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Joute n°175 : Auto, boulot, dodo

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
23-12-14 à 10:35

Bonjour à tous,

Hier matin, en partant de chez moi pour aller travailler, j'ai mis 25 minutes en parcourant le chemin suivant :
- boulevard Archimède à la vitesse moyenne de 40 km/h,
- avenue Bernoulli à la vitesse moyenne de 36 km/h,
- rue Chasles à la vitesse moyenne de 42 km/h.

Hier soir, en revenant par le chemin inverse, je n'ai mis que 20 minutes :
- rue Chasles à la vitesse moyenne de 56 km/h.
- avenue Bernoulli à la vitesse moyenne de 72 km/h,
- boulevard Archimède à la vitesse moyenne de 60 km/h,

Question : Quelle est la distance totale entre mon domicile et mon lieu de travail ?
On exprimera cette longueur en mètres (arrondie à la valeur la plus proche).

J'en profite pour vous souhaiter un joyeux Noël à tous !

Joute n°175 : Auto, boulot, dodo

Posté par
dpi
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 23-12-14 à 11:04

gagnéBonjour,

Habitué des poissons,je n'hésite pas
à dire que c'est impossible.
Le gain de temps est bien trop  faible
par rapport au gain e vitesse moyenne.

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 23-12-14 à 12:30

gagnéBonjour godefroy

J'ai beau tourner le problème dans tous les sens ... J'arrive à des longueurs négatives !!!
Donc, en désespoir de cause, je réponds "problème impossible"...
Ça sent le à plein nez ...
Bon Noel à tous !!!

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 23-12-14 à 13:12

gagnéSi on y regarde de plus près le temps diminue dans un rapport de 4/5, alors que les vitesses augmentent dans des rapports de 3/2,2 et 4/3 tous supérieurs à 5/4...
On peut donc estimer que la diminution du temps est trop faible et donc non cohérente avec l'augmentation des vitesses.
...enfin c'est mon avis..

Posté par
Raphi
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 23-12-14 à 13:17

perdusalut, je trouve 18 000 m

Posté par
jonjon71
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 23-12-14 à 14:13

perduBonjour,

Voici ma réponse :

La distance totale domicile-lieu de travail est de 18 km.

Soient a, b, c les distances respectives du boulevard Archimède, de l'avenue Bernoulli et de la rue Chasles.

On utilise la relation v=d/t (ou plutôt t=d/v) et on a :

a/40 + b/36 + c/42 = 5/12     et     a/60 + b/72 + c/50 = 1/3

(63a + 70b + 60c)/2520 = 5/12     et     (42a + 35b + 45c)/2520 = 1/3

63a + 70b + 60c = 1050     et     42a + 35b + 45c = 840

On a ajoute membre à membre ces deux équations :

105a + 105b + 105c = 1890

105(a + b + c) = 1890

Ainsi a + b + c = 18.

Merci pour cette énigme comme je les aime.

Posté par
franz
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 23-12-14 à 14:15

perdu18 km. Merci pour l'énigme, joyeux Noël et pas bravo pour les excès de vitesse au retour.

Posté par
dpi
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 23-12-14 à 14:36

gagnéSuite.....

Comme nous sommes en période de NOËL,
je pense que tout est permis....

Donc boulevard Archimède -2000m
avenue Bernoulli -2400 m
rue Chasles 22400 m
A+B+C = 18 km
Bien sûr les tronçons négatifs sont parcourus
dans des temps négatifs....

Joyeux NOËL

Posté par
pierrecarre
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 23-12-14 à 14:53

perduBonjour,

Il y a un énorme souci dans la question : si t_1 et t_2 sont respectivement les durées de parcours des avenues A et B lors du trajet aller, on devrait avoir

                                               t_1+3t_2=-\frac14 h.

Pour une fois que c'était un peu plus mathématique !

Posté par
Alexique
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 23-12-14 à 16:39

gagnéBonjour,

pour moi, ce problème est impossible.

Si v est la vitesse moyenne sur tout le trajet à l'aller, et v' au retour, si d est la distance totale recherchée, on a 36<v=\frac{12}{5}d<42 et 56<v'=3d<72 au vu des vitesses moyennes sur chaque portion. Ainsi, on a 15<d<\frac{35}{2} et \frac{56}{3}<d<24. Or \frac{56}{3}>\frac{35}{2} donc un tel d n'existe pas.

Cela dit , j'ai mis un certain temps à le voir (système à 6 inconnues et 5 équations m'a laissé penser qu'il y avait un souci..).

En somme, un faux défi mais qui m'a fait réfléchir donc merci et bonnes fêtes !

Posté par
blumaise
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 23-12-14 à 17:47

perduPar le calcul j'obtiens une distance de 18 km, soit 18 000 mètres.

Ceci est parfaitement incohérent puisque la vitesse moyenne du trajet retour est alors 54 km/h, donc inférieure aux trois vitesses de l'énoncé.

Alors, problème sans solution ou gros poisson dans ma tête ?

Quoi qu'il en soit, joyeuses fêtes à tous, et évitez la place de l'Opéra aux heures de pointe...

Posté par
cercus
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 23-12-14 à 18:18

perdusalut, je trouve 19129 mètres :

Allée : Vm1= \large \frac{\,40+36+42\,}{\,3\,} = 39.3 km/h 10.92 m/s
Retour : Vm2= \large \frac{\,56+72+60\,}{\,3\,} = 62.7 km/h 17.42 m/s

M = \large \frac{\,10.92+17.42\,}{\,2\,} = 14.17 m/s

T1 = 25 minutes 1500 secondes
T2 = 20 minutes 1200 secondes

MT = \large \frac{\,1500+1200\,}{\,2\,} = 1350 secondes

D'où D=V*T avec V en m/s et T en secondes donc D=14.17*1350 = 19129 mètres.

Posté par
manitoba
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 23-12-14 à 21:15

perduBonsoir Godefroy,

18000 m =18 km

Merci pour cette joute qui m'a fait suer (il y a des gens maso sur terre!)

Posté par
Cpierre60
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 23-12-14 à 22:24

perduBonsoir,
Je propose comme réponse :
18000 mètres

Joyeux Noël !
Merci et gare aux PV pour excès de vitesse en ville !

Posté par
geo3
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 23-12-14 à 22:31

perduBonsoir
Cette distance vaut 18000m
A+

Posté par
pierrecarre
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 23-12-14 à 22:34

perduJ'insiste !

Soit D la distance totale du trajet (en km).

À l'aller, on devrait avoir  36\cdot\dfrac{25}{60}<D<42\cdot\dfrac{25}{60}, soit 15<D<17,5.

Au retour, on devrait avoir  56\cdot\dfrac{20}{60}<D<72\cdot\dfrac{20}{60}, soit 18,66<D<24.

Posté par
rschoon
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 24-12-14 à 10:03

perduJoyeux Noël à tous !

Ma réponse : 18 000 m.

Merci pour l'énigme.

Posté par
torio
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 24-12-14 à 12:15

gagnéProblème impossible !

En posant

x : longueur   boulevard Archimède
y : longueur   avenue Bernoulli
z : longueur   rue Chasles

les équations (pour le temps total) sont :

x/40 + y/36 + z/42 = 25/60     (trajet aller)
x/60 + y/72 + z/56 = 20/60     (trajet retour)

on trouve :
en éliminant  y  :   z = 21 - 7x/10
en éliminant  z  :   y = -3 -3x/10

En additionnant  x+y+z  on trouve un trajet de 18 km.


Mais comme x 0
cela implique que   y est négatif.
Ce qui est absurde pour une longueur !



A+
Torio

Posté par
Jalex
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 24-12-14 à 15:08

perdu18'000 mètres

Posté par
pi-phi2
auto,boulot,dodo 26-12-14 à 11:24

perdusalut.
en abordant globalement le problème :

soit x le parcours Archimède , y le parcours bernouilli et z le parcours chasles .

ses vitesses moyennes sur les parcours x , y & z  sont identiques :

\Large \frac{2x}{\frac{x}{40}+\frac{x}{60}} =  \frac{2y}{\frac{y}{36}+\frac{y}{72}}  =  \frac{2z}{\frac{z}{42}+\frac{z}{56}}  = 48 km/h  

la distance \Large 2\times{(x+y+z)} étant parcourue à la vitesse moyenne de 48 km/h en 45 min , on en déduit:

\Large D = x+y+z =  48\times\frac34\times\frac12 = 18 km = 18000 m

n.b  en réalité je pense qu'il n'y a pas de solution avec  3 valeurs x , y et z positives , en utilisant la méthode du pivot de Gauss

j'ai cherché ou j'aurais pu faire une erreur et apparemment je ne trouve pas. je me retrouve avec 3 équations linéaires :

         x/40 + y/36 + z/42 - 5/12 = 0

         x/60 + y/72 + z/56 - 1/3  = 0

          x  +  y  +   z  - 18  = 0

Posté par
pi-phi2
auto, boulot,dodo 26-12-14 à 13:00

perdusalut.

et je rajouterais que les 3 vitesses augmentent au retour dans les 3 rapports 1.5 , 2 , 1.33
et le plus petit rapport est 1.33  alors que le rapport des temps inversé n'est que de 1.25 .

conclusion je maintiens qu'il n'existe pas de solutions .

Posté par
littleguy
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 27-12-14 à 11:17

gagnéBonjour,

Voilà une joute énigmatique…

En notant a, b et c les longueurs des trois artères (exprimées en km), on obtient les équations :

a/40 + b/36 + c/42 = 5/12
a/60 + b/72 + c/56 = 1/3

En mettant au même dénominateur et en reliant ces équations on trouve rapidement  a+b+c = 18
Donc la réponse à la question semble être 18000 m.

Cependant en examinant au prélable le système on obtient, avec par exemple c arbitraire,  a = 30-10c/7 et b = -12+3c/7. Or a et b doivent être positifs ce qui implique qu'on ait à la fois c inférieur à 21 et supérieur à 28, ce qui est impossible.

Pour confirmation, l'examen du système :

a/40 + b/36 + c/42 = 5/12
a/60 + b/72 + c/56 = 1/3
a+b+c = 18

montre que a et b ne peuvent pas être simultanément positifs.

Donc je réponds : problème sans solution.

J'ai fait une erreur grossière ou une subtilité m'a échappé ?…

Posté par
FOFANAS
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 27-12-14 à 13:06

perduBonjour!

La distance totale parcourrue est 38250

Posté par
Glapion Moderateur
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 27-12-14 à 15:59

perduBonjour, je propose : 18 000 m

Et joyeux Noël

Posté par
benmagnol
Impossible 27-12-14 à 18:54

gagnéBonjour
Merci pour cette Enigme de Noel
Bizarrement, et bien que ce ne soit pas le style de la maison, je pense qu'elle est insolvable et qu'il n'y a donc pas de solution car les les deux équations sont incompatibles entre elles.
Dans son trajet lent, il ne peut faire qu'entre 15 et 17,5 km.
Dans son trajet rapide, il ne peut faire qu'entre 18.66 et 24 km.
Il n'y a pas d'intervalle commun.
Donc je pense qu'il n'y a pas de solution.
J'ai quand même hâte de voir la solution car je n'avais jamais vu d'énigme insoluble, aussi il flotte par ici une forte odeur de poisson.
Merci pour ce moment de détente.

Posté par
lo5707
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 28-12-14 à 09:10

gagnéBonjour,

Bizarrement je ne trouve aucune solution...
Je poste mon raisonnement - tant pis pour le poisson
Mais j'espère que quelqu'un pourra me dire d'où vient mon erreur

Soit a le nombre de kilomètres parcourus sur le boulevard Archimède
Soit b ......................................l'avenue Bernoulli
Soit c ......................................la rue Chasles

Aller :
Sur le boulevard Archimède, on roule à 40 km/h, donc pour faire a km on met \frac{60}{40}a min, soit \frac{3}{2}a min.
De même, sur l'avenue Bernoulli, on roule pendant \frac{5}{3}b min.
Et dans la rue Chasles, on roule pendant \frac{10}{7}c min.

On a donc : \frac{3}{2}a + \frac{5}{3}b + \frac{10}{7}c = 25  (1)

Retour :
Ça donne : a + \frac{5}{6}b + \frac{15}{14}c = 20  (2)

on isole a dans (2) :
a = 20 - \frac{5}{6}b - \frac{15}{14}c  (3)

que l'on remplace dans (1) :
\frac{3}{2}(20 - \frac{5}{6}b - \frac{15}{14}c) + \frac{5}{3}b + \frac{10}{7}c = 25
30 - \frac{15}{12}b - \frac{45}{28}c + \frac{20}{12}b +\frac{40}{28}c = 25
\frac{5}{12}b - \frac{5}{28}c = -5
\frac{1}{12}b = \frac{1}{28}c - 1
b = \frac{12}{28}c - 12
b = \frac{3}{7}c - 12  (4)

J'ai utilisé (3) et (4) dans Excel et aucune valeur de c ne permet d'avoir a et b positifs tous les 2.
En effet, pour que b0 il faut que c28
Or, si c28 alors a-10

Ma réponse est donc : problème impossible



Merci pour cette énigme.

Posté par
masab
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 29-12-14 à 08:54

gagnéBonjour godefroy,

Cette énigme n'admet pas de solution.
Dommage...

Posté par
Livia_C
Distance 29-12-14 à 13:41

perduBonjour,
La distance entre domicile et travail: 18 km
Merci pour l'énigme

Posté par
sbarre
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 30-12-14 à 21:20

gagnéBonsoir,
les vitesses suer les trois tronçons étant de 36; 40 et 42 km/h, la vitesse moyenne sur le trajet aller est forcément comprise entre les deux vitesses extrêmes soient 36 et 42. Ces deux vitesses correspondent à une distance totale de 15 000 et de 17 500 m pour une durée totale de 25 minutes.

Le retour s'effectuant en 25 minutes cela correspond à une vitesse retour moyenne variant entre 45 et 52.5 km/h. Or ces vitesses sont inférieures à la plus faible vitesse annoncée sur le trajet retour (56 km/h).

Donc pour moi ce problème n'admet pas de solution!!!

Posté par
Robot
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 02-01-15 à 15:12

perdu18000 m

Joute n°175 : Auto, boulot, dodo

Bonne année !

Posté par
-Kiara-
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 02-01-15 à 18:22

perdu18 639 mètres

Posté par
LittleFox
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 05-01-15 à 14:50

gagnéLa distance totale entre le domicile et le lieu de travail est de 18000m. Mais le trajet est impossible...

On doit résoudre le système suivant :


 \\ \begin{array}{c @{=} c}\frac{a}{40}+\frac{b}{36}+\frac{c}{42} & \frac{25}{60}
 \\ \frac{a}{60}+\frac{b}{72}+\frac{c}{56} & \frac{20}{60}
 \\ \end{array}
 \\

Avec 3 variables et deux équations, le système n'est pas résolvable. On utilise un paramètre à la place d'une variable. Après simplification le système devient :


 \\ \begin{array}{c @{=} c}70b+60c & 1050-63a
 \\ 35b+45c & 840 - 42a
 \\ \end{array}
 \\

Qui a pour solutions (b,c) = (-3-\frac{3a}{10},21-\frac{7a}{10})

La longueur cherchée vaut a+b+c = a-3-\frac{3a}{10}+21-\frac{7a}{10} = 18km ou 18000m.

Par contre on remarque que a et b ne peuvent être positifs tous les deux. En effet, si a \geq 0, b = -3-\frac{3a}{10} \leq -3 < 0. Or la longueur d'une rue ne peut être négative. Le problème n'a donc pas de solution réaliste.

Posté par
Zakoji
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 05-01-15 à 20:45

perduBonsoir,

18000 mètres.

Posté par
satorumono
Ma réponse 06-01-15 à 17:10

perduLa distance totale entre votre domicile et votre lieu de travail est de 18 000 mètres.

Posté par
jugo
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 06-01-15 à 17:50

gagnéBonjour,

En mettant ça en équations (sommes des temps en heures), avec A, B et C les longueurs des rues en km, on a:
A/40 + B/36 + C/42 = 25/60
A/60 + B/72 + C/56 = 20/60

De ces 2 égalités, on déduit une distance totale A+B+C de 18000 m.

Sauf que ces mêmes équations impliquent une longueur négative pour A ou B (ou les deux).
Il n'est pas précisé que les rues doivent avoir une longueur positive, mais je pars du principe que c'est implicite.

Ma réponse est donc : pas de solution.
A moins qu'une partie du chemin soit faite en marche arrière ?

Merci.

Joute n°175 : Auto, boulot, dodo

Posté par
ksad
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 07-01-15 à 10:44

gagnéBonjour

J'ai beau retourner le problème dans tous les sens, je ne trouve pas de solution.
... à moins de parcourir des distances négatives sur certaines artères (ce qui me semble peu conforme à l'énoncé).
Plus concrètement, si A, B et C représentent les longueurs (en km) des différents parcours sur les trois voies, alors le système de deux équations proposé implique forcément que :
B = -0.3A - 3
et donc que A et B sont non-nuls ils sont forcément de signe opposé, et si l'un est nul l'autre est forcément négatif (cette droite ne passe pas par l'orthant positif).

Je crois donc qu'il n'existe pas de solution à ce problème.
Merci pour cette joute et bonne année !

Posté par
evariste
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 07-01-15 à 18:32

gagnéPas de solution !

Posté par
pierrecarre
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 08-01-15 à 10:34

perduBonjour,

Je ne comprends pas qu'on ait laissé courir l'énigme jusqu'à son terme alors qu'elle était entachée d'une erreur grave.
D'autant plus que c'est une erreur " classique " pour ce genre de problème qui consiste en un système indéterminé, problème dont la solution s'obtient par combinaison linéaire de deux équations.
En l'occurrence, si d_1,\, d_2,\, d_3 sont respectivement les distances sur les avenues A, B, C (exprimées en km), le problème débouche sur le système de deux équations à trois inconnues :

                              \begin{cases}
 \\ \dfrac{d_1}{40}+\dfrac{d_2}{36}+\dfrac{d_3}{42}=\dfrac5{12}\qquad(E_1)\\
 \\ \dfrac{d_1}{60}+\dfrac{d_2}{72}+\dfrac{d_3}{56}=\dfrac13 \qquad\ (E_2)
 \\ \end{cases}

La combinaison linéaire 24 E_1+24 E_2 donne alors

                                  d_1+d_2+d_3=18 \textrm{ (km).}

Mais, cette " solution " du problème devrait correspondre à une solution du système d'équations, ce qui n'est pas le cas puisque celui-ci n'admet aucune solution composée de réels strictement positifs.
Pour créer un problème de ce type, il faut généralement travailler à rebours en partant d'une véritable solution du système d'équations.

Bien cordialement,

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 14-01-15 à 17:53

Clôture de l'énigme :

Contrairement à la joute précédente, il n'y avait ici aucune erreur. Juste un petit piège (une fois n'est pas coutume).
Quelques considérations sur les vitesses permettaient de l'éviter.

Posté par
pierrecarre
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 14-01-15 à 18:19

perduMême pas le courage d'admettre que le problème comporte une erreur !

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 14-01-15 à 18:32

Bonjour pierrecarre,

Ce n'est qu'un jeu !

Pour tout dire, l'énigme n'est pas de moi. De temps en temps, je reprends des trucs existants, par manque de temps ou d'inspiration.

Et puis, avoue que le hasard aurait bien fait les choses si une "erreur" avait néanmoins abouti à un nombre bien rond comme ça.

Posté par
dpi
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 14-01-15 à 18:36

gagnéBonjour,

Courage Godefroy...
>Nofutur2
J'ai le plaisir de t'avoir devançé
Sentant moi aussi le et vu l'époque des miracles
j'ai trouvé les distances et les temps négatifs

Posté par
Glapion Moderateur
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 14-01-15 à 18:46

perduha oui là, godefroy tu nous as bien eu (enfin tout ceux qui comme moi sont tombés bêtement dans le panneau). Bravo aux autres !

Posté par
masab
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 15-01-15 à 08:37

gagnéJ'étais tellement déçu qu'il n'y ait pas de solution que j'ai attendu 6 jours pour mettre ma réponse...

Posté par
jorkshurtugal
re : Joute n°175 : Auto, boulot, dodo 23-05-15 à 00:52

1ere énigme où je vois + de que de
bien trouvée godefroy

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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