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Joute n°33 : Le triangle partagé

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
12-06-11 à 11:31

Bonjour à tous,

Je vous propose de réviser un peu votre géométrie.
On découpe le triangle ABC de surface égale à 240 unités de façon à ce que AB/AE = 3 et AC/AD = 2 (le dessin n'est pas à l'échelle) :

Joute n°33 : Le triangle partagé

Question : quelle est l'aire de chacune des 4 parcelles ainsi découpées ?
Si besoin, vous donnerez les résultats arrondis au centième le plus proche.

Posté par
totti1000
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 12-06-11 à 11:44

gagnéBonjour godefroy,

je propose :
L'aire de ADFE est 56.
L'aire de DCF est 24.
L'aire de FCB est 96.
L'aire de EFB est 64.

Merci.

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 12-06-11 à 11:57

gagnéAFED = 56 u
BEF = 64 u
BFC = 96 u
FDC = 24 u

Posté par
frenicle
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 12-06-11 à 12:03

gagnéBonjour Godefroy

Aire CFD = 24
Aire AEFD = 56
Aire BFC = 96
Aire BFE = 64

Merci pour la joute !

Posté par
Rodival
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 12-06-11 à 12:36

gagnéBonjour/Bonsoir,

ADFE = 56
BEF = 64
BCF = 96
CDF = 24

Merci pour vos énigmes.

Posté par
Keron
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 12-06-11 à 13:03

gagnéBonjour, je trouve que AEFD a une aire de 56.00 (bizarre, je ne trouve que des valeurs entières), que DFC a une aire de 24.00, que FBC a une aire de 96.00 et que BFE a une aire de 64.00.

Posté par
AOI
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 12-06-11 à 14:36

gagnéBonjour,

Alors je trouve les aires:
BFC=96
BFE=64
AEFD=56
CFD=24

Posté par
Rodival
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 12-06-11 à 18:28

gagnéRe-bonjour,

Pas besoin de grandes notions de géométrie pour résoudre cette énigme...

Si on trace le segment AF, le triangle ABC est séparé en 5 petits triangles selon :

Joute n°33 : Le triangle partagé

A partir de là, la seule chose à savoir vient de la formule de la surface d'un triangle :
Si deux triangles ont une même hauteur, ils ont des surfaces proportionnelles à leurs bases.

Alors :
- triangles AFD et CFD :
c / d = AD / DC = 1 => d = c
- triangles BFE et AFE :
a / b = BE / EA = 2 => a = 2b
- triangles ABD et CBD :
(a+b+c) / (d+e) = AD / DC = 1 => d+e = a+b+c => e = 3b
- triangles BCE et ACE :
(a+e) / (b+c+d) = BE / EA = 2 => 2(b+c+d) = a+e => 4c = 3b

Et, puisqu'on connait la surface totale du triangle ABC :
a+b+c+d+e = 240 => 6b+2c = 10c = 240 => c = 24

Finalement :
4c = 3b => b = 32 => ADFE = b+c = 56
e = 3b => e = 96 => BCF = e = 96
a = 2b => a = 64 => BEF = a = 64
d = c => d = 24 => CDF = d = 24

Posté par
Eurotruck
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 12-06-11 à 19:16

perduBonjour,

Notons l'aire du morceau de quadrilatère AEFD S1, du triangle DFC S2, du triangle BFC S3, et du triangle EFB S3.

Nous avons alors
S1+S2+S3+S4=240
S4+S2=80
S3+S1=160
S1+S2=120
S1+S4=120

En résolvant ce système on a

S1=80
S2=40
S3=80
S4=40

Merci pour l'énigme

Posté par
plumemeteore
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 12-06-11 à 21:04

gagnéBonjour Godefroy.
aire de BEF = 64
aire de AEFD = 56
aire de BFC = 96
aire de DFC = 24

Désignons ces aires respectivement par a, b, c et d.
a+b = c+d = 120
b+c = 80
[AF) rencontre [BC] en G.
D'après le théorème de Céva, CG = CB/3.
AGC = FGC + FDC + AFD = ABC/3
c/3 + 2d = 80
c+d = 120
c = 96; d = 24
BAF = BAD - AFD = 120-d = 96
BEF = BAF * 2/3 = 64; a = 64
b = 120-a = 56; on a aussi b = AEF + AFD = BAF/3 + d = 32+24 = 56

Posté par
LO_RV
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 12-06-11 à 21:20

gagnéDe la plus petite à la plus grande :
24,56,64 et 96 unités d'aires

La somme des deux plus petites fait 80, et la somme des deux plus grandes fait 160, vu la position de E.
La somme de la plus petite et de la plus grande est égale à la somme des deux autres, et à 120, vu la position de D.
La plus grande fait 4 fois la plus petite, vu la position de F  sur [BD] (obtenue grâce à des barycentres)

Posté par
caylus
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 12-06-11 à 21:36

perduBonjour Godefroy,

AEFD: 56,62 par défaut
EBF:  66,49 par défaut
BFC:  93,51 par excès
FCD:  23,38 par excès

Merci pour la joute.

Posté par
geo3
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 12-06-11 à 23:01

gagnéBonsoir
En espérant ne pas avoir fait d'erreur de calcul comme dans la joute 31 je propose en unités d'aire
aire BFC = 96:   aire BEF = 64   ; aire DFC = 24 et aire AEFD = 56
A+

Posté par
Daniel62
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 13-06-11 à 00:45

gagnéBonsoir godefroy_lehardi

aire du triangle DFC = 24 unités

aire du triangle BFC = 96 unités

aire du triangle BEF = 64 unités

aire du quadrilatère AEFD = 56 unités

ce qui est vrai pour un triangle quelconque est vrai aussi pour un triangle

particulier, j'ai pris ABC équilatéral (la réciproque est fausse)

à partir de là on peut calculer le côté, la hauteur, les angles, les surfaces, etc...

merci pour l'énigme

Posté par
misto
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 13-06-11 à 01:22

gagnéSi x= aire BEF   y= aire EFDA  z= aire BFC  et t= aire FDC,
en utilisant plusieurs fois la formule de l'aire= base*hauteur/2
et les rapports donnés dans l'énoncé, il vient que

 \\ x+y=z+t
 \\ x+z=2(y+t)
 \\ x+y+z+t=240
 \\ y=\frac{x}{2}+t
(car EFDA se décompose en deux triangles AEF et FAD ...)
En résolvant ce système, on tire que
x=64 y=56 z=96 et t=24.

Posté par
veleda
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 13-06-11 à 08:03

gagnébonjour,
j'utilise le fait que
aireAEFD=aireAEF+aireAFD=\frac{1}{2}aireBEF+aireCFD
on en déduit facilement que
aireBFC=4aireCFD=>5aireCFD=120
d'où:
aireCFD =24 unités
aireBFC =96 unités
aireAEFD=56 unités
aireBEF =64 unités
sauf étourderie de ma part
merci pour ce petit problème

Posté par
caylus
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 13-06-11 à 11:26

perduOn oublie!
Il est regrettable que la moitié de 30 ne soit pas 16!
Désolé.

Posté par
evariste
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 14-06-11 à 10:32

gagnéEBF = 64
FBC = 96
DFC = 24
AEFD = 56

Posté par
ksad
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 14-06-11 à 16:18

gagnébonjour,
voici la solution que je propose:
- triangle BFC = 96
- triangle FDC = 24
- triangle BEF = 64
- quadrilatère EADF = 56
en espérant faire mieux que pour les triangles des pirates...

Posté par
-Tonio-
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 15-06-11 à 14:40

gagnéBonjour ,

Je trouve :

AireAEFD=56
AireEFB=64
AireFBC=96
AireFDC=24

Démo :

On introduit un rond (B,,) tel que soit colinéaire à \vec{BC}. Dans ce repère, les coordonnées des points sont :
B(0,0)
C(xC,0)
A(xA,yA)
E((2/3)xA,(2/3)yA)
D((xA+xC)/2,yA/2)
F(xF,yF).

En utilisant le déterminant : AireABC=240(1/2)*dét(\vec{BA}, \vec{BC})=240yAxC=480

Alors AireBEC=AireEFB+AireFBC=(1/3)yAxC=160 (càd AireAEC=80)
De plus, la médiane (BD) sépare ABC en deux triangles de même aire. Donc AireABD=AireDBC=120.

On a donc un système de la forme (par exemple) :
x+y+z+w=240
y+z=80
z+w=120
avec x=AireEBF, y=AireAED, z=AireDFC et w=AireBFC.

Ainsi, il n'y a qu'à trouver une parcelle pour trouver toutes les autres. Pour cela, il nous faut exprimer F en fonction des coordonnées de A et de C.
F est l'intersection de (EC) et (BD), on peut donner les équations cartésiennes de ces droites :
(EC) : (-yE/(xC-xE))*x+(yExC)/(xC-xE)
(BD) : y=(yD/xD)*x

En résolvant le système, on tombe sur xF=(2/5)(xA+xC) et yF=(2/5)yA. C'est bon, on peut calculer w (par exemple) : w=(1/2)*dét(\vec{BF}, \vec{BC})=(1/5)yAxC=96 et remonter le système.

En espérant ne pas avoir fait d'erreur de calcul,

@+

Posté par
LeDino
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 15-06-11 à 18:38

gagnéBonjour,

Sauf erreur, les aires (en unités) sont respectivement :
a = ADFE = 56
b = DCF  = 24
c = BCF  = 96
d = BEF  = 64

Explication :
a+d = b+c = 240/2 = 120
a+b = (c+d)/2 = 240/3 = 80

Et surtout :
d/c = EF/FC
EF/2 = FC/3
... qui conduit à d/2 = c/3
... qui conduit à la solution indiquée.

Posté par
torio
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 16-06-11 à 11:34

gagnéA+
Torio

Joute n°33 : Le triangle partagé

Posté par
-Tonio-
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 16-06-11 à 15:16

gagnéJuste pour dire que j'ai oublié de mettre les valeurs absolues pour la formule de l'aire avec le déterminant (mais je les ai pas oubliées dans les calculs donc je reste sur ma réponse).

Posté par
Glapion Moderateur
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 16-06-11 à 17:27

gagnéJoute n°33 : Le triangle partagé
Si l'aire de ABC est fixe (égale à 240), si la longueur BC est fixée, alors A se déplace sur une parallèle à BC (par exemple sur le dessin si BC=40 alors BG=12). E,D, F se déplacent également sur des parallèles à BC. L'aire BFC qui vaut BC.FH/2 est donc constante (puisque FH l'est). De même BFE est constante puisque égale à EBC - FBC et que ces deux aires sont constantes. On en déduit de proche en proche que les 4 aires que l'on recherche sont constantes quand A varie. Il ne suffit plus que de les calculer dans un cas particulier (par exemple quand A est en G, le repère est alors orthonormé et le calcul des aires est très simple).
On trouve Aire BFC = 96 ; Aire BFE=64 ; Aire FDC = 24 et Aire AEFD=56

Posté par
dpi
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 16-06-11 à 19:36

gagnéBonjour

Je donne une solution
FCD 24
FCB 96
FEB 64
ADFE 56
SOIT 240

Posté par
Pierre_D
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 16-06-11 à 22:39

gagnéBonjour Godefroy,

Que penses-tu de :

CDF   :  24
DAEF :  56
EBF   :  64
BCF   :  96

Posté par
spmtb
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 18-06-11 à 12:17

gagnébonjour
24m² ; 56m² ; 64m² ; 96 m²

Posté par
spmtb
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 18-06-11 à 12:18

gagnési, bien sur, l unité est le m²

Posté par
akub-bkub
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 18-06-11 à 14:03

gagnéSlt godefroy_lehardi, slt à tous

Je propose :

{Aire_{ADFE}=56u}\\{Aire_{CDF}=24u}\\{Aire_{CBF}=96u}\\{Aire_{BEF}=64u}

Merci pour la joute.

Bien à vous tous.

Posté par
Rumbafan
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 20-06-11 à 12:34

gagnéBonjour Godefroy,

Je propose :

Aire BEF = 64 unités
Aire EADF = 56 unités
Aire DCF = 24 unités
Aire CBF = 96 unités

Merci pour l'énigme et ...   à bientôt pour la suivante

Posté par
Labo
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 20-06-11 à 20:52

gagnéBonjour godefroy_lehardi

aire AEFD = 56 unités
aire EBF  = 64 unités
aire BFC  = 96 unités
aire CFD  = 24 unités

Posté par
Gryfo
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 21-06-11 à 22:10

gagnéBonjour bonjour

Voici la réponse que je propose (dans ma figure en bas).

Je me suis rapporté à un cas tout simple : j'ai considéré que le triangle ABC était un triangle rectangle en A. Ensuite j'ai considéré que AC=10 (pour avoir des résultats exacts par la suite). À partir de là je pouvais facilement en conclure que :

AB=48
 \\ AE=16
 \\ AD=5

Et après j'ai bidouillé pour trouver les aires

Mais ça m'a l'air tellement foireux mon histoire que ça sent le poisson

Enfin tant pis j'aurais essayé

Merci pour cette énigme, à bientôt !

Joute n°33 : Le triangle partagé

Posté par
sanantonio312
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 22-06-11 à 08:30

gagnéBonjour,
Je propose, dans l'ordre croissant: 24 - 56 - 64 - 96

Posté par
Gryfo
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 22-06-11 à 12:56

gagnéBien voici ma méthode complète si ça intéresse quelqu'un (et si j'ai juste) :

On doit avoir un triangle dont l'aire est de 240 unités. J'ai considéré que ABC est un triangle rectangle en A et que AC=10 (pour donc faciliter les calculs par la suite. L'aire doit être de 240 unités, donc :

\frac{AC\times AB}{2}=240
 \\ \frac{10\times AB}{2}=240
 \\ 5\times AB=240
 \\ AB=\frac{240}{5}
 \\ AB=48

Ensuite AB/AE=3 et AC/AD=2 donc :

\frac{AB}{AE}=3
 \\ \frac{48}{AE}=3
 \\ AE=\frac{48}{3}
 \\ AE=16
 \\ 
 \\ \frac{AC}{AD}=2
 \\ \frac{10}{AD}=2
 \\ AD=\frac{10}{2}
 \\ AD=5

Et la longueur de CB on s'en t

Posté par
Gryfo
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 22-06-11 à 13:17

gagnéDésolé bug -_-"

Donc je disais la longueur de CB on s'en tape puisqu'on ne va jamais l'utiliser

Bien maintenant qu'on a toutes les longueurs on va s'intéresser aux aires. Commençons par calculer l'aire de CAE :

A=\frac{AC\times AE}{2}
 \\ A=\frac{10\times16}{2}
 \\ A=\frac{160}{2}
 \\ A=80cm^2

Donc l'aire de CEB = 240-80 = 160cm²
L'aire de BAD=BDC 120cm²

Je finirais d'expliquer plus tard

Posté par
carpissimo
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 23-06-11 à 12:12

gagnéSalut,

Je trouve :
BEF = 64u
BFC = 96u
FDC = 24u
AEFD = 56u

avec AB = 48 et AC = 10, soit AE = 16 et AD = 5

merci @++

Posté par
gloubi
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 24-06-11 à 10:11

gagnéBonjour,

Joute n°33 : Le triangle partagé

Merci pour la joute !

Posté par
Pantagruel
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 28-06-11 à 20:56

gagnéBonjour tout le monde
Je propose ceci:
AEFD  =  56 Unités
EBF   =  64 Unités
BFC   =  96 Unités
CFD   =  24 Unités
Total = 240 Unités

Posté par
LEGMATH
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 30-06-11 à 10:11

gagnéBonjour godefroy_lehardi ,

BEF = 64 unités
AEFD = 56 unités
BFC = 96 unités
CDF = 24 unités

Merci pour ce joute.

Posté par
link224
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 02-07-11 à 19:58

perduSalut godefroy !

Je trouve que les aires sont les suivantes :

Aire(AEFD) = 50 unités
Aire(FDC) = 30 unités
Aire(EFB) = 70 unités
Aire(FBC) = 90 unités

A+ et merci pour l'énigme.

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 04-07-11 à 08:18

Clôture de l'énigme :

Voilà une joute plutôt bien réussie.

Posté par
Louisa59
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 04-07-11 à 20:06

Bonsoir à tous

Moi je dis bravo à Gryfo

Posté par
LeDino
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 04-07-11 à 22:22

gagné
Pst ! Gryfo !




... T'as une touche ...

Posté par
Louisa59
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 04-07-11 à 22:26

Même pas vrai, il a pas eu de poisson, juste un leurre

Bonsoir LeDino

Posté par
LeDino
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 04-07-11 à 22:54

gagnéLol, c'est vrai Louisa : une touche ne veut pas dire que le poisson est dans l'épuisette...

Mais bon il a le droit de rêver ...

Posté par
Louisa59
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 04-07-11 à 22:58

Je sais, je vais à la pêche, j'ai des touches mais pas toujours de prises, des fois ça "lâche" ou "ça casse", mais il arrive que j'"accroche" bien !

Que c'est beau de rêver !!!

Posté par
geo3
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 05-07-11 à 13:34

gagnéBonjour
==> Rodival
J'ai fortement apprécié ta démonstration originale simple et claire
Moi je l'ai faite par l'analytique en prenant un triangle rectangle en A.
A+

Posté par
Gryfo
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 05-07-11 à 17:08

gagnéYeah réussi

Merci louisa !

Posté par
Louisa59
re : Joute n°33 : Le triangle partagé 05-07-11 à 21:51

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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