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D'après la formule du milieu d'un segment, pour qu'il soit à coordonnées entières, il faut et il suffit que ses extrémités aient des abscisses de même parité ainsi que les ordonnées de même parité.
D'après le principe des tiroirs de Dirichlet, on pourra trouver un ensemble d'au moins 3 points dont l'abscisse est de même parité. De même, dans cet ensemble on en trouvera au moins 2 dont l'ordonnée est de même parité.
Le segment formé par ces deux points répond donc à la question.
CQFD

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Pour que les coordonnées des milieux soient entières, il faut et les abscisses et les ordonnées soient de même parité.

Etant donné qu'il n'y a que 4 possibilités différentes pour les coordonnées des points : (impaire-impaire, impaire-paire, paire impaire et paire-paire), avec 5 points on est sur que le milieu d'un de ces segments est à coordonnées entières

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Au point de vue de la parité des coordonnées, ces points appartiennent à l'une de ces quatres catégories : x et y pairs; x et y impairs; x pair et y impair; x impair et y pair.
Quand il y a cinq points, deux au moins appartiennent à la même catégorie : leurs abscisses sont de même parité et leurs ordonnées aussi; donc les moyennes de leurs abscisses et de leurs ordonnées, coordonnées de leurs milieu, sont toutes deux entières.