans problème un cercle de rayon 1 mètre. Le centre
du cercle est soit blanc, soit rouge. Supposons-le blanc.
S'il existe un point de
de couleur blanche, alors la démonstration est terminée :
et
sont distants de 1 mètre, et de même couleur.
Sinon, cela signifie que tous les points de sont rouges. Il nous suffit de trouver une corde de
de longueur 1 mètre, ce qui est très facile (voir figure ci-jointe réalisée sous TeXgraph).
B et C sont de même couleur et distants de 1 mètre.
Sauf erreur !
Nicolas
Quand j'ai recopié l'énoncé pour la correction, un mot est venu se rajouter pour rien :
"Montrer qu'il existe sur la bâche au moins deux points de même couleur (rouge) et distants de 1 mètre"
Il faut ENLEVER cette parenthèse "(rouge)" : les points peuvent être tous les deux blancs ou tous les deux rouges.
L'énoncé initial en tête de fil est correct.
Toutes mes excuses.
Nicolas
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