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JFF équivalent simple ... *

Posté par
lyonnais 29-07-06 à 18:21

Bonjour à tous

Il n'y a vraiment pas beaucoup de monde en ce moment sur l'  

Pour vous divertir un peu, voici une petite énigme

JFF équivalent :

1°) Déterminez un équivalent simple en  +\infty  de   6$\rm [ \frac{ln(1+x)}{ln(x)} ]^x - 1

2°) Déduisez en :  6$\rm \lim_{x\to +\infty} [ \frac{ln(1+x)}{ln(x)} ]^x - 1

Bonne chance

Posté par
veledajff:équivalent simple 29-07-06 à 18:49

bonjour,
je me suis sans doute trompée mais je trouve

 Cliquez pour afficher
i  comme équivalent,je n'ai pas le courage de taper ma démonstration ça serait surement horrible avec toutes les barres de fraction que je ne sais pas taper.
merci pour ce défi ça permet de refaire un peu de maths avant la rentrée

Posté par
lyonnaisre : JFF équivalent simple ... * 29-07-06 à 18:54

veleda >

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Posté par
veledare:jff:équivalent simple 29-07-06 à 19:05

lyonnais>j'attendrai que d'autres cherchent,moi même je recommencerai le calcul
bonne soirée

Posté par
Roulianere : JFF équivalent simple ... * 29-07-06 à 20:17

Je trouve que c'est équivalent à

 Cliquez pour afficher
, sans grand conviction ...
( à mon avis c'est faut vu la question suivante et vu la présence de -1 )
Rouliane

Posté par
lyonnaisre : JFF équivalent simple ... * 29-07-06 à 20:21

Rouliane >

 Cliquez pour afficher


Je donnerais la réponse tard dans la soirée ou demain matin !

Posté par
Roulianere : JFF équivalent simple ... * 29-07-06 à 20:33

Je veux bien que tu me dises si c'est juste ou pas, d'autant que y'a des chances que ça ne le soit pas ...

Comme ça je pourrais chercher un peu

Posté par
lyonnaisre : JFF équivalent simple ... * 29-07-06 à 20:36

Ok Rouliane

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Romain

Posté par
Roulianere : JFF équivalent simple ... * 29-07-06 à 20:37

merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : JFF équivalent simple ... 29-07-06 à 20:39

Bonjour;
Pour \fbox{x>1} notons 2$\fbox{f(x)=(\frac{ln(x+1)}{ln(x)})^x-1} et remarquons que 3$\fbox{\forall x>1\\ln(1+f(x))=x(g(x+1)-g(x))\\g(x)=ln(ln(x))} le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction g sur l'intervalle [x,x+1] donne l'existence d'un c_x\in]x,x+1[ tel que 3$\fbox{\forall x>1\\ln(1+f(x))=\frac{x}{c_xln(c_x)}} et donc qu'un équivalent simple de ln(1+f(x)) au voisinage de +\infty est \frac{1}{ln(x)}
on en déduit tout de suite que 4$\blue\fbox{\fbox{\lim_{x\to+\infty}f(x)=0}} et par suite 3$\blue\fbox{\fbox{f(x)\hspace{5}equivalent\hspace{5}\frac{1}{ln(x)}}} au voisinage de +\infty.
Sauf erreurs bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : JFF équivalent simple ... 29-07-06 à 20:42

Pardon,je ne sais pas comment on fait pour écrire en (blanké)

Posté par
lyonnaisre : JFF équivalent simple ... * 29-07-06 à 21:05

Citation :
Pardon,je ne sais pas comment on fait pour écrire en (blanké)

C'est pas grave elhor_abdelali

Pour une prochaine fois. 2 méthodes :

- soit on est dans le forum expresso et tu trouves en bas de la zone où tu tappes ton texte le bouton avec un point d'interogation qui permet de blanké

- soit tu rajoutes \white quand tu écris quelque chose en LaTeX, et pour voir ce que tu as écris, il faut passer la souris par dessus. Ainsi :

3$\fbox{\forall x>1\\ln(1+f(x))=x(g(x+1)-g(x))\\g(x)=ln(ln(x))}  deviendrait en blanké : 3$\white \fbox{\forall x>1\\ln(1+f(x))=x(g(x+1)-g(x))\\g(x)=ln(ln(x))}  

>> La JFF n'est pas cloturée. En effet, elhor bien que n'ayant pas blanké, n'a pas forcément donné la bonne réponse

Je vous rappelle que je clotûre ce soir tard dans la soirée ou demain.

Romain

Posté par
Roulianere : JFF équivalent simple ... * 29-07-06 à 21:45

Après avoir refait mes calculs, je trouve

 Cliquez pour afficher

Posté par
lyonnaisre : JFF équivalent simple ... * 29-07-06 à 22:00

Ok merci Rouliane, j'attendais que tu postes ...

La correction arrive ...

Posté par
lyonnaisre : JFF équivalent simple ... * 29-07-06 à 22:01

J'ai une correction tout à fait différente de celle d'elhor ...

JFF équivalent :

On cherche un équivalent simple en  +\infty  de   6$\rm f(x) = [ \frac{ln(1+x)}{ln(x)} ]^x - 1

1ère étape : transformation de l'expression

6$\rm [ \frac{ln(1+x)}{ln(x)} ]^x - 1 = e^{x.ln[\frac{ln(1+x)}{ln(x)}]} - 1

2ème étape : travail sur  5$\rm x.ln[\frac{ln(1+x)}{ln(x)}]

en +\infty  :   4$\rm 1+x ~ 4$\rm x   , 4$\rm \lim_{x\to +\infty} x = +\infty  ,  donc  :  4$\rm ln(1+x) ~ 4$\rm ln(x)

et donc :   5$\rm \fbox{\lim_{x\to +\infty} \frac{ln(1+x)}{ln(x)} = 1}

Or d'après notre cours ( enfin, d'après mon cours ) ,

ln(u(x)) ~ u(x)-1   quand  lim u(x) = 1

Donc toujours en  +\infty :

5$\rm ln[\frac{ln(1+x)}{ln(x)}]   ~   5$\rm \frac{ln(1+x)}{ln(x)}-1
5$\rm ln[\frac{ln(1+x)}{ln(x)}]   ~   5$\rm \frac{ln(1+x)-ln(x)}{ln(x)}
5$\rm ln[\frac{ln(1+x)}{ln(x)}]   ~   5$\rm \frac{ln(\frac{1}{x}+1)}{ln(x)}
5$\rm ln[\frac{ln(1+x)}{ln(x)}]   ~   5$\rm \frac{1}{x.ln(x)}    car en appliquant la même formule ,     4$\rm ln(\frac{1}{x}+1)  ~ 4$\rm \frac{1}{x}

Soit finalement :

5$\rm x.ln[\frac{ln(1+x)}{ln(x)}]   ~   5$\rm \frac{1}{ln(x)}

et donc :

5$\rm \fbox{\lim_{x\to +\infty} x.ln[\frac{ln(1+x)}{ln(x)}] = 0}

3ème étape :

On sait que  exp(u(x))-1 ~ u(x)  quand  lim u(x) = 0

On en déduit ( toujours en +\infty )

5$\rm f(x) = e^{x.ln[\frac{ln(1+x)}{ln(x)}]} - 1

5$\rm f(x)  ~  5$\rm x.ln[\frac{ln(1+x)}{ln(x)}]

5$\rm \blue f(x)  ~  5$\rm \blue \frac{1}{ln(x)}

et alors :

5$\rm \magenta \fbox{\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0}

Ouff

( la démo de elhor est plus courte )

Merci à tous les participants !!

Romain

Posté par
tealcre : JFF équivalent simple ... * 29-07-06 à 22:04

Encore et toujours du beau latex... je n'ai pas pu participer à celle là mais pour la prochaine je serai là... merci!

PS : vas t'interesser à ma JFF...

Posté par
lyonnaisre : JFF équivalent simple ... * 29-07-06 à 22:07

tealc >

Ah, tu as postée une JFF toi aussi ? Je ne l'avais pas vu

désolé

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Posté par
tealcre : JFF équivalent simple ... * 29-07-06 à 22:15

lyonnais > ok... t'iras voir dans "JFF : les suites..."! bonne soirée!

Posté par
veledare:jff équivalent simplere 29-07-06 à 22:37

rebonsoir lyonnais,donc je n'ai pas fait d'erreur mais ma démonstration est beaucoup moins élégante que celle de elhor .

Posté par
infophilere : JFF équivalent simple ... * 29-07-06 à 23:43

Bonsoir

Que signifie le symbole ~ ? Je pense avoir compris mais je préfère ne pas dire de bétises.

Très beau LateX romain

Kévin

Posté par
infophilere : JFF équivalent simple ... * 29-07-06 à 23:45

En regardant la démo, je l'interprête comme "approximation".

Pour une fois que je comprends la correction d'une de vos JFF

Posté par
Nightmarere : JFF équivalent simple ... * 29-07-06 à 23:57

Salut infophile

C'est le symbôle d'équivalence.

En gros deux fonctions sont équivalentes au voisinage d'un point si elles y ont le même comportement.

Par exemple les fonctions sin et l'identité sont équivalentes au voisinage de 0.

Posté par
infophilere : JFF équivalent simple ... * 30-07-06 à 00:09

Salut Jord

Merci, lyonnais m'a expliqué sur MSN. Tu n'as pas oublié quelquechose dans ta dernière phrase ?

Bonne nuit, je quitte l'

Kévin

Posté par
Nightmarere : JFF équivalent simple ... * 30-07-06 à 00:10

Hum non, quoi ?

Posté par
lyonnaisre : JFF équivalent simple ... * 30-07-06 à 00:23

Citation :
Très beau LateX romain

Merci, je fais ce que je peux ...

Citation :
Que signifie le symbole ~


en fait  a ~ b  ça se dit : " a est équivalent à b "

Mais il faut préciser en quoi, donc on dit par exemple :

" a est équivalent en 0 à b " ...

Juste une précisions dans ma démo. Quand je dis :

Citation :
en +\infty  :   4$\rm 1+x ~ 4$\rm x   , 4$\rm \lim_{x\to +\infty} x = +\infty  ,  donc  :  4$\rm ln(1+x) ~ 4$\rm ln(x)

et donc :   5$\rm \fbox{\lim_{x\to +\infty} \frac{ln(1+x)}{ln(x)} = 1}


J'utilise le théorème suivant :

Soit f et g positives (strictement) tq  f(x) ~ g(x) (en a)

et   3$\rm \lim_{x\to a} f(x) = 0 ou \lim_{x\to a} f(x) = +\infty

alors  ln(f(x)) ~ ln(g(x)) (en a)

preuve du théo :

Par exemple quand  3$\rm \lim_{x\to a} f(x) = 0

Supposons f(x) ~ g(x) (en a)

4$\rm \frac{ln(f(x))}{ln(g(x))} = \frac{ln(g(x).\frac{f(x)}{g(x)})}{ln(g(x))} = \frac{ln(g(x))+ln(\frac{f(x)}{g(x)})}{ln(g(x))} = 1+\frac{ln(\frac{f(x)}{g(x)})}{ln(g(x))} = 1

On procède de la même façon en  +\infty

Attention :

La propriété n'est plus vrai lorsque la limite de f n'est plus 0 ou +\infty

Contre-exemple : f(x) = 1+x  g(x) = 1+x²

Enfin :

Dans notre cas, on aurait pu procéder autrement :

4$\rm \frac{ln(1+x)}{ln(x)} = \frac{ln(x(1+\frac{1}{x}))}{ln(x)} = 1+\frac{ln(1+\frac{1}{x})}{ln(x)}

d'où : 5$\rm \fbox{\lim_{x\to +\infty} \frac{ln(1+x)}{ln(x)} = 1}

Voili voila :D

Romain

Posté par
infophilere : JFF équivalent simple ... * 30-07-06 à 12:44

Désolé Jord, je croyais qu'il manquait quelquechose après "identité"

Merci pour la démo romain

Kévin

Posté par
Roulianere : JFF équivalent simple ... * 30-07-06 à 13:09

On a aussi  f~g lim(f/g)=1

Posté par
Nightmarere : JFF équivalent simple ... * 30-07-06 à 13:22

identité sur R si tu veux


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