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JFF : une propriété du nombre pi
Bonsoir 
Considérons l'ensemble constitué des multiples de et des multiples de
:
Classons par ordre croissant les éléments de cet ensemble :
Numériquement :
1.31831.., 2.63662.., 3.95493.., 4.14159.., 5.27324.., 6.59155.., 7.90986.., 8.28318.., 9.22817.., 10.5465.., 11.8648.., 12.4248.., ...
On constate que les parties entières sont les entiers dans l'ordre croissant :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...
Jusqu'à quel rang cette propriété est-elle vérifiée ?
Bonne recherche !
Cordialement
Frenicle
Cliquez pour afficherjamo > Je n'avais pas vu ta proposition. Ce n'est pas la peine, je peux me procurer cet article. Merci.
frenicle >> tu devrais t'y inscrire : 
Bonne nouvelle pour l'APMEP !!
Bonsoir
En fait cette propriété est toujours vraie.
Soit A l'ensemble constitué des multiples de (1 + 
) et des multiples de (1 + 1/). Quel que soit l'entier n, il y a exactement un élément de A entre n et n + 1.
Mieux, cette propriété reste vraie si l'on remplace par n'importe quel nombre irrationnel positif.
Encore mieux : la démonstration est très simple !
La voici :
Soit x un irrationnel positif et n un entier.
Notons [a] la partie entière de a.
Le nombre de multiples de 1 + x inférieurs à n est égal à [n/(1 + x)]
Le nombre de multiples de 1 + 1/x inférieurs à n est égal à [n/(1 + 1/x)]
Le nombre d'éléments de A inférieurs à n est donc égal à [n/(1 + x)] + [n/(1 + 1/x)]
Puisque x est irrationnel, on a :
n/(1 + x) - 1 < [n/(1 + x)] < n/(1 + x)
et
n/(1 + 1/x) - 1 < [n/(1 + 1/x)] < n/(1 + 1/x)
D'où
n/(1 + x) - 1 + n/(1 + 1/x) - 1 < [n/(1 + x)] + [n/(1 + 1/x)] < n/(1 + x) + n/(1 + 1/x)
ou encore
n - 2 < [n/(1 + x)] + [n/(1 + 1/x)] < n (car n/(1 + x) + n/(1 + 1/x) = n)
Comme [n/(1 + x)] + [n/(1 + 1/x)] est un entier, il est nécessairement égal à n - 1.
Le nombre d'éléments de A inférieurs à n est donc égal à n - 1.
De même, le nombre d'éléments de A inférieurs à n + 1 est égal à n.
Conclusion : il y a exactement un élément de A entre n et n + 1.
Cordialement
Frenicle
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