Bonjour à tous,
Retrouvons notre rectangle et son copain le carré (dont la longueur du côté est un entier strictement supérieur à 10 et strictement inférieur à 20).
Il est à noter que leurs diagonales sont de même longueur et que la surface du rectangle est un nombre entier.
Mais il est surprenant de constater que si on applique l'une des diagonales du rectangle sur l'une des diagonales du carré, la surface commune aux deux est aussi un nombre entier.
Question : Quelles sont les surfaces du carré, du rectangle et de leur partie commune ?
Précision : le carré et le rectangle ne sont pas confondus.
Bonjour et merci pour l'énigme..
Alors je trouve
Surface du carré = 225 (côté égal à 15)
Surface du rectangle = 180 (côtés égaux à 3*10 et 6*10)
Surface commune =150
Bonjour godefroy,
aire du carré : 225
aire du rectangle : 180
aire de l'intersection : 150
côtés du rectangle : et d'où son aire
base de l'intersection : d'où son aire
Merci pour cette énigme géométrique qui ne manquait pas de subtilité...
Bonjour à tous.
Surface du carré : 225
Surface du rectangle : 180
Surface de la partie commune : 150
Merci pour l'énigme
Bonjour
Je propose un carre d'aire 144, un rectangle d'aire 143 et une aire commune de 135
Le carre fait 12*12, soir une aire de 144.
Les cotes approches du rectangles sont 12.686255 et 11.272042
Bonjour
Merci pour cette énigme absolument passionnante.
Je trouve trois triplets de solutions correspondant aux Aires du Carré, du rectangle et de leur partie commune.
première solution 289 204 et 169
seconde solution 225 180 et 150
troisième solution 361 159 136.
Ce qui me dérange c'est de n'avoir pu prouver que c'étaient des entiers, c'est l'inconvénient de la résolution "en force brute", il doit y avoir des solutions beaucoup plus élégantes, mais je n'y suis pas parvenu.
Un grand merci encore pour cette énigme géniale
Bonjour,
je propose donc les aires 225, 180 et 150 respectivement pour le carré, le rectangle et la partie commune (le côté du carré fait 15, et le rectangle a pour dimension 610x310)
J'ai testé pour chaque c entre 11 et 19 puis pour chaque aire entière du rectangle possible (car elle est majorée à c constant), j'en déduisais une équation bicarré pour la largeur puis j'obtiens la longueur puis l'aire commune et je vérifie si oui ou non elle est entière. D'autre expliqueront mieux que moi le détail des calculs.
Énigme très passionnante, à peine coriace en cette période estivale
Merci
Bonsoir
Surface du carré = 256
Surface du rectangle = 180
Surface de la partie commune = 144
Pas facile
Merci pour ce genre d'énigme que j'apprécie
A+
Bonjour,
je propose la réponse suivante :
Surface du carré : 225
Surface du rectangle : 180
Surface commune aux deux : 150
Merci pour cet exercice...
Bonjour,
Beau travail de vacances..
On peut toujours chercher avec les décimales, mais
je me suis souvenu d'une autre joute....
Donc un bon carré de 15 avec un bon rectangle de 90
x 360 devraient s'accoupler.
SURFACE DU CARRE 15²=225
SURFACE DU RECTANGLE 180
SURFACE DU PARALELLOGRAMME COMMUN 150
Bonjour,
une réponse possible, je ne sais pas s'il y en a d'autres :
Aire du carré : 225 (15 de côté).
Aire du rectangle : 180.
Aire de la partie commune: 150.
Merci pour la joute !
Notons A l'aire d'intersection, A' l'aire d'un des 2 triangles rectangles, l'aire du carré, l'aire du grand rectangle, c le côté du carré (qui est aussi le grand côté des triangles rectangles) et c' l'autre côté des triangles rectangles.
On remarque que le rectangle partage le carré en 2 triangles rectangles de même dimensions (à cause de la symétrie) et 1 parallélogramme (qui forme la surface d'intersection).
On a qui doit être entier.
2A' doit être entier (c² l'est forcément).
Donc de toute façon, .
Le plus facile est d'abord de rechercher une solution pour .
et ce qui nous donne 135 possibilités, pas trop long à balayer la liste. Le tout est de trouver un couple tel que .
Et sans m'attendre du tout à trouver une solution pour , j'en trouve une avec le couple .
Nous avons donc et .
GeoGebra donne l'entier 180 pour mais encore faut-il le démontrer. Pour cela j'utiliserai les notations de ce schéma :
La diagonale d du rectangle et du carré sont confondues et (d'après le théorème de Pythagore dans le carré).
On a aussi (d'après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle du haut).
Enfin .
On peut donc utiliser le théorème d'Al Kashi dans le triangle BCD pour trouver la valeur de .
Mais en appliquant la trigonométrie dans ECD on sait aussi que .
Soit ce qui nous donne .
Un dernier coup de Pythagore dans ECD nous donne .
Soit . GeoGebra ne s'est pas trompé !
Deux remarques : de façon logique, les coins du retangle et du carré appartiennent à un même cercle puiqu'ils ont une diagonale commune.
D'autre part, cela ne prouve pas qu'il n'existe pas d'autres solutions que celle-là. Peut-être que quelqu'un l'a fait !
A bientôt.
Les surfaces du carré, du rectangle et de leur partie commune sont respectivement 225, 180 et 150.
Le problème se simplifie en :
étant l'aire du carré, l'aire de la partie commune, l'aire du rectangle, la longueur du coté du carré et le rapport entre la distance séparant le sommet du carré ne se trouvant pas sur la diagonale et l'intersection entre le carré et le rectangle, et (dur à expliquer sans dessin ^^').
Sachant que tel que et que tel que , je fais varier ces deux paramètres (2067 combinaisons) jusqu'à trouver un .
La seule solution est ce qui donne .
Belle énigme
Et un petit
Les aires sont :
carré :
rectangle : (de côtés )
partie commune :
je n'ai pas le temps pour l'instant d'expliquer la méthode analytique que j'ai utilisée mais merci pour cette énigme très intéressante.
Bonjour,
surface du carré: 225
surface du rectangle:180
surface de la partie commune: 150
Commentaire: les angles et 90° - que font les côtés du rectangle avec la diagonale du carré sont tels que cos() = 2/5 soit = 26,565..°
Bonjour,
Aire du carré =225 (m²,cm²,km²,...???)
Aire du rectangle =180 (idem)
Aire partie commune=150 (idem)
Merci pour la joute
Bonjour, loin d'être facile cette énigme, je trouve:
aire du carré:225
aire du rectangle:180
aire de la partie commune:150
Bonjour,
Je trouve les surfaces suivantes:
. Carré : 225
. Rectangle : 180
. Partie commune : 150
(carré de 15x15, rectangle de 3√10x6√10, le rectangle coupe le côté du carré aux 2/3 en partant de la diagonale commune)
Merci.
Pour élargir ce problème et éviter une recherche via de la programmation brutale, je suis parti des considérations suivantes
si le carré et le rectangle ont une diagonale commune, ils sont inscriptibles dans un même cercle de rayon .
En notant l'angle dont la tangente est égale au rapport de la largeur du rectangle sur sa longueur (cf figure).
Par raison de symétrie, on se limite au cas
Un peu de calcul trigo nous permet de déterminer les coordonnées du point
On en déduit l'expression des aires en fonction de
l'aire du carré est
l'aire du rectangle est
l'aire commune est
La dernière relation permet de dire que
La seconde relation permet de dire que est racine de .
Par ailleurs comme , et comme le produit des racines vaut , c est la plus grande des deux racines.
Le discriminant de ce trinôme vaut
Comme ,
Par conséquent, forment un triplé pythagoricien avec comme condition supplémentaire .
Deux cas sont à considérer:
et
Une fois q'on a choisi et , doit être choisi de telle sorte que est un carré parfait.
par exemple : ,
,
l'expression rouge devient
En replaçant dans l'expression de
comme et sont premiers entre eux, divise
l'expression rouge devient
En replaçant dans l'expression de
comme et sont premiers entre eux, on montre que divise
Le cas de l'énoncé de l'énigme correspond au couple et au
dans ce cas, et divise
donc et en choisissant on obtient
On peut aisi trouver d'autres triplets très jolis
ainsi avec et dans le , et divise
Donc
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