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Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
14-08-14 à 11:24

Bonjour à tous,

Retrouvons notre rectangle et son copain le carré (dont la longueur du côté est un entier strictement supérieur à 10 et strictement inférieur à 20).
Il est à noter que leurs diagonales sont de même longueur et que la surface du rectangle est un nombre entier.

Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour

Mais il est surprenant de constater que si on applique l'une des diagonales du rectangle sur l'une des diagonales du carré, la surface commune aux deux est aussi un nombre entier.

Question : Quelles sont les surfaces du carré, du rectangle et de leur partie commune ?
Précision : le carré et le rectangle ne sont pas confondus.

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 14-08-14 à 12:13

gagnéBonjour et merci pour l'énigme..
Alors je trouve
Surface du carré = 225 (côté égal à 15)
Surface du rectangle = 180 (côtés égaux à 3*10 et 6*10)
Surface commune =150

Posté par
derny
Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 14-08-14 à 14:28

gagnéBonjour
225   180   150  

Posté par
masab
re : Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 14-08-14 à 16:36

gagnéBonjour godefroy,

aire du carré : 225
aire du rectangle : 180
aire de l'intersection : 150

côtés du rectangle :   b=3\times\sqrt{10}   et   c=6\times\sqrt{10}   d'où son aire   bc=180

base de l'intersection : d=5*\sqrt{10}   d'où son aire   bd=150

Merci pour cette énigme géométrique qui ne manquait pas de subtilité...

Posté par
littleguy
re : Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 15-08-14 à 10:25

gagnéBonjour,

Je propose 225 pour le carré, 180 pour le rectangle et 150 pour la partie commune.

Posté par
rschoon
re : Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 15-08-14 à 12:08

gagnéBonjour à tous.

Surface du carré : 225
Surface du rectangle : 180
Surface de la partie commune : 150

Merci pour l'énigme

Posté par
panda_adnap
re : Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 15-08-14 à 14:26

perduBonjour

Je propose un carre d'aire 144, un rectangle d'aire 143 et une aire commune de 135

Le carre fait 12*12, soir une aire de 144.

Les cotes approches du rectangles sont 12.686255 et 11.272042

Posté par
torio
re : Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 15-08-14 à 18:46

gagnéaire carré :  225    
aire rectangle :  180    
aire partie  commune :  150


A+
Torio

Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour

Posté par
benmagnol
J'ai trouvé mais chui pas content 15-08-14 à 19:59

perduBonjour
Merci pour cette énigme absolument passionnante.
Je trouve trois triplets de solutions correspondant aux Aires du Carré, du rectangle et de leur partie commune.
première solution 289 204 et 169
seconde solution 225 180 et 150
troisième solution 361 159 136.

Ce qui me dérange c'est de n'avoir pu prouver que c'étaient des entiers, c'est l'inconvénient de la résolution "en force brute", il doit y avoir des solutions beaucoup plus élégantes, mais je n'y suis pas parvenu.
Un grand merci encore pour cette énigme géniale

Posté par
Alexique
re : Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 17-08-14 à 01:34

gagnéBonjour,

je propose donc les aires 225, 180 et 150 respectivement pour le carré, le rectangle et la partie commune (le côté du carré fait 15, et le rectangle a pour dimension 610x310)

J'ai testé pour chaque c entre 11 et 19 puis pour chaque aire entière du rectangle possible (car elle est  majorée à c constant), j'en déduisais une équation bicarré pour la largeur puis j'obtiens la longueur puis l'aire commune et je vérifie si oui ou non elle est entière. D'autre expliqueront mieux que moi le détail des calculs.

Énigme très passionnante, à peine coriace en cette période estivale

Merci

Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour

Posté par
geo3
re : Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 18-08-14 à 22:58

perduBonsoir
Surface du carré = 256
Surface du rectangle = 180
Surface de la partie commune = 144
Pas facile
Merci pour ce genre d'énigme que j'apprécie
A+

Posté par
spelecameleon
réponse joute n°158 19-08-14 à 18:11

gagnéBonjour,

je propose la réponse suivante :

Surface du carré : 225
Surface du rectangle : 180
Surface commune aux deux : 150


Merci pour cet exercice...

Posté par
franz
re : Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 19-08-14 à 18:42

perduLes aires sont :
carré :                 225
rectangle :           180        (de côtés  3\sqrt{10}\;\times \;6\sqrt{10})
partie commune :   75

Posté par
dpi
re : Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 20-08-14 à 07:51

gagnéBonjour,

Beau travail de vacances..

On peut toujours chercher avec les décimales, mais
je me suis souvenu d'une autre joute....
Donc un bon carré de 15 avec un bon rectangle de 90
x 360 devraient s'accoupler.
SURFACE DU CARRE 15²=225
SURFACE DU RECTANGLE 180
SURFACE DU PARALELLOGRAMME COMMUN 150

Posté par
Alishisap
re : Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 20-08-14 à 09:53

gagnéBonjour,
une réponse possible, je ne sais pas s'il y en a d'autres :

Aire du carré : 225 (15 de côté).
Aire du rectangle : 180.
Aire de la partie commune: 150.

Merci pour la joute !

Posté par
Alishisap
re : Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 20-08-14 à 12:03

gagnéJoute n°158 : Rectangle et carré, le retour

Notons A l'aire d'intersection, A' l'aire d'un des 2 triangles rectangles, l'aire du carré, l'aire du grand rectangle, c le côté du carré (qui est aussi le grand côté des triangles rectangles) et c' l'autre côté des triangles rectangles.

On remarque que le rectangle partage le carré en 2 triangles rectangles de même dimensions (à cause de la symétrie) et 1 parallélogramme (qui forme la surface d'intersection).

On a A = c^2-2A' qui doit être entier.

2A' doit être entier (c² l'est forcément).

2A'=c\times c'

Donc de toute façon, c'\in\D.

Le plus facile est d'abord de rechercher une solution pour c'\in\N.

0<c'<c et 10<c<20 ce qui nous donne 135 possibilités, pas trop long à balayer la liste. Le tout est de trouver un couple (c;c') tel que \Delta\in\N.

Et sans m'attendre du tout à trouver une solution pour c'\in\N, j'en trouve une avec le couple (15;5).

Nous avons donc \Omega=15^2=225 et A=c^2-(c\times c')=225-(15\times5)=150.

GeoGebra donne l'entier 180 pour mais encore faut-il le démontrer. Pour cela j'utiliserai les notations de ce schéma :

Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour

La diagonale d du rectangle et du carré sont confondues et d=15\sqrt{2} (d'après le théorème de Pythagore dans le carré).
On a aussi a=5\sqrt{10} (d'après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle du haut).
Enfin f=c-c'=10.

On peut donc utiliser le théorème d'Al Kashi dans le triangle BCD pour trouver la valeur de \cos\gamma.

\cos\gamma=\dfrac{2}{5}\sqrt{5}

Mais en appliquant la trigonométrie dans ECD on sait aussi que \cos\gamma=\dfrac{l}{d}.

Soit \dfrac{l}{d}=\dfrac{2}{5}\sqrt{5} ce qui nous donne l=6\sqrt{10}.

Un dernier coup de Pythagore dans ECD nous donne l'=3\sqrt{10}.

Soit \Delta=l\times l'=180. GeoGebra ne s'est pas trompé !

Deux remarques : de façon logique, les coins du retangle et du carré appartiennent à un même cercle puiqu'ils ont une diagonale commune.
D'autre part, cela ne prouve pas qu'il n'existe pas d'autres solutions que celle-là. Peut-être que quelqu'un l'a fait !

A bientôt.

Posté par
LittleFox
re : Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 20-08-14 à 18:07

gagnéLes surfaces du carré, du rectangle et de leur partie commune sont respectivement 225, 180 et 150.

Le problème se simplifie en :


 \\ \begin{cases}C = c^2 
 \\ P = c^2 (1-x) 
 \\ R = c^2 \frac{1-x^2}{1+x^2} 
 \\ \end{cases}
 \\

C étant l'aire du carré, P l'aire de la partie commune, R l'aire du rectangle, c la longueur du coté du carré et x le rapport  entre la distance séparant le sommet du carré ne se trouvant pas sur la diagonale et l'intersection entre le carré et le rectangle, et c (dur à expliquer sans dessin ^^').

Sachant que c \in \Z tel que  10 < c < 20 et que P \in \Z tel que  0 < P < c^2, je fais varier ces deux paramètres (2067 combinaisons) jusqu'à trouver un R \in \Z.

La seule solution est (c,P) = (15,150) ce qui donne (C,x,R) = (225,\frac{1}{3},180).

Belle énigme

Posté par
Raphi
re : Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 20-08-14 à 20:17

gagnéJe trouve pour le carré 225, le rectangle 180 et en commun 150

Posté par
franz
re : Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 21-08-14 à 20:00

perdu
Et un petit

Les aires sont :
carré :                   225
rectangle :             180        (de côtés  3\sqrt{10}\;\times \;6\sqrt{10})
partie commune :   150

je n'ai pas le temps pour l'instant d'expliquer la méthode analytique que j'ai utilisée mais merci pour cette énigme très intéressante.

Posté par
pdiophante
Joute n°158 23-08-14 à 18:00

gagnéBonjour,

surface du carré: 225
surface du rectangle:180
surface de la partie commune: 150

Commentaire: les angles et 90° -  que font les côtés du rectangle avec la diagonale du carré sont tels que cos() = 2/5 soit =  26,565..°

Posté par
manitoba
re : Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 25-08-14 à 18:10

gagnéBonjour,

Aire du carré =225 (m²,cm²,km²,...???)
Aire du rectangle =180 (idem)
Aire partie commune=150 (idem)

Merci pour la joute

Posté par
pallpall
re : Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 27-08-14 à 09:59

perduBonjour,

je propose les surfaces suivantes :
- carré : 100
- rectangle : 28
- partie commune : 25

Posté par
weierstrass
re : Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 27-08-14 à 14:55

gagnéBonjour, loin d'être facile cette énigme, je trouve:
aire du carré:225
aire du rectangle:180
aire de la partie commune:150

Posté par
jugo
re : Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 01-09-14 à 12:31

gagnéBonjour,

Je trouve les surfaces suivantes:
. Carré : 225
. Rectangle : 180
. Partie commune : 150

(carré de 15x15, rectangle de 3√10x6√10, le rectangle coupe le côté du carré aux 2/3 en partant de la diagonale commune)

Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour

Merci.

Posté par
seb_dji
re : Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 03-09-14 à 15:45

gagnésurface carré: 225
rectangle: 180
partie commune: 150

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 05-09-14 à 14:17

Clôture de l'énigme :

Un peu de géométrie, ça ne fait pas de mal avant la rentrée !

Posté par
franz
re : Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 11-09-14 à 03:18

perduPour élargir ce problème et éviter une recherche via de la programmation brutale, je suis parti des considérations suivantes
si le carré et le rectangle ont une diagonale commune, ils sont inscriptibles dans un même cercle de rayon r.
En notant \alpha l'angle dont la tangente est égale au rapport de la largeur du rectangle sur sa longueurJoute n°158 : Rectangle et carré, le retour   (cf figure).

Par raison de symétrie, on se limite au cas \alpha\in]0,\frac \pi 4[

Un peu de calcul trigo nous permet de déterminer les coordonnées du point H

On en déduit l'expression des aires en fonction de c=\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}

\red\bullet  l'aire du carré est n_1=a^2=2r^2

\red\bullet  l'aire du rectangle est n_2=b.c=2r^2\sin(2\alpha)=n_1\,.\,2\cos\alpha\sin\alpha=n_1 \,.\,\frac {2\cot\alpha}{1+\cot^2\alpha}

\red\bullet  l'aire commune est n_3=2r^2\frac{2\sin\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha}=n_1 \,.\,\frac {2}{1+\cot\alpha}


La dernière relation permet de dire que c=\cot\alpha\in\Q

La seconde relation permet de dire que c est racine de n_2 \,x^2-2n_1\,x+n_2.
Par ailleurs comme \alpha\in]0,\frac \pi 4[, \cot\alpha>1  et comme le produit des racines vaut \frac {n_2}{n_2}=1, c est la plus grande des deux racines.

Le discriminant de ce trinôme vaut \Delta = 4\left(n_1^2-n_2^2\right)
\large {\red c}=\frac {2n_1+\sqrt\Delta}{2n_2}=\red \frac {n_1+\sqrt{n_1^2-n_2^2}}{n_2}

Comme c\in\Q , \sqrt{n_1^2-n_2^2} = \delta\in\N

Par conséquent, (\delta,n_2,n_1) forment un triplé pythagoricien avec comme condition supplémentaire n_1=a^2.

Deux cas sont à considérer:

\blue(1)\left\{ \begin{array}{rclcl}n_1 & = & k(p^2+q^2) & = & a^2\\ n_2 & = & k(p^2-q^2)\\\delta & = & 2 k p q\end{array}\right.     et     \blue(2)\left\{ \begin{array}{rclcl}n_1 & = & k(p^2+q^2) & = & a^2\\ n_2 & = & 2 k p q\\\delta & = & k(p^2-q^2)\end{array}\right.

    
Une fois q'on a choisi p et q, k doit être choisi de telle sorte que k(p^2+q^2) est un carré parfait.

par exemple : (p,q)=(3,2), k=13s^2
(p,q)=(4,3), k=s^2


\blue\underline {Cas (1)}
l'expression rouge devient
\large {\red c}=\frac {k(p^2+q^2)+2kpq}{k(p^2-q^2)}=\frac{k(p+q)^2}{k(p+q)(p-q)}=\red\frac{p+q}{p-q}

En replaçant dans l'expression de n_3

\large n_3=\frac {2k(p^2+q^2)}{1+\frac{p+q}{p-q}}=\frac{2k(p^2+q^2)(p-q)}p

comme p et q sont premiers entre eux, p divise 2k








\blue\underline {Cas (2)}
l'expression rouge devient
\large {\red c}=\frac {k(p^2+q^2)+k(p^2-q^2)}{2kpq}=\red\frac p q

En replaçant dans l'expression de n_3

\large n_3=\frac {2k(p^2+q^2)}{1+\frac p q}=\frac{2k(p^2+q^2)q}{p+q}

comme p et q sont premiers entre eux, on montre quep+q divise 2k






Le cas de l'énoncé de l'énigme correspond au couple (p,q)=(2,1) et au \blue\underline {Cas (2)}
dans ce cas, k=5s^2 et p+q=3 divise k

donc k=45s'^2 et en choisissant s'=1 on obtient

\red \left\{ \begin{array}{rcccr}n_1 & = & k(p^2+q^2) & = & 225\\ n_2 & = & 2 k p q & = & 180\\n_3 & = & \frac{2k(p^2+q^2)q}{p+q} & = & 150\end{array}\right.



On peut aisi trouver d'autres triplets très jolis
ainsi avec (p,q)=(4,3) et dans le \blue\underline {Cas (2)}, k=s^2 et p=4 divise 2k
Donc k=4s'^2

\red \left\{ \begin{array}{rcccr}n_1 & = & k(p^2+q^2) & = & 100\\ n_2 & = & k(p^2-q^2) & = & 28\\n_3 & = & \frac{2k(p^2+q^2)(p-q)}{p} & = & 25\end{array}\right.

Posté par
franz
re : Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 11-09-14 à 03:22

perduMoralité : tout ça pour un

Posté par
dpi
re : Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 11-09-14 à 07:40

gagnéBonjour

>franz

En tout cas tu mérites pour la beauté
de ton exposé.

Posté par
franz
re : Joute n°158 : Rectangle et carré, le retour 11-09-14 à 08:40

perdumerci

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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