Bonjour,

Allez, je vous mets directement dans le bain malgré la reprise d'Internet pour moi.

Vous avez peut-être fait un peu, beaucoup, passionnément, à la folie, ou pas du tout de sudokus, mais sauf si vous n'en jamais fait et que vous avez l'intention de ne jamais en faire, il faudra en passer par cette étape. Vous vous êtes sûrement posés cette question : combien y a-t-il de sudokus ? Autrement dit, de combien de façons différentes peut-on inscrire tous les chiffres de 1 à 9 dans une grille de sudoku tout en respectant les règles ? C'est un sacré problème de maths, et voici comment des mathématiciens ont découvert :

Comme vous le savez, les chiffres de 1 à 9 doivent figurer une seule fois par ligne, colonne et région.

Tout d'abord, nous allons simplifier, et ne respecter que la condition par ligne. La première chose à faire est d'étudier combien y a-t-il de possibilités de placer les chiffres de 1 à 9 dans la ligne du haut ; en commençant par le 1, et on a 9 possibilités.



Ensuite, il faudra placer le 2, mais cette fois, on aura que 8 possibilités.



On place maintenant le 3, et il ne nous reste que 7 possibilités, et ainsi de suite.



Le calcul des possibilités, est, si vous l'avez compris, de 9! (factorielle de 9 (9*8*7*6*5*4*3*2*1)), ce qui fait 362 880 façons de poser les chiffres de 1 à 9.

Si nous ne tenons pas compte des chiffres dans les colonnes et les carrés, le nombre de possibilités est aussi de 9! pour la deuxième ligne, car la première ligne n'aurait aucun effet d'obligation sur la deuxième. Ainsi, le nombre total des façons de remplir les grilles sur les neuf lignes serait de (9!)⁹, environ un 1, suivit de cinquante zéros ! Voici ce que donne la calculatrice de l'ordinateur : 1,0911068841557131648034489935589e+50.

A présent, admettons que la règle du sudoku n'agisse que sur les lignes et colonnes. Pour la première ligne, le résultat serait toujours de 9! façons différentes.

Si on veut placer le 1 dans la deuxième ligne, il n'y a alors que 8 possibilités.



On dirait donc qu'il n'y a que sept possibilités pour placer le 2 et qu'il y a donc 8! possibilités pour placer les chiffres de 1 à 9, mais si on a placé le 1 de la deuxième ligne sous le 2 de la première ligne, il reste huit possibilités.



Si on utilise cette méthode, il y a 8!*8 possibilités, mais on ne va pas forcément placer le 2 sous le 3, le 3 sous le 4…

Maintenant, admettons que nous avons réussi à remplir la grille de sorte à respecter la règle des lignes et des colonnes, et qu'on s'en est bien sortis avec les maths (oulàààààààààà ! ! !), voilà à quoi pourraient ressembler les trois premières lignes :



Pour l'instant, tout va bien, mais rappellez-vous que dans un sudoku, il faut aussi respecter la règle des régions.

C'est étonnant, mais des mathématiciens et ingénieurs ont travaillé dessus pour découvrir que le nombre de possibilités de placer les chiffres de 1 à 9 dans une seule grille de sudoku est :
9!*72²*2⁷*27 704 267 971 = 6 670 903 752 021 072 936 960 ! (euh non, pas la factorielle de 6 670 903 752 021 072 936 960, mais ce point d'exclamation est fait pour représenter une… exclamation, quel suspense !)

Avec efforts, on peut comprendre ce que représente 9!*72²*2⁷, mais que fait ce 27 704 267 971 dedans ? Aussi étonnant que ça puisse paraître, c'est un nombre premier, et nous ignorons totalement comment il est arrivé là.

Au fait, les neuf nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. La liste est infinie.

Eh bien, j'en avais presque oublié la grille, mais comme on parle de nombres premiers, pourquoi pas, au lieu de faire apparaître les chiffres de 1 à 9, faire apparaître les 9 nombres premiers, pour voir si vous vous débrouillez bien ? Les règles sont les mêmes…



Bonne lecture ( ) et bonne chance.

édit Océane : images placées sur le serveur de l', merci d'en faire autant la prochaine fois