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Joute n°37 : Les pentagones

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
17-07-11 à 14:25

Bonjour à tous,

J'ai entendu un jour aux infos que le ministère de la défense allait construire un nouvel état-major qui aura, parait-il, la forme d'un hexagone (sur le projet, ça ne saute pas aux yeux ).
Évidemment, ça fait penser au Pentagone américain.

Du coup, j'ai imaginé l'énigme suivante :

A l'intérieur d'un hexagone régulier ABCDEF de base 100, on dessine 3 pentagones réguliers de base 100 également et ayant chacun un côté commun avec l'hexagone. Cependant, ces côtés communs sont des côtés non adjacents de l'hexagone (par exemple AB, CD et EF).

Question : quelle est l'aire de la zone correspondant à l'intersection des 3 pentagones ?

Vous donnerez la réponse arrondie à l'entier le plus proche.

Joute n°37 : Les pentagones

Posté par
totti1000
re : Joute n°37 : Les pentagones 17-07-11 à 14:33

gagnéSalut godefroy,

Je propose une aire de 10415.

Merci.

Posté par
frenicle
re : Joute n°37 : Les pentagones 17-07-11 à 14:36

gagnéBonjour Godefroy,

Je propose une aire de 10415 unités d'aire.

Merci pour la joute

Posté par
LO_RV
re : Joute n°37 : Les pentagones 17-07-11 à 14:53

gagnéBonjour,

Je comprends pas le concept de "base" d'un hexagone ou d'un pentagone régulier. Je vais supposer qu'il s'agit du côté.
Dans ce cas, l'aire cherchée fait environ 10415 unités carrées.

Bonne journée sinon.

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°37 : Les pentagones 17-07-11 à 17:19

gagnéAprès quelques calculs, je trouve S=10415 (arrondi à l'entier le plus proche).

Posté par
frenicle
re : Joute n°37 : Les pentagones 17-07-11 à 17:20

gagnéVoici un petit complément, la valeur exacte :

15000\sqrt{3}(\sqrt{255+114\sqrt{5}}-11-5\sqrt{5})

Soit environ

10415,316237365832507474756441122700...


Posté par
caylus
re : Joute n°37 : Les pentagones 17-07-11 à 18:07

perduBonjour Godefroy,

104.

Merci pour la joute.

Posté par
geo3
re : Joute n°37 : Les pentagones 17-07-11 à 19:47

perduBonjour
Sauf erreur de calcul je dirais
521 unités d'aires
A+

Posté par
torio
re : Joute n°37 : Les pentagones 18-07-11 à 09:17

perduAire intersection = 10392  (arrondie à l'entier)




L intersection est un hexagone régulier  dont l'aire vaut 0,4 * l'hexagone de départ.

Aire hexagone = 25980.762

A+
Torio

Posté par
castoriginal
Joute n°37 : Les pentagones 18-07-11 à 11:20

gagnéBonjour,

considérons la figure 1 avec l'intersection des 3 pentagones inscrits dans l'hexagone. La surface ,en jaune, est un hexagone irrégulier dont les angles successifs entre deux cotés valent alternativement 132° ou 108°.Par symétrie, cet hexagone peut être décomposé en 3 quadrilatères dont les diagonales ,(en rouge) sont orthogonales.
Joute n°37 : Les pentagones
Dans le quadrilatère JHGO, on peut calculer la longueur du coté JO=JM-OM
OM est explicité dans la figure 2 de l'hexagone suivante:
Joute n°37 : Les pentagones
et JM dans la figure du pentagone (figure 3)
Joute n°37 : Les pentagones
Après calcul, on trouve OJ =67,28163648 et JN=OJ*cos (30°) =OJ*(3)/2= 58,2676064. La première diagonale vaut JG=116,5352128
NO=OJ*sin(30°)=33,64081824 et NH=JN*tan(24°)=25,94240979 soit la deuxième diagonale HO=NH+NO=59,58322803
La surface du quadrilatère JHGO  vaut (HO*JG)/2 = 3471,772079
et finalement l'aire de la zone correspondant à l'intersection des 3 pentagones vaut 3 * 3471,772079 = 10415,31624  arrondie à 10415

Bien à vous

Posté par
Rumbafan
re : Joute n°37 : Les pentagones 18-07-11 à 13:14

gagnéBonjour Godefroy,

Je propose 10415 unités d'aire

Avec EXCEL on peut tout faire...  

Dès qu'on a les points P0 à Pn=P0 du contour, il suffit d'appliquer

A = 1/2 (xi * yi+1 - xi+1 * yi)    pour i allant de 0 à n-1


Merci pour ce petit casse-tête

A+

Joute n°37 : Les pentagones

Posté par
jonjon71
re : Joute n°37 : Les pentagones 18-07-11 à 14:34

gagnéBonjour,

Voici ma réponse :

L'aire de la zone correspondant à l'intersection des 3 pentagones est 10 415.
Merci

Posté par
veleda
re : Joute n°37 : Les pentagones 19-07-11 à 07:24

perdubonjour,
je trouve que la partie commune aux trois domaines pentagonaux est un domaine hexagonal régulier de côté c=50((1+\sqrt5)cos(\frac{\pi}{10})-2cos({\frac{\pi}{6}))=67,281.unités
la surface de la partie commune est donc S=6c^2.\frac{\sqrt3}{4}=\frac{3}{2}c^2\sqrt3
d'où
S=11761unités de surface à une unité prés par défaut en espérant que mes calculs du petit matin ne sont pas erronés
merci pour ce problème

Posté par
dpi
re : Joute n°37 : Les pentagones 19-07-11 à 16:31

perduBonjour,

Si l'intersection est la superposition
je dirai 13039

Posté par
LEGMATH
re : Joute n°37 : Les pentagones 20-07-11 à 23:08

perduBonsoir godefroy_lehardi,

L'aire de la zone correspondant à l'intersection des 3 pentagones est égale à 9779 .

Merci pour ce joute.

Posté par
misto
re : Joute n°37 : Les pentagones 21-07-11 à 15:02

gagnéBonjour !


10415 m².

Merci pour l'énigme !

Posté par
misto
re : Joute n°37 : Les pentagones 21-07-11 à 15:03

gagném² si l'unité est le mètre !

Posté par
Glapion Moderateur
re : Joute n°37 : Les pentagones 23-07-11 à 12:22

gagnéJoute n°37 : Les pentagones

Arrondi à l'entier le plus proche, ça donne : 10415

Posté par
geo3
re : Joute n°37 : Les pentagones 23-07-11 à 21:23

perduBonjour
Après mes vacances j'ai vérifié mes calculs.
J'avais trouvé à l'echelle 1/20ème 26.03829058 que j'ai multiplié par 20 ; ce qui m'a donné 520.7658115 => 521 ( ma 1ère réponse)
Mais comme c'est une aire j'aurais dû multiplier par 20² => 26.03829058 *20² =
10.415,31623 => 10.415
Encore un (bête) poisson en plus
Merci pour toutes  ces enigmes
A+

Posté par
ksad
re : Joute n°37 : Les pentagones 25-07-11 à 18:23

gagnébrrr... j'ai eu un peu de mal avec celui-ci.
je propose une surface de 10415 unités.

j'ai l'impression qu'une solution "élégante" doit faire apparaître le nombre d'or d'une manière ou d'une autre, mais je n'ai pas encore trouvé une telle solution.

merci pour l'énigme !!

Posté par
LeDino
re : Joute n°37 : Les pentagones 26-07-11 à 00:07

perduBonjour,

Sauf erreur, l'aire de l'intersection des pentagones est de 6546.

Cette aire représente à peine plus du quart de l'aire de l'hexagone (25,2%).
Et plus exactement :

Aire = 100² * (tg/3+tg/5) * (sin/5+sin2/5-sin2/3)²/(tg/5+tg/6)²

Ouf !

Posté par
bryan555
re : Joute n°37 : Les pentagones 26-07-11 à 15:32

gagnéje dirais 10415 je ne dis pas d'unités étant donné qu'il n'y en avait pas dans votre énoncé

Posté par
Pierre_D
re : Joute n°37 : Les pentagones 26-07-11 à 17:02

gagnéBonjour Godefroy,

Je n'ai trouvé nulle part une quelconque définition de la base d'un polygone régulier ; vu l'énoncé (hexagone et pentagone ont même base d'une part, et un côté commun d'autre part), j'ai été amené à supposer qu'il s'agit pour toi de la longueur a du côté.
Sous cette hypothèse, et l'aire de l'intersection étudiée valant environ 1,0415316237.a² , je propose donc la réponse :    A 10415 .

Posté par
LeDino
re : Joute n°37 : Les pentagones 26-07-11 à 20:08

perduPour faire joli (et au cas improbable où personne d'autre n'aurait fait le graphique) :

Joute n°37 : Les pentagones

Posté par
carpissimo
re : Joute n°37 : Les pentagones 27-07-11 à 16:58

gagnéSalut,

Je vais dire : 10 415.32 U arrondi à 2 decimales

@++

Posté par
Pepp67
re : Joute n°37 : Les pentagones 28-07-11 à 11:15

gagnéJe trouve une aire pour l'intersection des 3 pentagones de : 10 415

Posté par
link224
re : Joute n°37 : Les pentagones 28-07-11 à 16:07

gagnéBonjour godefroy.

Je trouve que l'aire de l'intersection des 3 pentagones est de 10415 unités.

A+ et merci pour l'énigme !

Posté par
pacou
re : Joute n°37 : Les pentagones 30-07-11 à 15:49

gagnéBonjour,

La zone correspondant à l'intersection des 3 pentagones a une aire de 10415 U².

Merci.

Posté par
okpretia
Réponse 02-08-11 à 16:04

perduBonjour godefroy,

je trouve une aire de 104.15 (ne connaissant pas l'unité je ne vois pas bien où arrondir exactement)

Cordialement

Posté par
gloubi
re : Joute n°37 : Les pentagones 05-08-11 à 11:21

perduBonjour godefroy_lehardi,

Vite fait, avant la clôture: l'aire recherchée vaut environ 10 416 km2.

Merci pour l'énigme !  

Posté par
castoriginal
re : Joute n°37 : Les pentagones 05-08-11 à 13:00

gagnéBonjour,

il y a une erreur à la figure 3 de mon message précédent: le centre du pentagone doit être appelé O1 car il est différent du centre O de l'hexagone

Merci de corriger

A bientôt

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°37 : Les pentagones 07-08-11 à 19:57

Clôture de l'énigme :

C'est vrai que la notion de base correspondait en fait au côté. Mais ça n'a visiblement empêché personne de trouver (ou de se tromper )

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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Temps de réponse moyen : 130:34:47.
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