Bonsoir,
il est clair que si on a une solution on en obtient  une autre en multipliant par un entier non nul quelconque.
On peut donc demander les solutions telles que les nombres soient globalement premiers entre eux.

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Une solution
1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48 ; 96 ; 192 ; 384.
Je pense qu'il y en a d'autres.

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Il n'y a pas de solution pour n=2

Une autre solution sur le même modèle

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1 ; 2 ; 3 ; 24 ; 30 ; 60 ; 120 ; 240 ; 480 ; 960

Une autre un peu différente

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1 ; 2 ; 6 ; 9 ; 18 ; 36 ; 72 ; 144 ; 288 ; 576

Bonsoir,
J'en trouve plusieurs en évitant 5 et 7.
Par exemple:

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1  2  3  6  12  24  48  96  192  384

ou

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1  3  4  16  24  48  96 192  384  768

messieurs ...

mais en dégagez-vous le principe général de construction ? (en blank)

Une « méthode »

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Prendre un nombre abondant S ( ou parfait dans ce cas ça marche toujours ), regarder si il est la somme d'un sous ensemble de ses diviseurs.
Si oui on a un point de départ avec ce sous-ensemble.
Ensuite on peut continuer indéfiniment avec une suite géométrique de premier terme S et de raison 2.

Un exemple avec 945
3 ; 7 ; 21 ; 27 ; 35 ; 45 ; 63 ; 105 ; 135 ; 189 ; 315
945
1890
3780
7560
15120
30240

verdurin : et si je veux 100 termes ? (dont la somme est multiple de chacun)

et sans nombre abondant ...

La somme est toujours un nombre abondant ( ou parfait ).

Pour une liste de 100 nombres dont aucun n'est abondant et dont la somme est un multiple de chacun :

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On prend les diviseurs stricts de
2⁵¹2 251 799 813 685 269.

Il y en a 103 car le second terme de la multiplication est premier.
On enlève les nombres 1, 4 et 16 de la liste et je te laisse vérifier que la liste obtenue répond à la question.

bravo verdurin et excuse moi de t'avoir enduit d'erreur !!!

je me suis mélangé les pinceaux entre deux exo (dont ceui-là) et tu as parfaitement trouvé le principe général à 19h16

d'après ta remarque de 18h10 on peut construire la suite suivante :



alors

pour que soit multiple de tout u_k avec il suffit que soit le double de

cependant tu as trouvé une propriété avec les nombres abondants fort intéressante ... (et qui montre que ce n'est pas nécessaire ...

donc merci

Juste une chose, mon dernier message à 7h40 est totalement faux.
J'ai oublié de gros morceaux pendant mon calcul.


Pour prolonger un peu :

On appelle « liste primitive » un liste de ce type telle que :
      -- les nombres qui la compose sont globalement premiers entre eux,
      -- la liste ne vérifie plus la propriété si on enlève le plus grand éléments.

Je conjecture qu'on peut en trouver de longueur quelconque.

Par exemple une liste primitive de longueur 12
[ 1, 2, 3, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42 ]

Si quelqu'un a une idée de preuve . . .

Et un grand merci à carpediem pour cet exercice.

Bonjour.

L'exercice proposé par carpediem est très intéressant et est en rapport avec les "fractions égyptiennes" (rappelons qu'une fraction égyptienne est de la forme , avec entier naturel).

A toute solution du problème de carpediem, on peut associer une décomposition de 1 en somme de fractions égyptiennes de numérateurs distincts. En effet:

     peut s'écrire        

Réciproquement, à toute décomposition de 1 en somme de fractions égyptiennes dont les numérateurs sont distincts, on peut associer un ensemble S de naturels  distincts dont la somme est multiple de chacun d'entre eux. Je vous laisse faire la démonstration.

Cette remarque nous permet de construire de nombreuses solutions au problème posé par carpediem. Par exemple, on peut vérifier facilement que:

.

Et on peut donc écrire successivement que:







...

vraiment super ce lien avec les fractions égyptiennes !

merci beaucoup