si j'ai bien compris la donnée
le nombre de cas possibles pour obtenir k points fixes parmis n est pour chacun de ces choix
on doit calculer le nombbre de cas possibles de permuter les autres elements (au nombre de n-k) en retranchant le nombre de permutations quipermettent d'obtenir des points fixes
donc il faut former l'ensemble produit EXE tel que E est l'ensemble des n-k elements restant
le cardinal de cet ensemble est (n-k)x(n-k)=(n-k)²
de cet ensemble il faut enlever les couples sous la forme (a;a) qui sont au nombre de n-k
donc le nombre d'applications posibles est
x(n-k)(n-k-1)
=n!/(n-k)!k! x (n-k)(n-k-1)
=n!/k!(n-k-2)!

la question est elle de determiner le nombre des applications possibles?

ah non je crois qu'il y aune erreur dans la deuxieme partie
j'y travaille

une question entrer ( )
que signifie JFF??

>> Nikole :

JFF = Just For Fun

C'est une énigme posée par un mathilien pour divertir un peu, et changer des problèmes " types " de mathématiques ...

En espérant avoir répondu à ta question !

Romain

thank u Romain

retour a l'enigme
bon je crois avoir mal compris la question
en effet je vais considerer le'nsemble des 7 elements {a;b;c;d;e;f;g;}
n=7 et k=4
donc de combien de facons je peux choisir 4 elements a fixer parmi ces 7
c'est bien =35
pour chjacun de ces choix il me reste 3 elements
je suppose l'un des cas
avoir fixé d;e;f et g
pour le a j'ai le choix entre b et c
pour le b j'ai le choix entre a et c (l'applicatyion par donnee n'est pas injective ni surjective)
pour le c j'ai le choix entre a et b
donc j'aurai 2x2x2=2³=8 applications possibles de l'ensemble {a;b;c} dans lui meme en eliminant les cas ou l'image de a est a

en total le nombre d'application possibles sera
35x8 qui est different de 7⁷
donc je crois avoir mal compris la question

toute une demo pour justifier avoir mal compris une question

dsl, j'ai pas lu ce que t'as marqué, mais le N(n;k), c'est k parmi n multiplié par (n-1)^(n-k). En effet, on choisit déjà un groupe de k éléments qui seront points fixes. Il reste n-k éléments. Chacun peut prendre toutes les valeurs, soit n, sauf lui-même sinon il serait point fixe, donc n-1 possibilités. Ce qui conclut...  En fait, on peut trouver la formule par le calcul, grâce à ça, mais c'est pas ça que je demande: je voudrais plutôt une démo. combinatoire...

ah oui t'a raison, les elements non fixes pourront prendre des valeurs deja fixees
donc n-1 possibilites et non pas n-k-1

ce dont tu as besoin c'est le nombre d'applications pour un k fixe ou bien la somme de ces nnombres d'applications en variant k
ca veut dire tu veux la reponse ou bien

sorry mauvaise utilisation du latex
tu veux
(n-1)^n-k ou bien la somme de ces termes pour k allant de 0 a n?

J'ai trouvé!

"il sait ce que c'est, une application, un terminale?" et je suis en première S!!

Il suffit d'utiliser le binome de Newton qui dit que:

(a+b)^n = somme de k=0 à n de k parmis n facteur de a^(n-k)*b^k.
Or ici on a: a= n-1 et b^k=1 d'ou b=1 soit ((n-1)+1)^n soit n^n!!

Voila j'ai bon????

Je suis peut etre allé un peu vite sur la fin mais j'ai remplacé a et par les valeurs précisée  dans (a+b)^n..

Je n'ai pas parler de la mise en forme algébrique car nikole l'avait déjà précisé.

s'il s'agit de la somme
tu peux considerer (a+b)ⁿ=a^n-kb^k pour k allant de 0 a n
si tu considere nⁿ=(n-1+1)ⁿ et tu appliques cette formule tu obtiens la somme desiree

je l'ai eu en premier !!! multipost!! ^^

salut Blackdevil
sur la meme longueur d'onde

Exact bravo à toi!

je t'en felicite
mais j'ai pa lu la tienne avant de poster ma reponse

Merci

oui je sais c'était un multipost simultané! tu as autant de mérite que moi ^^

le merite est a toi en classe de seconde, BRAVO
En plus moi j'ai commis des erreurs dans la demo anterieure

je voulais dire un terminale "normal" (moi aussi je suis en première, non mais!)
Enfin quand même, , mais ça, c'était le truc basique: une fois qu'on a exprimé la somme, c'est clair que c'est Newton, mais j'ai précisé que je préférais une interprétation combinatoire, sans calcul aucun (bon, tu vas me dire que là ya pas beaucoup de calcul), qui est beaucoup plus intéressante, car elle illustre une méthode souvent utile: le double-décompte.
Bonne chance...

Effectivement je vais te le dire: il n'y a aucun calcul!

Enfin bon je réfléchis la faut que je bosse mon devoir de math de demain
et je verrais sa plus tard!

card(applications à 0 point fixe)+ card(applications à 1 point fixe) + card(applications à 2 points fixes) + ... + card(applications à n points fixes) = card(toutes les applications) = n^n

Même un élève de quatrième pourrait apprendre en trois minutes ce qu'est une application, et même en connaître les remarquables que sont les injectives, les surjectives et les bijectives.

merci bien, mais c'est pas ça! Où est le k?
Bon, je vais mettre la solution:
La somme des k N(n;k) , ça revient à sommer les nombre de points fixes de chaque application. Il est clair que c'est égal au nombre d'applications auxquelles participent chaque point fixe (double-décompte: si un bouchon a un stylo, et un stylo un bouchon, compter le nombre de bouchons, c'est compter le nombre stylos). Or, un élément est point fixe de n^(n-1) applications: en effet, une fois défini ce point, on peut répartir les n-1 images restantes comme on veut. La somme fait bien n^n.
Joli, non?

Pas mal du tout pour un première



Amicalement.


David. 1ere S

Si tu aimes, en voici un autre:
soit E l'ensemble (1,2,...,n) et F (1,2,...,p) p pas forcément premier, mais supérieur à n. Trouver le nombre d'applications strictement croissantes de E dans F (faisable), puis croissantes de E dans F (plus difficile: j'avais trouvé mais par récurrence, donc c'était un peu de la triche, la solution combinatoire étant trés simple). Comme souvent, il faut utiliser la 1ère réponse pour trouver la 2ème.
Bonne chance!

Samuel, 1ère S (bin on s'y attendait)

alors?
Personne ne se dévoue? Essayez sur des petites valeurs de p.

Indice:

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à chaque fois qu'on choisit un ensemble d'images, on peut l'ordonner

salut
ben je vais essayer de resoudre la premiere question
je commence par trouver les images possibles de n plus grand element dans l'ensemble de depart
comme il faut laisser pour les n-1 elements restant au moins n-1 reponses possibles alors l'image de n peut varier entre n et p
on a alors p-n+1 possibilites pr n
si f(n)=n,comme l'application est strictement croissante, il y a une seule facon pr les autres elements de facon que f(k)=k pour 1<=k<n
si f(n)=n+1
les images des n-1 elements restant,doivent se repartir sur les n elemts dans l'ensemble d'arrivee, donc un element ne va pas avoir d'antecedant, une fois cet element est choisi,il reste une seule facon de repartir les n-1 elemnts de E.pour choisir cet elemt il y a n facons differentes.
conclusion,
si f(n)=n--->1 application
si f(n)=n+1--->n applications
si f(n)=n+2---> applications

de la meme facon
si f(n)=n+3,il y a applications


donc le nombre d'applications est la somme des applications reparties sur p-n+1 "sous-parties"qui correspondent chacune a l'image de n
donc le nbre d'applications est 1+pour k=0 a p-n de  

dans mon raisonnement precedent j'ai travaillé a fixer f(n)
je crois que c'est faisable sans fixer l'image de n
je m'explique
il faut choisir p-n elements qui n'ont pas d'antecedants et ceci de facons differentes
donc le nombre d'applications est simplement

pour le deuxieme exercice je pense a ca
il se peut que parmi les p elements de l'ensemble d'arrivee
1 seul possede des antecedants, ou 2 seulement en recoivent ou 3 ....jusqu'a n
si k elements dans l'ensemble d'arrivee recoivent des fleches alors l'ensemble des applications correspondant a k est le nombre de choix des k elements parmi p multiplié par le nombre des k-uplets tels que la somme des composantes est n et aucune n'est nulle
par exemple si on considere p=10,n=6 et k=3, alors à 3 elements de l'ensemble d'arrivee (soit l;m;n) vont aboutir 6 fleches
si un triplet est (1;3;2) (1+3+2=6) alors le plus petit element dans E va avoir comme image l,les 3 suivantes valeurs vont avoir comme image m et les 2 dernieres valeurs vont avoir comme image n.

il y a n valeurs possibles a k (allant de 1 a n)

pour un k choisi A=le nombre des k-uplets dont la somme des composantes est n je dois le calculer, je ne le connais pas a present

pour k choisi aussi, B= est le nbre de facons differentes de choisir les k elements images parmi les p existant

AxB(fonction de k)=nombre d'applications pour k

nombre d'applications total= (pour k=1 jusqu'a n) de AxB

Pour determiner le nbre des k-uplets (a;b;c) tels que a;b et c sont non nuls et a+b+c=n
je commence par un exemple
soit n=6 et k=3 donc il faut former des triplets
a peut varier de 1 à 4: a ne peut pas etre nul,et a ne peut pas etre 5(sinon b=0 et c=1 ou b=1 et c=0)
fixons a=1,
les triplets possibles sont alors (1;1;4);(1;2;3);(1;3;2);(1;4;1)
en fixant a=2 on obtient 3 triplets (2;1;3);(2;2;2);(2;3;1)
en fixant a=3 on obtient 2 triplets (3;1;2);(3;2;1)
en fixant a=4 on obtient le seul triplet (4;1;1)
ainsi le nombre de triplets possibles est 4+3+2+1=10

est ce que le nombre des k-uplets possibles avec n=1 est (n-2)!?

reste a demontre ou a prouver le contraire

oups sorry la question qui se pose est
est ce que le nombre des k-uplets possibles avec n est (n-k+1)+(n-k)(n-k-1)+---2+1   ??

suis je sur la bonne voie?

pour le 1, bravo! au passage, en bas tu peux mettre n.
Il fallait remarquer que dès qu'on peut former un ensemble de n images parmi p possibles, alors correspond une application strictement croissante et vice-versa, car on peut toujours ordonner l'ensemble, et cela de manière unique, donc la réponse est n parmi p, ou p-n parmi p, comme tu veux.
pour le 2, c'est moins compliqué, il faut trouver une astuce:
il faut réutiliser le nombre précédant, c'est-à-dire former une application strictement croissante par une manipulation, puis mettre en bijection...
Il faut donc différencier les images égales, peut-être grâce à l'ordre de leur image...