Pour le problème senior,
le premier sachet a 888 oeufs dont 34 pour Mathias, 296 pour Mathilde et 558 pour Mathieu
le second 2701 dont 1168 pour Mathias, 876 pour Mathilde et 657 pour Mathieu
je n'ai pas trouvé moins, mais je trouve que cela fait beaucoup d'oeufs!
quelque chose a du m'échaper!

Je crois que je suis parti à l'envers! il y a plus simple
le premier sachet a 1533 oeufs dont 367 pour Mathias, 511 pour Mathilde et 655 pour Mathieu
le second 504 dont 288 pour Mathias, 144 pour Mathilde et 72 pour Mathieu
mais c'est peut-être encore loin de l'optimum

pour le problème junior, je trouve deux soluitons
premier sachet 105 oeufs dont 3 pour Mathias, 35 pour Mathilde et 67 pour Mathieu
deuxième sachet 112 oeufs dont 64 pour Mathias, 32 pour Mathilde et 16 pour Mathieu
ou
premier sachet 105 oeufs dont 1 pour Mathias, 35 pour Mathilde et 69 pour Mathieu
deuxième sachet 119 oeufs dont 68 pour Mathias, 34 pour Mathilde et 17 pour Mathieu
ça au moins ça doit être juste!

Bonjour,

Comme cela m'a été demandé par mail, voici une proposition (détaillée ) de solution à cette "Just For Fun".

Si d'aucuns y voient des erreurs ou des modes de résolution plus rapides, plus élégants... qu'ils n'hésitent pas !

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Version Senior

"Si je calcule la somme des oeufs des deux sachets et que je la divise par la différence d'oeufs des deux sachets, j'obtiens presque 2 :  exactement 97/49".

L'énoncé se traduit par le système (S1):

(a-r) + (a) + (a+r) = N = 3a
(a/q) + (a) + (aq) = M

avec :
a : le terme médian correspondant au nombre d'oeufs de Mathilde, a entier,
r : la raison arithmétique, entier,
q : la raison géométrique, non nécessairement entier,
la suite arithmétique étant croissante, alors r>=1 ce qui impose q>1 puisque (a-r)=(a/q)
(a/q) et (aq) sont entiers : je pose (a/q)=n entier => (a)=(qn) et (aq)=(q²n)

(S1) devient (S2) :

(qn-r) + (qn) + (qn+r) = N = 3qn
(n) + (qn) + (q²n) = M = (1+q+q²)n

L'énoncé parle de différence; on ne sait pas (encore) si M est plus petit ou plus grand que N; exprimons D(q,n) = M-N

D(q,n)=M-N=(1+q+q²)n - 3qn = n(q²-2q+1) = n(q-1)²

Cette dernière formulation montre, puisque q>1 (cf. ci-dessus), que D(q,n)>0 => la différence est bien M-N et non N-M

La somme  S(q,n) s'exprime comme :

S(q,n)=M+N=(1+q+q²)n + 3qn = n(q²+4q+1)

Le quotient Q(q,n)=S(q,n)/D(q,n) est alors indépendant de n :

Q(q) = (q²+4q+1)/(q-1)²

Si Q=97/49 => (q²+4q+1)/(q-1)² = 97/49 => 49(q²+4q+1)=97(q²-2q+1) => 48q²-390q+49=0 => 6(q-8)(8q-1)=0

Comme q>1, la valeur 1/8 n'est pas à retenir : seule solution q=8

Comme le nombre d'oeufs de Mathias est identique pour les 2 sachets : (qn-r)=(n) => r=(q-1)n => r=7n et (qn+r) devient 15n

(S2) devient :

(n) + (8n) + (15n) = 24n
(n) + (8n) + (64n) = 73n

La composition minimale est alors obtenue pour n=1

24 oeufs dans le premier sachet et 73 oeufs dans le second.

Nota : quand j'ai conçu l'énoncé, au vu de la courbe (x²+4x+1)/(x-1)² (cf. courbe jointe), j'ai été tenté de vous faire trouver Q=13 correspondant à q=2; cependant le système :
N = 3qn
M = (1+q+q²)n
devient pour n=1 (correspondant à un nombre minimal) :
N=3q
M=1+q+q²
qui fournit presque instantanément q=2 car 13 = (7+6)/(7-6).

Ceci vous explique la valeur "97/49" plus "exotique" qui évitait (ou tentait d'éviter) la recherche de solutions évidentes.

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En espérant ne pas avoir fait d'erreur...

Heureux cependant d'avoir mis piepalm en difficulté

Philoux

Bonjour,

Comme cela m'a été demandé par mail, voici une proposition (détaillée ) de solution à cette "Just For Fun".

Si d'aucuns y voient des erreurs ou des modes de résolution plus rapides, plus élégants... qu'ils n'hésitent pas !

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Version Junior

"Si je calcule la somme des oeufs des deux sachets et que j'y retranche la différence d'oeufs des deux sachets, j'obtiens 210 oeufs."

L'énoncé se traduit par le système (S1):

(a-r) + (a) + (a+r) = N = 3a
(a/q) + (a) + (aq) = M

avec :
a : le terme médian correspondant au nombre d'oeufs de Mathilde, a entier,
r : la raison arithmétique, entier,
q : la raison géométrique, non nécessairement entier,
la suite arithmétique étant croissante, alors r>=1 ce qui impose q>1 puisque (a-r)=(a/q)
(a/q) et (aq) sont également entiers

Comme le nombre d'oeufs de Mathias est identique pour les 2 sachets : (a-r)=(a/q) => r=a(q-1)/q

L'énoncé parle de différence; on ne sait pas (encore) si M est plus petit ou plus grand que N; exprimons D = M-N

D=M-N= (aq)-(a+r) = a(q-1)-r=a(q-1)-a(q-1)/q = a(q-1)²/q

Cette dernière formulation montre, puisque q>1 (cf. ci-dessus), que D(q,a)>0 => la différence est bien D=M-N et non N-M

Pour éviter les calculs, nous n'allons pas exprimer explicitement  S en fonction de q et a :

Car Somme-différence = (M+N) - (M-N) = 2N = 6a => 6a = 210 d'où :

a=35 => la somme du premier sachet N=3a=105 est constante quelquesoit la raison de la suite géométrique.

Exprimons maintenant le fait que a/q et qa soient entiers :


35/q  entier

Comme 35 a pour diviseurs 1, 5, 7 et  35 on peut envisager ces valeurs pour q; comme q doit être strictement supérieur à 1, la valeur 1 est à exclure : q={5,7,35}
Mais ce n'est pas suffisant car q n'est pas nécessairement entier; prenons l'exemple où q vaut 35/n, alors 35/q = 35/(35/n) = n qui sera aussi entier.

Il faut donc envisager les valeurs de q=1/b, 5/c, 7/d et 35/e avec b, c, d et e >1

Par ailleurs, il faut q>1, on a alors les contraintes :
1/b >1 = > b<1 impossible
5/c > 1 => c<5 = > c = {entier 2 à 4}
7/d > 1 => d<7 = > d = {entier 2 à 6}
35/e > 1 => e<35 = > e = {entier 2 à 34}

Le fait que 35/q soit entier impose donc  q={ 5 , 7 , 35 , 5/c , 7/d , e/35 } avec les contraintes sur c, d et e énoncées ci-dessus.


35q entier

si q est entier, 35q le sera => pas de contrainte supplémentaire sur q={ 5, 7, 35 }

si q est non entier, il va y avoir des conditions supplémentaires sur c, d et e :

si q=5/c => 35q = 5²*7/c doit être entier; comme c={2,3,4}, c'est impossible : la solution q=5/c est à exclure.

si q=7/d => 35q = 5*7²/d doit être entier; comme d={2,3,4,5,6}, la seule valeur de d à retenir est d=5 => q=7/5

si q=35/e => 35q = 5²*7²/e doit être entier; comme e={2...34} les valeurs à retenir sont e={5,7,25} qui fournissent les valeurs de q = 7, 5 et 35/25=7/5 déjà trouvées.

Les valeurs de q à retenir sont alors :

q = { 7/5 ; 5 ; 7 ; 35 }  (c'est cette valeur, 7/5, qui n'était pas évidente à trouver )

On a alors les suites suivantes issues de :

(35/q) + (35) + (35q) = M
r = 35(q-1)/q

q=7/5
25 + 35 + 49 = 109
r=10

q=5
7 + 35 + 175 = 217
r=28

q=7
5 + 35 + 245 = 285
r=30

q=35
1 + 35 + 1255 = 1261
r=34


D'où quatre solutions au problème :

S = { (N,M) =  (105,109) ; (105,217) ; (105;285) ; (105;1261) }

Après coup, je me demande si la version Junior n'était pas plus difficile que la version Senior .
La valeur 7/5 était "oubliable" dans le cas où on se limitait aux valeurs entières de q.

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En espérant ne pas avoir fait d'erreur...

Philoux

Nota : à lire les solutions proposées, peut-être l'énoncé n'est-il pas suffisament clair (?) :
il y a bien double contrainte :
- suites croissantes (aritmétique, donc géométrique),
- identité d'oeufs pour les deux premiers enfants.

Le seul problème, c'est qu'on ne peut pas recevoir un nombre d'oeufs négatif
Or si je lis bien l'énoncé
"La répartition du premier sachet sera en progression arithmétique croissante entre Mathias, Mathilde et Mathieu dans cet ordre.  
La répartition du deuxième sachet sera en progression géométrique dans le même ordre"

Puisque Mathias a le premier terme de la progression arithmétique, il a donc aussi le premier terme de la progression géométrique, c'est à dire 64. Et comme Mathilde n'en reçoit que 16 du second sachet, et qu'il n'y a que 24 oeufs dans le premier sachet, elle ne peut avoir autant d'oeufs que Mathias

Il ne m'avait pas échappé que 73=64+16+1, mais j'ai pensé que c'était un piège!

A la lecture détaillée, il semble que l'on n'ait pas eu la même interprétation de la phrase
"Mathias et Mathilde auront un nombre d'oeufs identique"
j'ai compris que le nombre d'oeufs de Mathias serait le même que celui de Mathilde, tandis que philoux a compris que Mathias et Mathilde auront autant d'oeufs provenant du premier sachet que du second sachet
D'où nos divergences... (en particulier, pour moi, la raison de la progression géométrique est inférieure à 1)

piepalm,

tu as oublié la première partie de la phrase :

Quelle que soit la répartition des deux sachets, Mathias et Mathilde auront un nombre d'oeufs identique.

Par ailleurs, je n'ai pas jugé bon de préciser plus (peut-être à tort, puisque tu y a vu une ambiguïté) car j'avais indiqué que la première suite était croissante => Mathilde et Mathias ne pouvaient pas avoir le même nombre d'oeufs au sein d'une même suite.

Merci d'avoir cherché et permis de clarifier l'énoncé, si jamais je dois le reproposer (béta-test).

Philoux

Je ne comprends pas ce que veut dire "Quelle que soit la répartition des deux sachets"
qu'entends-tu par là?
(...pas grand chose aurait répondu Pierre Dac)
Sans jouer les grammairiens , il aurait été plus clair de dire que Mathias et Mathilde auront autant d'oeufs provenant du premier que du second sachet
De plus il est précisé que la progression arithmétique est croissante, mais pas la progression géométrique. Quoiqu'il en soit l'exercice était également interessant avec mon interprétation, car dans ce cas une raison géométrique de 2 (ou plutôt 1/2) n'est admissible que si le sachet en progression géométrique est le plus petit, sinon il faut prendre 3/4...

De plus il est précisé que la progression arithmétique est croissante, mais pas la progression géométrique.

Si r=a(q-1)/q >0 comme q>0 => q>1 donc:

suite arithmétique croissante avec a-r=a/q => suite géométrique croissante.

En revanche, je suis d'accord avec toi sur une formulation encore plus précise.



Philoux