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Joute n°147 : Rectangle et carré

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
22-05-14 à 21:26

Bonjour à tous,

Désolé pour le retard. J'avais oublié l'heure.

Dessinons un rectangle à l'intérieur d'un carré de côté égal à 5.
Le coin inférieur gauche du rectangle est toujours confondu avec le coin inférieur gauche du carré alors que le coin supérieur droit peut se déplacer strictement à l'intérieur du carré.
La surface du rectangle est toujours un nombre entier, tout comme la longueur de l'une au moins de ses dimensions.
On prolonge les côtés et la diagonale du rectangle comme indiqué ci-dessous pour partager le reste du carré en 4 parties colorées (en plus du rectangle).

Joute n°147 : Rectangle et carré

Question : Quelles sont les dimensions exactes du rectangle blanc permettant d'obtenir 4 zones colorées dont les surfaces sont dans un rapport 3, 5 et 9 par rapport à la plus petite d'entre elles ?
En clair, si on appelle a, b, c et d les aires des surfaces colorées et que a < b < c < d, alors il faut que b = 3a, c = 5a et d = 9a.

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 22-05-14 à 22:09

gagnéJe trouve les dimensions suivantes pour le rectangle blanc :
Côté vertical = 5/3
Côté horizontal =3

Posté par
weierstrass
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 22-05-14 à 23:08

perduJ'aurais pu aller pu plus rapidement si je ne faisais pas tant d'erreurs.
Le plus grand coté est 3, le plus petit 5.

(A savoir que pour a<b<c<d, a=vert b=jaune c=bleu d=rouge)

Posté par
weierstrass
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 22-05-14 à 23:08

perduNon 5/3!!

Posté par
Alexique
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 22-05-14 à 23:18

gagnéBonjour,

je propose les dimensions 3 fois 5/3.
L'aire verte vaut alors 10/9, la jaune 10/3, la bleu 50/9 et la rouge 10 sauf erreur...

J'ai simplement testé les valeurs L et l en faisant varier la valeur de leur produit entre 1 et 24 et la valeur de l'un des 2 entre 1 et 5 donc au plus 24 * 5 = 120 tests donc pas méchant ( mais c'est une bonne chose que de pouvoir se reposer) et un Thalès pour trouver les aires...

Merci pour l'énigme !

Joute n°147 : Rectangle et carré

Posté par
dpi
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 22-05-14 à 23:43

gagnéBonsoir,

Je trouve un rectangle blanc
de dimension  5/3 x 3

Posté par
LeDino
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 23-05-14 à 00:39

gagnéBonsoir,

Je pense que les dimensions du rectangle sont de  3  et  5/3.

Merci pour cette joute bien sympa ...

Posté par
lenain
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 23-05-14 à 03:25

gagnéBonsoir

A l'aide de geogebra, je trouve les dimension 5/3 et 3 pour les dimensions du rectangle blanc.

Merci pour la joute

Posté par
13matou
rectangle et carré 23-05-14 à 08:51

gagnéBonjour à tous,

Je propose
Longueur = 3
largeur = 5/3

a (aire du triangle vert) =10/9.

on a alors:
b (rectangle jaune) =10/3
c (trapeze bleu) =50/9
d (rectangle rouge) = 10

Posté par
masab
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 23-05-14 à 09:24

gagnéBonjour godefroy,

Les dimensions exactes du rectangle blanc permettant d'obtenir 4 zones colorées dont les surfaces sont dans un rapport 3, 5 et 9 par rapport à la plus petite d'entre elles sont données par :
longueur rectangle 3
largeur rectangle 5/3

Merci pour cette énigme géométrique colorée, et merci aussi à Monsieur Thalès !

Posté par
geo3
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 23-05-14 à 09:38

gagnéBonjour
Les dimensions du rectangle sont
3 et 5/3
A+

Posté par
rschoon
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 23-05-14 à 09:46

gagnéBonjour à tous.

Le rectangle mesure 3 de longueur et \frac{5}{3} de largeur, ce qui donne 2 positions possibles.

Posté par
manitoba
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 23-05-14 à 12:19

gagnéBonjour,

Les dimensions exactes du rectangle blanc sont 3 et 5/3.

Posté par
basilide
Rectangle et carré 23-05-14 à 13:28

gagnéPuisque le carré est de côté de égale à 5, je propose un rectangle de surface égale à 5 aussi.

Dans ce cas, la longueur du rectangle est égale à 3, et la largeur est égale à 5/3.

Le triangle VERT est la plus petite surface : 10/9.
Ensuite le rectangle ORANGE de surface : 10/9 x 3 = 10/3.
Ensuite le trapèze BLEU de surface : 10/9 x 5 = 50/9.
Et enfin le rectangle ROUGE de surface : 10/9 x 9 = 10.

Merci.

Posté par
littleguy
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 23-05-14 à 15:25

gagnéBonjour,

Pour essayer de sauver l'honneur d'un mois de mai calamiteux (pour moi), je propose :

Longueur : 3
Largeur : 5/3

Posté par
ksad
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 23-05-14 à 17:06

gagnéBonjour

Je propose les dimensions (3 x 5/3) pour le rectangle blanc. La surface ainsi obtenue est de 5 pour le rectangle blanc, et respectivement de
- 10/9 pour le triangle vert (la plus petite surface)
- 10/3 pour le rectangle jaune (soit 3 fois la plus petite)
- 50/9 pour le trapèze bleu (soit 5 fois la plus petite)
- 10 pour le rectangle rouge (soit 9 fois la plus petite)

Merci pour la joute, et à bientôt

Posté par
Alishisap
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 23-05-14 à 17:40

gagnéBonjour,
il faut que le rectangle blanc aie pour dimensions 3 en longueur et \dfrac{5}{3} en largeur.

Merci pour la joute !

Posté par
Alishisap
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 23-05-14 à 18:36

gagnéPour trouver, j'ai d'abord calculé l'aire de chaque surface en fonction des dimensions x (longueur) et y (largeur) du rectangle blanc, sachant qu'il faut considérer deux cas : lorsque y\le x (le cas le plus évident) MAIS également lorsque y > x.

Puis j'ai fait tourner un programme qui a testé tous les cas théoriques (la contrainte "la surface du rectangle est toujours un nombre entier, tout comme la longueur de l'une au moins de ses dimensions" restreint considérablement le nombre de cas). Avec cette contrainte, il n'existe que 92 cas possibles, ce qui est relativement faible.

Finalement il a brillament trouvé 3 et 5/3 comme dimensions. C'est la seule solution possible sur les 92.

Je tiens à démontrer la validité de ce résultat, en guise de vérification.

J'appellerai F1, F2, F3 et F4 l'aire des surfaces colorées (de gauche à droite et de haut en bas).

Nous prenons donc x=3 (un entier : une condition respectée) et y=\dfrac{5}{3}.

L'aire du rectangle blanc est donc de 5, un entier : une condition respectée.

F1=3\left(5-\dfrac{5}{3}\right)=15-5=10
 \\ 
 \\ F4=\dfrac{5}{3}(5-3)=\dfrac{10}{3}

Ca se complique un peu pour F2 et F3.
Soient d la diagonale du rectangle blanc et d' celle de F3.
D'après le théorème de Pythagore :

d^2=3^2+\dfrac{5^2}{3^2}\Longrightarrow d = \dfrac{\sqrt{106}}{3}

Et d'après le théorème de Thalès :

\dfrac{d}{d+d'}=\dfrac{3}{5}\Longrightarrow d'=\dfrac{2d}{3}=\dfrac{2\sqrt{106}}{9}

Encore un coup de Pythagore pour trouver h la hauteur de F3 :

d'^2=2^2+h^2\Longrightarrow h=\sqrt{d'^2-4}=\dfrac{10}{9}
 \\ 
 \\ F3=\dfrac{1}{2}\times2\times\dfrac{10}{9}=\dfrac{10}{9}
 \\ 
 \\ F2=25-5-F1-F4-F3=20-10-\dfrac{10}{3}-\dfrac{10}{9}=\dfrac{50}{9}

Nous avons donc F3<F4<F2<F1.

3F3=\dfrac{10}{3}=F4
 \\ 
 \\ 5F3=\dfrac{50}{9}=F2
 \\ 
 \\ 9F3=10=F1

Tout est vérifié. Voici l'allure du schéma :

Joute n°147 : Rectangle et carré

Posté par
jgeneve
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 23-05-14 à 23:40

gagnéBonjour,

le rectangle doit avoir comme dimensions (3 , 5/3)
ou bien sur (5/3 , 3)!!

@++

Posté par
franz
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 24-05-14 à 01:25

gagnéLes dimensions du rectangle blanc sont \red 3 et \red \frac 5 3

Posté par
dubo34
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 24-05-14 à 08:00

perduJe propose un rectangle de surface 5 soit L=3 et l=1.67
on obtient ainsi:
a=1.11
b=3.33=3a
c=5.56=5a
d=10.00=9a

Posté par
Cpierre60
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 25-05-14 à 08:13

gagnéBonjour,
Dans la même unité de longueur que le côté du carré, je propose un rectangle de dimensions :
(5/3)3

Merci pour cette énigme !

Posté par
plumemeteore
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 25-05-14 à 15:17

gagnéBonjour Godefroy.
Le côté horizontal du rectangle blanc est 3; son côté vertical est 5/3.
Classement par ordre décroissant des régions : rouge, bleue, jaune, verte (qui mesure 10/9).

Posté par
benmagnol
Eureka 25-05-14 à 20:35

gagnéBonjour
Je trouve 3 de large et 5/3 de haut.
Bonne journée et Merci pour cette énigme

Posté par
sbarre
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 25-05-14 à 22:01

gagnéBonjour
si x vaut 3 et y vaut 5/3 (les coordonnées du coin supérieur droit du rectangle blanc), alors la surface verte "vaut" 10/9, la jaune 30/9 la bleue 50/9 et la rouge 90/9 et le rectangle blanc: 5 (entier); x étant également entier, toutes les conditions requises sont satisfaites.


Merci et à la prochaine....

Posté par
seb_dji
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 26-05-14 à 11:16

gagnéle rectangle blanc a une longueur de 3 et une hauteur de 5/3
ce qui donne un rectangle rouge de 10, jaune de 10/3, bleu de 50/9 et vert de 10/9

Posté par
pallpall
rectangle et carré 26-05-14 à 15:25

gagnéBonjour,

le rectangle a pour longueur 3 et pour largeur 5/3.
Il peut être "horizontal" ou "vertical" avec ces dimensions.

Merci pour l'énigme.

Posté par
torio
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 26-05-14 à 16:58

gagnéBase : 3
Hauteur : 5/3
(Voir dessin)


A+
Torio

Joute n°147 : Rectangle et carré

Posté par
torio
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 26-05-14 à 17:02

gagnéOn ne demande qu'une solution
mais il y a aussi la "symétrique" :
Base : 5/3
Hauteur : 3
(Voir dessin)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 29-05-14 à 10:18

gagnéBonjour,

les dimensions du rectangle blanc sont longueur = 3cm et largeur = 5/3 cm = 1.666... cm
son aire = 5cm²

par hypothèse la plus petite des aires est celle du triangle
(d'autres cas de figure ne donnent pas les rapports demandés, et de toute façon on ne demande pas toutes les solutions , une seule suffit)

Joute n°147 : Rectangle et carré
en appelant x = AH et y = AE (donc BH = a-x, a = 5, coté du carré et DE = a-y)
l'aire du rectangle blanc S0 = xy
l'aire du triangle APH = xy/2 et l'aire du triangle S1 homothétique
S1 = xy/2 ((a-x)/x)² = y(a-x)²/(2x)
S2 = y(a-x)
S3 + S1 = (a-x)(a-y)
S4 = x(a-y)

la condition S2 = 3S1 s'écrit
y(a-x) = 3y(a-x)²/(2x) soit 2x = 3(a-x) et donc x = 3a/5 = 3cm

la condition S4 = 9S1 s'écrit :
x(a-y) = 9y(a-x)²/(2x)
en portant x = 3a/5 cela donne après simplification a-y = 2y soit y = a/3 = 5/3 cm

la condition S3 + S1 = 6S1 s'écrit

(a-x)(a-y) = 6y(a-x)²/(2x) soit x(a-y) = 3y(a-x)
qui est satisfaite pour x = 3a/5 et y = a/3

l'aire xy = 5 est entière, la longueur x = 3cm est entière, tout baigne.

Posté par
panda_adnap
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 31-05-14 à 15:36

gagnéBonjour,

Je propose 3(horizontal) et 5/3(vertical) pour le rectangle blanc:

Ce qui fait
rectangle blanc : 5

rouge = 3* 10/3 = 10 (= 9*10/9)
jaune = 2*5/3 = 10/3 (= 3*10/9)
vert : base = 2, hauteur = 5/3*5/3-5/3 = 10/9, aire = 10/9
bleu = 25-5-10-10/3-10/9 = (90-30-10)/9 = 50/9 (=5*10/9)

Posté par
spelecameleon
réponse à la joute n° 147 01-06-14 à 21:55

gagnéBonjour,

Les cotés du rectangle blanc doivent mesurer 3 et 5/3 pour répondre aux contraintes de l'énoncé.

Merci pour cette joute,

cordialement.

Posté par
Shannh
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 07-06-14 à 13:58

perduBonjour à tous,

Je trouve une aire de carré blanc égale à 5.


Merci pour l'énigme.

Posté par
thierry45mada
Rectangle et Carré 09-06-14 à 12:19

gagnéBonjour.

Dimensions du rectangle : 3,0 sur 5/3

Amitiés

Posté par
ming
rectangle 09-06-14 à 18:44

perdubonjour

5 sur 5/3 ?

Merci

Posté par
LittleFox
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 12-06-14 à 11:28

gagnéLes dimensions exactes du rectangle blanc permettant d'obtenir 4 zones colorées dont les surfaces sont dans un rapport 3, 5 et 9 par rapport à la plus petite d'entre elles sont (3,\frac{5}{3}).

a = \frac{10}{9}
b = \frac{30}{9} = 3a
c = \frac{50}{9} = 5a
d = \frac{90}{9} = 9a

L'aire du rectange est 5, ce qui est bien entier.

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 14-06-14 à 14:04

Clôture de l'énigme :

Très peu d'erreurs.

Bravo !

Posté par
weierstrass
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 15-06-14 à 13:46

perduÇa m'apprendra à répondre à 11h du soir

Posté par
dpi
re : Joute n°147 : Rectangle et carré 16-06-14 à 15:30

gagnéBonjour,

Unpour ma 400 ème

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 97:06:19.
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