Bonjour Godefroy,

Je ne trouve qu'une seule position possible pour le chevreuil.
Pour cette position, les distances sont:
MA = 69.206 m
MB = 49.213 m
MC = 118.112 m
et l'angle dont les caméras auront pivoté sera alors de 26.68 degrés environ.

En espérant ne pas avoir commis une faute de calcul qui se solderait par un nouveau poisson
Merci et à bientôt

Bonjour,

Je propose :

MA =  69,206 m
MB =  49,213 m
MC = 118,112 m

Merci pour l'énigme .

Bonjour godefroy_lehardi

Après griffonnage de mon papier, je dirais que la solution unique au problème est :

MA 71,113 mètres
MB 50,569 mètres
MC 121.366 mètres

Joyeuses Pâques et merci pour cette joute

Bonjour/Bonsoir,

Je pense qu'il n'y a qu'une seule solution :
Distance MA = 69,2062 m
Distance MB = 49,2133 m
Distance MC = 118,1119 m
Angle = 0,46565 = 26,6799°

Pour être complet, il faut rappeler qu'un brocard a deux cornes...
on aurait visé la seconde corne si les caméras avaient pointé sur l'autre sommet du triangle au départ.
... comprenne qui pourra ...
... c'est la première fois que j'aurais pu répondre à la question subsidiaire... s'il y en avait eu une

De toute façon, merci pour vos énigmes.

Bonjour

Il y a deux points M possibles : ce sont les points de Brocard du triangle.

Pour le premier

AM = 46,137 m
BM = 78,741 m
CM = 110,730 m

Pour le deuxième

AM = 69,206 m
BM = 49,213 m
CM = 118,112 m

Merci pour cette joute !

Frenicle

Bonjour

Si tout va bien...
MA=69.206 m
MB=49.213 m
MC=118.112 m

Après moults calculs (en particulier pour résoudre un système d'équations non linéaires), je trouve une solution :
MA = 69,206 m
MB = 49,213 m
MC = 118,112 m
avec un angle de 26,68°.

Mais le mois d'avril étant celui du poisson, je suis prêt à tout !!!

Bonjour Godefroy,

Malgré le titre, je considère le problème comme plan, dans le plan du triangle ABC .
Il y a alors une solution unique : une rotation de +0,465652051363 radian environ conduit à :  MA 69,206 m     MB 49,213 m     MC 118,112 m

Et merci pour tout.

Bonsoir godefroy,

Ma réponse :








_{Pas le temps de poster une démonstration pour le moment... Mais elle viendra...}

Bonne nuit...

Bonjour
Je propose  MA = 69.206 ;  MB = 49.213  ; MC = 118.112
A+

Bonjour Godefroy,
Si le point M est dans le plan ABC alors:
|MA|=69,206 (m)
|MB|=49,213 (m)
|MC|=118,112 (m)

sinon je mérite un poisson car je n'ai pas eu la volonté de me lancer dans la géométrie analytique.
Voici néanmoins un patron d'un tétraèdre répondant à la question, il en existe d'autres...


Merci pour la joute.

Bonjour Godefroy.
AM = 69,206 mètres
BM = 49,213 mètres
CM = 118,112 mètres

programme
Sub enigme()
'k = AB, j = AC, i = BC
'a = sinA, b = sinB, c = sinC, s = sin angle inconnu
'x = AM, y = BM, z = CM
Dim k As Double, j As Double, i As Double
Dim aire As Double
aire = Sqr(205# * 45# * 55# * 105#) 'formule de Héron
k = 100: j = 150: i = 160
Dim a As Double, b As Double, c As Double, s As Double
Dim x As Double, y As Double, z As Double
a = aire / (k * j): b = aire / (k * i): c = aire / (i * j) 'aire = produit de deux côtés et de l'angle entre les deux
s = Sqr((aire * a * b * c) / (j * k * b * c + i * k * a * c + i * j * a * b))
MsgBox (s)
x = j * s / a: y = k * s / b: z = i * s / c
MsgBox (x & "; " & y & "; " & z)
End Sub

aire MAB = kxs = xyb -> y = ks/b
aire MAC = jzs = xza -> x = js/a
aire MBC = iys = yzc -> z = is/c
aire MAB = jks²/a
aire MAC = ijs²/c
aire MBC = iks²/b
aire ABC * abc = bcjks²+abijs²+aciks²
L'angle est 12,974 degrés.

A mon avis il faut que M soit le centre de gravité du triangle ABC. Ainsi la somme des angles est vérifiée!!

félicitation au futur gagnant ^^

Bonjour, je viens répondre à cette énigme à l'approche des vacances scolaires et du repos qui me permettra de pouvoir m'intéresser de plus près à vos énigmes !

Tout d'abord, pour la résolution de cette énigme rien de mieux qu'une résolution graphique à l'aide de géogebra

Les angles auront tous une valeur de 26,6799 degrés comme vous pouvez le voir sur cette figure !

Pour que ceci puisse ce produire:

MA=69,206 mètres
MB=49,213 mètres
MC=118,112 mètres

Voici ma proposition de réponse, Merci beaucoup à bientôt dans la prochaine énigme

Salut
j'ai triché, comme j'ai séché, j'ai conjecturé à l'aide de géogebra
ainsi MA = 460,818 environ
MB = 1109,114
MC = 785,227

Voici ma méthode...

_{C'est bourrin, ça vaut ce que ça vaut, mais c'est comme ça que j'ai procédé...}

J'ai utilisé Maple pour faire les calculs.

Je prend A(0) et B(100).

En résolvant le système

je trouve , puis , soit .

Ensuite, je calcule l'affixe de , image du point par la rotation de centre et d'angle .
De même je calcule l'affixe de , image du point par la rotation de centre et d'angle .
Et enfin l'affixe de , image du point par la rotation de centre et d'angle .

Ensuite je calcule les équations , , des droites , et .

Soit le point d'intersection de et . Je résous donc pour trouver et .

Soit le point d'intersection de et . Je résous donc pour trouver et .

Enfin je résous

Je trouve :
.

J'en déduis les coordonnées du point de concours des trois droites.

.

Enfin reste à calculer les trois distances , et .

Bonjour,

il semblerait qu'il n'y ait qu'une solution pour l'angle de visée = 26,6798973°

Avec cet angle on trouve MA=69,206m  MC=118,112m et MB=49,213m

Bien à vous

bonjour,
je trouve un seul point M à l'intersection autre que B du cercle passant par A et B tangent en B à BC et du cercle passant par B et C tangent en C à AC
soit49,213mau mm le plus proche
soit118,110mau mm le plus proche
soit69,205mau mm le plus proche
l'angle que l'on n'a pas besoin de calculer vaut environ26°,679
sauf étourderie de ma part
merci pour cet exercice

AM = 69.09
CM = 118.32
BM = 49.32

Merci !
Mais l'ayant fait avec Geogebra, je ne suis pas sûr du résultat au millimètre près !

Quelque soit le triangle ABC, M est unique, M est constructible.
Dans ce triangle, AM = 69,206 m ; BM = 49,213 m ; CM = 118,112 m (arrondis au millième).

J'adore ce genre de problème ! Des triangles, des angles égaux, des cercles ... merci à godefroy

J'ai commencé par montrer l'unicité en regardant comment évoluent les angles si on déplace le point M de sa position idéale supposée.

Ensuite, j'ai cherché à faire apparaitre les cercles circonscrits à AMC, à AMB, et à BMC, (de centres respectifs I, J et K) afin d'utiliser les angles inscrits, angles au centre, et des triangles isocèles.

Par exemple, dans le triangle isocèle JMB, on en déduit rapidement que :
- l'angle MJB fait le double de l'angle MAB (angle au centre interceptant le même arc que l'angle MAB)
- l'angle MBJ + l'angle MBC font un angle droit (calculs d'angles dans le triangle isocèle et propriété des angles visant M)

Cette dernière trouvaille permet de rendre la figure constructible puisque les centres des cercles sont sur des perpendiculaires au côté passant par un sommet, et sur une médiatrice d'un autre côté.

En fait, j'avais d'abord cherché la transformation qui permettait de passer du triangle ABC au triangle IJK, après avoir remarqué que M observait les mêmes propriétés dans les deux triangles.
Mais pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple.

Très joli en tout cas comme problème, et faisable avec des outils géométriques de 3ème bien maitrisés.

AM = 69,206 m
BM = 49,213 m
CM = 118,112 m

A+
Torio

Clôture de l'énigme :

Comme l'ont dit Rodival et frenicle (qui du coup s'est un peu précipité), la solution est l'un des deux points de Brocard (voir ici par exemple).
Mais on pouvait aussi le trouver autrement.
Le brocard étant un chevreuil mâle de plus d'un an, voilà l'explication du choix de l'animal.

J'ai eu un véritable cas de conscience sur la réponse de veleda. Je voyais bien que sa méthode était bonne mais une toute petite différence sur la valeur de MB l'a empêchée de trouver les réponses au millimètre. Du coup, le poisson était inévitable. Dura lex, sed lex.

J'en profite pour refaire un peu de pub pour l'événement des 21 et 22 mai prochains, c'est à dire un week-end spécial 1000^ème énigme. Bientôt la 1000ème énigme !

Venez nombreux ! Il y en aura pour tous les goûts !

Ah oui, zut, c'est vrai, je me suis un peu précipité, là
Et pourtant, sur la figure que j'ai faite, ça saute aux yeux...
Voilà un poisson bien mérité

bonsoir,
j'ai trouvé BM=49,2127 ce qui donne bien 49,213 avec l'arrondi demandé
pour calculer CM= il m'a semblé correct d'utiliser la valeur non arrondie de BM et d'arrondir ensuite ,idem pour AM ,est ce incorrect? sans doute vu le poisson obtenu,je pose la question car je n'ai jamais aimé les calculs
ce poisson ne me chagrine pas du tout,j'ai bien aimé l'exercice ,merci de l'avoir posé

Une technique analytique, ou une bonne programmation, ne remplaceront jamais une belle démonstration géométrique pure.
Et c'est encore plus beau quand on est le seul à l'avoir vue.

Merci encore pour ce problème. Encore !

Bonsoir
Voici ma démostration
les angles ACM = CBM = BAM = µ
Connaissant les longueurs des côtés il est facile ( par Al-Kashi : a²=b²+c²-2bc.cos(A)  ) )de cherches les angles du triangle
On trouve A = 76°70292825  ,B = 65°83442067 et C = 37°46265107
puis
il suffit d'appliquer la relation aux sinus dans ABM  et AMC =>
MA = sin(B-µ)*AB/sin(B) et MA = sin(µ)*AC/sin(A)
=>
sin(B-µ)*AB/sin(B) = sin(µ)*AC/sin(A)
=>
sin(65°83442067 -µ)*100/sin(B) = sin(µ)*150/sin(76°70292825)
=>  µ = 26°67989726
*
MA = sin(26.67989726°)*150/sin(76.70292825°) = 69.20620333  = 69.206m
MB = sin(26.67989726°)*100/sin(65.83442067°)  = 49.21330014 = 49.213m
MC = sin(26.67989726°)*160/sin(37.46265107°)  =  = 118.1119203 = 118.112m

A+

RE
Voir aussi point de Brocard
avec 2p = a + b + c et S = (p(p-a)(p-b)(p-c))
µ | tan(µ) = 4S/(a²+b²+c²)=  =>  µ = 26°67989726
A+

à godefroy-lehardi

Quand en défilant ,j'ai vu le poisson de frenicle ,alors
que sa deuxième réponse était exacte,je me suis dit:"encore loupé"
comme j'avais la même.
En cliquant sur la mienne j'ai été rassuré.

Je pense qu'il mériterait un rattrapage.

Bonjour dpi,

Désolé pour la réponse tardive.

Malheureusement, je ne peux pas attribuer le smiley à frenicle.
En effet, donner deux réponses dont une fausse, ce n'est pas donner la bonne réponse.

D'ailleurs, il reconnait lui-même que le poisson est mérité, ce qui est très fair-play de sa part.

=> A: ( ; )

Excusez-moi : mon précédent message n'était qu'un mauvais click dans la mauvaise page... ignorez-le.
Désolé