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Tu ne précises rien sur k ??

Ma réponse : Si A=B.

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Non je ne précise rien sur k (réel).
Effectivement c'est ça C'est un problème classique ou évident pour que tu aies trouvé si vite ?
Tu peux poster le raisonnement ?

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d'emblé ce qui me vient: M décrit le cercle de diametre [AB] ssi MAB est un triangle rectangle en M...

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L'ensemble des points en question est une ellipse de foyers A et B.
Par conséquent ce sera un cercle lorsque .

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Ah non Fractal, avec les ellipses c'est trop facile et ce n'est plus de niveau premiere

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Faut faire une démo de niveau première?
Zut, je cherche encore.

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Et ?

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Salut :)
Tu es hors-concours toi
En première on ne sait que c'est une ellipse de foyers A et B (et d'ailleurs on ne sait pas non plus ce que c'est une ellipse de foyers A et B )
Donc, démo de première ?

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Soit I le milieu de [AB].
Le point N de la demi-droite [BA) tel que NA+NB=k vérifie NI = k/2.
De même le point P situé de l'autre côté vérifie également PI = k/2, donc si l'ensemble de points qui nous intéresse est un cercle, son centre est nécessairement situé sur la médiatrice de [NP] et donc sur celle de [AB], et par symétrie par rapport à (AB) on en déduit qu'il s'agit nécessairement de I.
Le point M de la médiatrice de [AB] tel que MA = MB = k/2 appartient à l'ensemble de points, par conséquent il faut que MI = k/2.
On applique le théorème de Pythagore dans MAI rectangle en I, ce qui donne MA²=MI²+AI² mais puisque MA = MI, on a AI²=0 donc A et B sont confondus

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En élevant l'égalité au carré on a



Donc l'ensemnble est un cercle si k est positif
La probabilité que ce soit fausse est non négligeable

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Je n'avais pas cette résolution mais te connaissant ce doit être bon

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C'est faux
MA+MB=k où MA et MB sont des longueurs

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C'est en effet évident dès qu'on connait les ellipses ...

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Je ne pense pas que ça soit ce que tu attendes mais ici le point M décrit une ellipse de foyers A et B à condition que k soit strictement positif. Pour que M décrive un cercle il faut donc que les foyers soient confondus donc A=B. L'excentricité est alors nulle.

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Comme dit à Fractal, je souhaiterais une démo niveau première

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les points M définissent une ellipse dont les foyers sont A et B; l'ellipse est un cercle quand A et B sont un seul et même point (ils ne sont donc pas quelconques)
Pavlov avait un avis sur la question

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Dans ce cas voir la démo de Fractal

Désolé j'ai lu par inadvertence

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en première, on devrait connaître la définition d'une ellipse depuis longtemps; les enfants savent la tracer : on punaise sur les foyers une longueur de ficelle égale à la somme des distances; on entre un crayon dans la ficelle et on trace une ligne en veillant que la ficelle soit constamment tendue

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"On devrait"... Sinon, la démonstration que j'ai est analytique (et donc pas très "directe" )

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Une 1ereS de Louis le Grand a qui j'ai donne des cours cette annee avait un prof un peu ouf qui faisait tous les trucs qui ne sont plus au programme depuis 10 ans, notamment les definitions geometriques des coniques. Cependant le probleme de ligne de niveau comme celui d'Estelle se resoud plutot avec les theoremes de la mediane ou les barycentres. Certains exercices utilisent aussi le projete orthogonal de M sur [AB].

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soient A et B deux points distincts
si k < AB, il n'y pas de point M
si k = AB, le point M décrit le segment [AB] qui n'est pas un cercle

si k > AB, il y a deux points M et N sur la droite (AB) faisant partie de la figure : AM = BN = (k-AB)/2; si la figure est un cercle, son centre est sur la médiatrice de MN, qui est aussi la médiatrice de AB; k = MA+MB = NB+MB = MN
soit O le centre du cercle et O' le milieu de [AB]

premier cas O et O' sont confondus
k =le diamètre
pour tout point P du cercle en dehors de M et N, PA+PB > k
traçons le diamètre PR; PARB est un parallélogramme (ses diagonales se coupent en leurs milieux); PR < PA+AR; PR = k; AR = PB; k < PA+PB

deuxième cas O et O' sont distincts
[MN] partage le disque en deux parties, l'une contenant O

dans la partie contenant O, pour tout point P du cercle : PA+PB > k
soit le cercle de diamètre MN; son rayon O'R perpendiculaire à MN et allant vers O est tout intérieur au premier cercle; s'il rencontre celui-ci en S : O'R < OS < OS+O' = OS
donc P est extérieur à ce deuxième cercle; PO' > MO'; 2PO' > MN; PA + PB > 2PO' > MN = k

dans la partie ne contenant pas O, PA+PB peut aussi bien être supérieur (par exemple quand P est au milieu et que A et B sont très proches de M et de N) ou inférieur ou égal à k; mais on a déjà réglé le cas où P est dans la partie du cercle contenant O et le cercle ne correspond pas à la figure décrite par M avec A et B distincts et MA + MB constants