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Le nombre de petits cubes est un multiple de 880 augmenté de 225.
Ce multiple de 880 est la différence du nombre carré des petits cubes et de 225, carré de 15.
Soit c le côté du carré formé par les petits cubes.
(c+15)(c-15) = multiple de 880.
Si c n'est pas divisible par 5, le produit n'est pas divisible par 5.
Si c est impair, le produit n'est pas pair.
De c+15 et c-15, l'un n'est pas divisible par 4, donc l'autre doit être divisible par 8.
c divisé par 8 doit avoir 1 ou 7 comme reste.
c doit être un multiple de 40 augmenté de 15 ou de 25.
De c+15 et c-15, l'un est divisible par 11.
c divisible par 11 doit avoir 7 ou 4 comme reste.
c doit être un multiple de 440 augmenté de 15, 95, 345, ou 425.
La solution la plus petite est 95² = 9025 petits cubes, 10 grands cubes, 9035 cubes en tout.

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L'énoncé cachait effectivement un beau petit problème d'arithmétique

toute l'astuce résidait en le fait de trouvé que :
Le nombre de petits cubes est un multiple de 880 augmenté de 225

Je détaille quand même un peu pour les curieux qui ne comprendrais pas d'ou ça sort :
On peu considéré que les petits cubes on pour côté 1. Et que donc les grands cubes ont pour côté 880. Donc on a :
longueur de la pile des grands cubes : 880g où g est le nombre de grands cubes
longueur d(voir schéma) : 880x0.2557 225,016
longueur de la pile des petits cubes : c² = 880g + d
Donc d est entier donc d = 225.
Donc on a c² = 880g + 225

9035 est bien la solution la plus petite possible!
Je savais bien qu'un fou d'arithmétique comme toi ne tarderai pas à répondre...

Par contre il y avait bien plus simple comme raisonnement :
On sait que 880g + 225 est un carré parfait.
de plus g > 4 (énoncé : 5 grands cubes sont noirs).
On teste avec g égal 5,6,7,8 et 9 et on voit que ça ne marche pas. A g=10 on à bien 880g + 225 carré parfait. Donc la solution la plus petite possible est g= 10 et c² = 9025.