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Niveau 4 *
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Joute n°182 : Math Wars 4

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
15-02-15 à 11:10

Bonjour à tous,

Sur la planète Mathilia, il n'existe qu'une seule opération arithmétique, notée *, telle que, pour tous nombres réels a et b (b non nul), a * b = 1-\dfrac{a}{b}.
En revanche, les parenthèses sont utilisées exactement comme sur Terre.

Question : Comment peut-on écrire l'addition à l'aide de l'opération * uniquement ?

En clair, il faut écrire a + b en utilisant uniquement l'opération * et les parenthèses.
Attention aux cas particuliers qu'il faudra préciser !
On peut utiliser d'autres nombres que a et b.

Joute n°182 : Math Wars 4

Posté par
masab
re : Joute n°182 : Math Wars 4 15-02-15 à 12:06

perduRebonjour,

On a

pour a non nul
(((((b*1)*(1*b))*1)*a)*((1*a)*1))*1 = a+b

pour a=0
b = a+b  (on a déjà b)
Ouf !

Posté par
torio
re : Joute n°182 : Math Wars 4 15-02-15 à 13:56

perdu(a*(1*(a*(-b))))*1 = a+b


Formule valable si  b non nul      et   a+b non nul


Si  a+b = 0   alors  a*a = a+b


A+
torio

Posté par
Cpierre60
re : Joute n°182 : Math Wars 4 15-02-15 à 14:40

perduBonjour,
Je propose comme réponse
(a * b) * 1  

En effet (a * b) * 1= 1-[1-(a/b)]/1=a/b

Merci pour cette énigme.

Posté par
Alexique
re : Joute n°182 : Math Wars 4 15-02-15 à 14:57

perduBonjour,

si a différent de -b, b différent de 0,
b+a=(b*(1/(a*(-b))))*1

si a différent de -b, b nul,
b+a=a=(a*1)*1

si a =-b=0,
a+b=0=(1*1)

Posté par
rschoon
re : Joute n°182 : Math Wars 4 15-02-15 à 16:34

perduBonjour à tous.

Ma réponse : ((((1*(1*((a*(-1))*(b*1))))*1)*((1*(a*(-1)))*1)))*1

Merci pour l'énigme

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°182 : Math Wars 4 15-02-15 à 16:41

perdu((((a*(b*1))*(1*(1*(1*b)))*(-1)))*1=a+b
Sauf erreur !!

Posté par
manitoba
re : Joute n°182 : Math Wars 4 15-02-15 à 19:20

perduBonsoir Godefroy,

Cas particuliers:
a+a=2.a=(a*((1*a)*1))*1 (même si a=0)


Cas génral:
a<>b et a<>0 et b<>0
---------------------------------------------------------------------------------
(((( ((b*((1*b)*1))*1)*((a*((1*a)*1))*1)) * (( 1*((a*((1*a)*1))*1))*1)))*1)
*
(( (b*a) * ((1*a)*1) )*1))
*1
---------------------------------------------------------------------------------


Car
(a²-b²)/(a-b)=a+b

a²=(a*((1*a)*1))*1
b²=(b*((1*b)*1))*1
x-y=((y*x)*((1*x)*1))*1
a²-b²=((b²*a²)*((1*a²)*1))*1
x/y=(x*y)*1


Courage pour la correction!

Merci pour la joute

Posté par
pierrecarre
re : Joute n°182 : Math Wars 4 15-02-15 à 23:53

perduBonjour,

a+b=(((a*b)*(b*a))*((1*b)*1))*1

Bien cordialement,

\pi\,r^2

Posté par
Eurotruck
re : Joute n°182 : Math Wars 4 16-02-15 à 09:21

perduBonjour,

On sait que a+b= a-(-b)

Donc je propose

a+b= 1*(1*(1*(1*(1*a)))*((1*(1*(1*(1*(b*1))))*a)

Posté par
weierstrass
re : Joute n°182 : Math Wars 4 16-02-15 à 14:09

perduBonjour, dernière étape:
a+b = a\times(1+\frac{b}{a}) = a\times(2-(1-\frac{b}{a})) = a\times(2-(b*a)) = a\times ((2*((1*((b*a)*))*1))*1) = (a*((1*((2*((1*((b*a)*))*1))*1))*1))*1

Je suis pas sur de moi, là...

série assez amusante...

Posté par
weierstrass
re : Joute n°182 : Math Wars 4 16-02-15 à 15:00

perduBonne chance quand même pour la correction, parce que a\times b , on voit tout de suite que c'est commutatif, alors que  (a*((1*b)*1))*1, il faut le voir...

alors entre ceux qui auront écrit a-b = (1-b/a)a ou a-b = a(1-b/a) ou encore autre chose, les solutions devraient plutôt varier...

Il serait d'ailleurs intéressant d'étudier si il existe un algorithme de simplification de ces calculs...

Posté par
pierrecarre
re : Joute n°182 : Math Wars 4 16-02-15 à 19:16

perduIci aussi le petit ajout.
La formule indiquée ne fonctionne que si a et b sont différents.

Posté par
ming
* 16-02-15 à 22:02

perduBonsoir

Il suffit de résoudre l'équation:

a*x = aTx ou T désigne successivement /, X, , -, +, ^, etc.après avoir éliminé les couples a,b qui ne conviennent pas.

Posté par
Exter
Que la force soit avec vous 17-02-15 à 12:57

perduBonjour,


a+b = ( ( ((a*1)*b) * ((1*b)*1) )*1 )*(-1)

J'ai vérifié avec mon ami Excel. Ca fonctionne.
Par contre, je ne vois pas de cas particuliers
(à part b<>0 comme indiqué dans l'énnoncé, donc si b=0, alors a+b=a)

Posté par
LittleFox
re : Joute n°182 : Math Wars 4 17-02-15 à 14:19

gagnéOn peut écrire l'addition à l'aide de l'opération * uniquement : ((((b*-1)*1)*a)*((1*a)*1))*1

Cas particulier : Si a = 0, alors l'addition vaut b.

On observe que a+b = a-(0-b). L'addition peut donc être écrite comme la composition de deux soustractions (définies à la joute 181).

((((b*-1)*1)*a)*((1*a)*1))*1 = \frac{(((b*-1)*1)*a)}{((1*a)*1)} = \frac{-b*a}{\frac{1}{a}} = \frac{\frac{a+b}{a}}{\frac{1}{a}} = a+b

Posté par
charmander
re : Joute n°182 : Math Wars 4 17-02-15 à 20:48

perduBonjour,

Celui-ci est presque trivial une fois qu'on a trouvé War3. Je reprends mes résultats de 1,2,3 :

\frac{a}{b} = (a*b)*1 
 \\ a.b = (a*((1*b)*1))*1
 \\ -b = ((-1)*((1*b)*1))*1 = ((2*(0*\pi))*((1*b)*1))*1
Et si a>0:
a-b = (a*((1*(b*a))*1))*1


On écrit a+b = a-(-b) donc si a non nul:
a+b= (a*((1*((-b)*a))*1))*1 = (a*((1*((((2*(0*\pi))*((1*b)*1))*1)*a))*1))*1  en remplaçant -b par son expression.

Si a nul, bah... "b" suffit pour faire b. Si on veut absolument faire figurer un "*" on peut écrire 1=0*\pi et b=1.b = ((0*\pi)*((1*b)*1))*1

Voilà

Posté par
dpi
re : Joute n°182 : Math Wars 4 18-02-15 à 08:28

perduje confirme

a+b= [((a*b)*(b*a))*((1*b)*1)]*1

Posté par
cakou
re : Joute n°182 : Math Wars 4 18-02-15 à 09:57

perduMerci pour ces énigmes encore une fois  :
comme je ne pense pas que l'on puisse écrire (-1) alors je propose pour la somme l'écriture suivante :
 ( ( ((a*(2*1)) * 1)*b)* ((1*b)*1)  )*1 .

En effet en sachant que 2*1 équivaut à notre -1, et il est clair que  (a*(2*1))*b équivaut à 1+\frac{a}{b}.

On a déjà vu dans les énigmes précédentes que (1*b)*1 équivaut à l'inverse de b, il vient naturellement que  ( ( ((a*(2*1)) * 1)*b)* ((1*b)*1)  ) équivaut à "1-a-b" et,
finalement l'écriture proposée équivaut à "a+b"

Posté par
Livia_C
Addition 18-02-15 à 17:42

perduBonjour,
a+b=((a*b)*(b*a)*((1*b)*1))*1
Merci pour l'énigme

Posté par
pallpall
re : Joute n°182 : Math Wars 4 21-02-15 à 13:04

perduBonjour,

je remarque que (b*a) * (a*b) = (a+b)/a [je sais, j'ai fait des essais, mais c'est logique par rapport à a/b et b/a ].

Donc a + b = a . [(b*a)*(a*b)]

J'utilise le résultat de Math Wars 2 (qui donne ma multiplication par l'opérateur *) pour donner l'expression suivante :

a + b =  (a*((1*((b*a)*(a*b)))*1))*1

Posté par
luzak
re : Joute n°182 : Math Wars 4 21-02-15 à 17:29

perduJe suppose avoir le droit d'utiliser le réel (-1).
On peut calculer un quotient par \dfrac{a}{b}=(a*b)*1, ajouter 1 par x*(-1)=1+x, faire le produit xy=(x*1/y)*1 en supposant y\neq0 d'où le calcul, en supposant b\neq0 :
((((a*b)*1)*(-1))*((1*b)*1))*1
 \\   = 1-((((a*b)*1)*(-1))*((1*b)*1)) 
 \\   = 1-((((1-a/b)*1)*(-1))*((1-1/b)*1)) 
 \\   = 1-(((1-(1-a/b))*(-1))*(1-(1-1/b)))
 \\   = 1-(((a/b)*(-1))*(1/b))
 \\   = 1-((1+(a/b))*(1/b))
 \\   = 1-(1-\dfrac{1+(a/b)}{(1/b)})
 \\   = a+b
 \\

Posté par
evariste
re : Joute n°182 : Math Wars 4 22-02-15 à 08:33

perdu((((a*b)*1)*(-1))*((1*b)*1))*1

Posté par
jonjon71
re : Joute n°182 : Math Wars 4 22-02-15 à 14:00

perduBonjour,

Voici ma réponse :

Si a = 0 :

       b = ( b * 1 ) * 1

Si a \neq 0 :

       a + b = ( a * ( ( 1 * ( ( ( b * (-1) ) * 1) * a ) ) * 1 ) ) * 1  


Preuve :

Si a = 0 :
( b * 1 ) * 1 = 1 - \dfrac{b * 1}{1} = 1 - (b * 1) = 1 - ( 1 - \dfrac{b}{1}) = 1 - ( 1 - b ) = b

Si a \neq 0 :
a + b = a - (-b)
On utilise la définition de la soustraction de la joute Math Wars 3 avec le cas où a = 0 pour avoir -b.

Merci.

Posté par
seb_dji
re : Joute n°182 : Math Wars 4 24-02-15 à 12:21

perdua+b = ((a*(2*1))*((1*((a*(a*(2*1)))*((1*(b*1))*1)))*1))*1

cas particuliers:
ces valeurs de a et b ne sont pas autorisées:
a=-1
b=1
a+b=0

Posté par
lyfol
Maths Wars 4 24-02-15 à 12:42

perduBonjour voici ma réponse :
* Soit (a,b) € R², b =/= 0

a+b = a-(-b) = a-(0-b)
or pour tout b non nul : b*b = 0 et b*b*b = 1
D'après les réponses précédentes on a défini la différence entre a et b comme " a*((b*b*b)*(B*A)*(b*b*b))*(b*b*b) "

donc a+b = a*((b*b*b)*((0-B)*A)*(b*b*b))*(b*b*b)
et 0-b = 0*((b*b*b)*(B*0)*(b*b*b))*(b*b*b) = (b*b)*((b*b*b)*(B*(b*b))*(b*b*b))*(b*b*b)

  

AINSI il vient :
l'opération " a+b " (b=/=0) sur cette planète est équivalente à :
" A*((b*b*b)*([ (b*b)*((b*b*b)*(B*(b*b))*(b*b*b))*(b*b*b) ]*A)*(b*b*b))*(b*b*b) "

Posté par
littleguy
re : Joute n°182 : Math Wars 4 24-02-15 à 14:47

perduBonjour,

J'ai les mêmes doutes que pour la précédente.

Je propose :

Si a = 0  alors 0+b = (b*((1*1)*1))*1

Si b = 0  alors a+0 = (a*((1*1)*1))*1

Si b = -a alors a+b = a*a

Dans tous les autres cas a+b = (a*(1*(a*((-1*((1*b)*1))*1))))*1

Posté par
salmoth
Épisode IV 24-02-15 à 23:41

perduSi a différent de 0 et de -b:
   a+b = a - (-b) = (a * ((1*(((b*(-1))*1)*a))*1)) * 1 (épisode III)

Si a=0, a+b = b (trivial)
Si a=-b, a+b = 0 (trivial)

Merci pour l'énigme

Posté par
jugo
re : Joute n°182 : Math Wars 4 03-03-15 à 14:06

perduBonjour,

x * 1 = 1 - x   et   x * (-1) = 1 + x
(a*1) * (b*(-1)) = 1 - (1-a) / (1+b) = (a+b) / (1+b) = (a+b) / (b*(-1))

donc   a + b = ((a*1)*(b*(-1))) x (b*(-1))
et comme   a x b = (a*((1*b)*1))*1   on en déduit :

a - b = [  [ (a*1)*(b*(-1)) ] * [ (1*(b*(-1)))*1 ]  ] * 1     avec b ≠ -1

Merci.

Posté par
jugo
re : Joute n°182 : Math Wars 4 03-03-15 à 14:07

perdufaute de frappe c'est bien a+b = [  [ (a*1)*(b*(-1)) ] * [ (1*(b*(-1)))*1 ]  ] * 1

Posté par
rayper
re : Joute n°182 : Math Wars 4 13-03-15 à 00:18

perduCoucou !

Alors a+b=a-(-b)

Donc si b=0, a=(a*1)*1 (si a=0 et b0 on remplace a par b)

    si a=-b a+b=0=1*1
  
Sinon en utilisant la joute précédente qui donne a-b sachant que -b=(b*-1)*1 :

a+b=(a* [1*(a* \{(b*-1)*1\} )] )*1

Donc entre {} on a -b
Ainsi entre [] on a \frac{a}{a+b}

Voilà ! Merci à vous !

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°182 : Math Wars 4 13-03-15 à 13:56

Clôture de l'énigme :

Là, c'est carrément devenu le casse-tête pour corriger.
J'ai bien essayé d'être indulgent mais, comme pour la soustraction, les priorités des calculs font qu'il y a souvent un cas où on tombe sur un calcul non défini.

Et puis, 4 étoiles, ça devait inciter à creuser un peu plus au lieu de se précipiter, non ?

Posté par
masab
re : Joute n°182 : Math Wars 4 13-03-15 à 15:50

perduLà aussi je n'ai pas traité le cas b=0 (trivial par ailleurs) car j'ai crû que l'énoncé supposait b non nul... Un poisson pour ne pas avoir traité le cas trivial !

Posté par
masab
re : Joute n°182 : Math Wars 4 13-03-15 à 15:56

perduNotons que pour b=0, la formule est a.
a est une formule dépendant de a et b ; cette formule n'utilise pas d'opération !
L'énoncé n'impose pas d'utiliser au moins une opération * .

Posté par
masab
re : Joute n°182 : Math Wars 4 13-03-15 à 16:18

perduEn fait ma formule pour a non nul est fausse si b=1...
Poisson bien mérité...

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°182 : Math Wars 4 14-03-15 à 15:34

Du coup, j'en ai oublié de féliciter Littlefox pour cette première et surtout très belle victoire

Posté par
LittleFox
re : Joute n°182 : Math Wars 4 15-03-15 à 13:24

gagnéYouhou

J'ai essayé pendant des heures de simplifier ces expressions sans résultat ^^'.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 111:49:35.


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