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Joute n°39 : Sur la route des vacances

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
04-08-11 à 11:53

Bonjour à tous,

Le week-end dernier, c'était le grand départ des aoûtiens.
Parmi eux se trouvaient 3 couples d'amis qui passent tous les ans leurs vacances dans le même camping.

Leurs trajets depuis chez eux jusqu'au camping font exactement la même longueur et ils ont mis le même temps pour arriver à destination. Mais, comme ils ont fait des pauses, leurs parcours ne se sont pas déroulés de la même façon.
Albert a passé 2 fois plus de temps à rouler que Bernard n'en a passé en pause.
Bernard a passé 3 fois plus de temps à rouler que Charles n'en a passé en pause.
Charles a passé 5 fois plus de temps à rouler qu'Albert n'en a passé en pause.

Sans compter les pauses, le mari de Monique a roulé à une vitesse moyenne de 100 km/h, alors que la vitesse moyenne du mari de Nadine a été de 72 km/h.

Question : Quelle a été la vitesse moyenne du mari d'Odile (toujours sans compter les pauses) ?
Vous donnerez la réponse arrondie au kilomètre/heure le plus proche.

Joute n°39 : Sur la route des vacances

Posté par
Manu04
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 04-08-11 à 12:19

gagné69 km/h

Posté par
ksad
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 04-08-11 à 12:20

gagnéBonjour,
Après avoir résolu un petit système de trois équations à trois inconnues, on trouve que les temps de roulage d'Albert, Bernard et Charles sont respectivement 26/31, 18/31 et 25/31 du temps total de voyage.

Les vitesses étant inversement proportionnelles aux temps de roulage effectifs, on trouve que les vitesses respectives seront donc proportionnelles à 1/26, 1/18 et 1/25.
Des vitesses de 100 et 72 km/h ne peuvent donc correspondre qu'aux fractions 1/18 et 1/25.
Le troisième mari (celui d'Odile) aura donc une vitesse proportionnelle à la fraction restante, soit 1/26. Le rapport de proportion étant 1800, on trouve au final une vitesse de 69.23077 km/h, soit 69 km/h en arrondissant à l'unité la plus proche.

Merci pour le chassé-croisé !

Posté par
plumemeteore
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 04-08-11 à 12:27

gagnéBonjour Godefroy.
Le mari d'Odile, Albert, a roulé à 69 km/h.

En prenant comme unité de temps la durée du trajet, soient a, b, c les temps pendant lesquels Albert, Bernard et Charles ont respectivement roulé.
a = 2-2b
b = 3-3c
c = 5-5a

a = 2-2b
b = 3-3*(5-5a) = -12+15a

a = 2-2*(-12+15a) = 26-30a

a = 26/31; c = 25/31; b = 18/31
Les vitesses étant inversement proportionnelles au temps, c'est Bernard qui a roulé à 100 km/h et Charles qui a roulé à 72 km/h.
Le mari d'Odile est Albert et a roulé à 72*25/26 = 69,231 km/h.

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 04-08-11 à 12:52

gagnéJe trouve une vitesse de 69,23km/h arrondi à 69km/h.
Odile est mariée avec Albert, Monique avec Bernard et Nadine avec Charles.

Posté par
link224
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 04-08-11 à 13:02

gagnéBonjour godefroy !

Sans compter les pauses, le mari d'Odile (c'est Albert) a roulé à 69 km/h (en arrondissant au km/h le plus proche).

A+ et merci pour l'énigme.

Posté par
totti1000
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 04-08-11 à 13:02

gagnéBonjour godefroy,

Je propose une vitesse d'environ 69 km/h.

Merci.

Posté par
Jun_Milan
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 04-08-11 à 13:05

gagnéBonjour,

Joute interessante, en particulier due a sa formulation.

Je trouve que la vitesse moyenne du mari d'Odile arrondie au km/h le plus proche est: 69 km/h.
(sauf erreur, le probleme n'est possible que si Albert est le mari d'Odile, Bernard celui de Monique et Charles celui de Nadine.)

Merci pour cette joute.

Posté par
Jun_Milan
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 04-08-11 à 13:07

gagnéBien entendu, cette vitesse est sans compter les pauses.

Posté par
gloubi
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 04-08-11 à 13:17

gagnéBonjour godefroy_lehardi,

Albert, le mari d'Odile, a roulé à 69 km/h environ.

Merci pour l'énigme !  

Posté par
Glapion Moderateur
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 04-08-11 à 15:32

gagnéC'est Albert le mari d'Odile et il a fait du 69 km/h

Posté par
buck92
Joute 39 04-08-11 à 15:45

gagnéBonjour,
69 Km/h

avec par ordre de vélocité :
Monique mariée avec Bernard (100 Km/h),
Nadine mariée avec Charles (72 Km/h)
et Odile mariée avec Albert (69,23 Km/h).

Merci pour l'énigme.

Posté par
yoyodada
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 04-08-11 à 17:07

gagnéSalut Godefroy,

Albert, le mari d'Odile, a roulé à une vitesse

V_A=\frac{72\times 25}{26}\approx 69,23 km/h, soit 69 km.h^{-1} arrondi au kilomètres par heure.

Merci pour l'énigme

Posté par
caylus
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 04-08-11 à 17:47

gagnéBonjour Godefroy,

69 km/h par défaut. (900/13)
Merci pour la joute

Posté par
alfred15
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 04-08-11 à 17:48

perduBonjour,


Le mari d'Odile (i.e. Albert)  a roulé à 58 km/h en moyenne, hors pauses.

Merci

PS: pour les petits potins, Bernard est marié à Monique et Charles à Nadine

Posté par
veleda
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 04-08-11 à 17:49

gagnébonjour,

sauf erreur de calcul la vitesse moyenne du mari d'odile est de 69km/h au km/h le plus proche
merci pour ce petit problème

Posté par
geo3
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 04-08-11 à 20:29

gagnéBonjour
Odile est l'épouse d'Albert , Monique  celle  de Bernard  et Nadine celle de Charles =>
la vitesse moyenne du mari d'Odile (Albert) = 69km/h
A+

Posté par
pacou
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 04-08-11 à 23:10

gagnéBonsoir

La vitesse moyenne du mari d'Odile (sans les pauses) est d'environ 69 km/h.

Merci pour l'énigme.

Posté par
LeDino
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 05-08-11 à 01:46

gagnéBonjour,

Le mari d'Odile (que j'imagine être Albert), roule à 69 km/h.

Merci pour l'énigme .

Posté par
castoriginal
Joute n°39 : Sur la route des vacances 05-08-11 à 12:45

gagnéBonjour à tous,

personnellement j'ai trouvé que:

Bernard est le mari de Monique et roule à 100km/h

Charles est le mari de Nadine et roule à 72km/h

enfin Albert est le mari d'Odile et roule à 69,23km/h arrondi à 69km/h

Bien à vous

Posté par
dpi
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 05-08-11 à 13:53

gagnéBonjour,
Il a fallu phophorer:

Je trouve que c'et le mari d'Odile , Albert
qui a roulé pendant 10 h 24 min sur les
720 kms soit une moyenne de 69.231 arrondià 69 kmh

Posté par
leofofe
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 05-08-11 à 14:26

gagnéVocabulaire :tAr,tBr et tCr representent les temps mis par albert ,bernard et charles en roulant respectivement.tAp,tBp et tCp sont les temps de pause.va est la vitesse moyenne d'albert sans compter les pauses,vb celle de bernard et vc celle de charles.
Les trois couples ayant mi le meme temps,on a tAr+ tAp= tBr+ tBp= tCr+ tCp.
L'interpretation des hypotheses de depart nous donne tAr=2 tBp, tBr=3 tCp, tCr=5 tAp.
On a alors : tAr+ tAp= tBr+ tBp  2tAr+2 tAp=2 tBr+ tAr car 2tBp= tAr
                                                                      5tAr+2tCr=10tBr (en multipliant par 5 et sachant que 5tAp=tCr)
                                               5tAr+2(tBr+ tBp- tCp)=10tBr car tBr+tBp= tCr+tCp
                                                                      15tAr+6tBr+3 tAr-2tBr=30tBr (en multipliant par 3 et sachant que 2tBp=tAr  et 3 tCp=tBr).
on a alors la relation tAr= tBr
en procedant de la meme maniere avec les relations tBr+ tBp= tCr+ tCp et tAr+ tAp= tCr+ tCp, on obtient les relations tBr=  tCr et tAr=  tCr.pour passer aux vitesses,on tient compte du fait que albert bernard et charles parcourrent la meme distance et on a :
        va.tAr= vb.tBr= vc.tCr
ainsi va.tAr= vb.tBr   va=  vb
          vb.tBr= vc.tCr   vb=  vc et
      va tAr= vc tCr   va=  vc.
on remarque que  =  et on en deduit que vb=100, vc=72 et va=69(en kilomètre par heure).
On en deduit meme que albert est le mari d'odile,bernard est le mari de monique et charles est le mari de nadine.
Conclusion : la vitesse au kilometre pres du mari d'odile est de 69km.h-1

Posté par
Rumbafan
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 05-08-11 à 15:01

gagnéBonjour Godefroy,

Je propose :

69 km/h  (69,23077…)


Merci beaucoup pour cette énigme


A+

Posté par
evariste
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 05-08-11 à 18:32

gagné69 km/h

Posté par
Pepp67
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 06-08-11 à 11:33

gagnéLa vitesse moyenne du mari d'Odile a donc été de 69 km/h

Justification :

On décide que Bernard roule a une vitesse moyenne, hors pause, de 100 km/h, et Charles, a une vitesse moyenne hors pause de 72 km/h.

On en déduit donc deux choses :

Temps de conduite de Bernard : \frac{d}{100}

Temps de conduite de Charles : \frac{d}{72}

De l'énoncé on peut aussi en déduire deux choses :

Temps de repos de Charles : \frac{d}{300}

Temps de repos de Albert : \frac{d}{360}

Or on sait aussi qu'au final ils ont tous mis le même temps pour arriver. Si on note x la vitesse moyenne hors pause de Albert on a donc :

\frac{d}{72} + \frac{d}{300} = \frac{d}{x} + \frac{d}{360}
\frac{50d}{3600} + \frac{12d}{3600} - \frac{10d}{3600} = \frac{d}{x}
\frac{52d}{3600} = \frac{d}{x}
\frac{13}{900} = \frac{1}{x}
\frac{900}{13} = x
69.23 km/h = x

En arrondissant au km/h le plus proche on tombe donc bien sur 69 km/h.

Merci pour cette énigme

Posté par
Pierre_D
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 06-08-11 à 18:59

gagnéBonjour et merci à toi, Godefroy

Si je ne me suis pas trompé, Albert roule en moyenne à la vitesse de \frac{900}{13}  ,  soit  environ 69 km/h

Posté par
Pantagruel
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 07-08-11 à 02:04

perduBonjour tout le monde
-1ère solution: Mari d'Odile = Albert = 69 kms/h.
               (Bernard = 100 kms/h. et Charles = 72 kms/h.)
-2ème solution: Mari d'Odile = Charles = 75 kms/h.
               (Bernard = 100 kms/h. et Albert = 72 kms/h.)
N.B. La 3éme probabilité où Charles = 100 kms/h. et Albert = 72 kms/h.et donc Bernard >100 n'admet pas de solution.

Posté par
Tonm
Essayer 07-08-11 à 07:22

perduPuisque on ne sait les noms des couples à la fois pour attribuer à chacun sa vitesse on essaye toutes possibilité bref et sans compter les pauses on aura les bonnes reponses en prenant x temps de pause de bernard (parcours 4y) y pause de charles (parcours 6z) z pause de albert apres calcul on aura v=100km/h vitesse de charles en effet 72km/h pour bernard marie d odile est albert on a par calcul y/x= 0.45 alors l'inconnue v d albert =~34km/h  

Posté par
F-R
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 07-08-11 à 17:53

perduBonjour , je propose  52 km/h

Posté par
sanantonio312
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 09-08-11 à 19:27

gagnéJe me suis sans doute lancé dans des calculs bien compliqués.
Au final, je trouve que la vitesse de:
- Albert est proportionnelle à 1/26
- Bernard est proportionnelle à 1/18
- Charles est proportionnelle à 1/25
1/18 colle avec 100 quand 1/25 colle avec 72.
Reste donc 1/26 qui correspond à la vitesse d'Albert qui est donc le mari d'Odile.
Ma réponse: Le mari d'Odile a roulé à une vitesse moyenne de 69 km/h.
Merci pour la joute!

Posté par
mainbonbo
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 14-08-11 à 01:39

gagnéBonsoir, je propose 69 km/h

Posté par
beliaman
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 14-08-11 à 16:38

gagnéje propose 69 km:h comme vitesse moyenne

Posté par
LEGMATH
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 14-08-11 à 23:19

gagnéBonsoir godefroy_lehardi ,

La vitesse moyenne du mari d'Odile est de 69 km/h.

Merci.

Posté par
LO_RV
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 15-08-11 à 22:42

gagnéBonsoir,

je trouve que la vitesse du mari d'Odile est d'environ 69 km/h.

J'appelle tA le temps où Albert roule à la vitesse vA, tB le temps où Bernard roule à la vitesse vB, et tC le temps ou Charles roule à la vitesse vC.
Si on rapporte tous les temps à celui du parcours (le même pour tous les vacanciers), on obtient les relations suivantes :

tA = 2(1-3(1-5(1-tA))) d'où tA = 26/31 du temps total (et 5/31 de pause)
tB = 3(1-5(1-2(1-tB))) d'où tB = 18/31 du temps total (et 13/31 de pause)
tC = 5(1-2(1-3(1-tC))) d'où tC = 25/31 du temps total (et 6/31 de pause)

Puis en comparant des vitesses (vu que les distances sont les mêmes), on obtient entre autre :
vC/vB = tB/tC = 18/25 = 72/100
Les autres rapports ne sont pas compatibles avec 72 et 100.
Charles va donc à 72 km/h sur 25/31 du parcours.
Bernard va donc à 100 km/h sur 18/31 du parcours.

Nous cherchons la vitesse de Albert (le mari d'Odile par déduction).
On peut l'obtenir avec une règle de trois ou un tableau de proportionnalité avec les inverses des temps.
vA = 18/26 de 100 km/h , ou vA = 25/26 de 72 km/h
vA fait environ 69 km/h une fois arrondi à l'unité.

Posté par
PloufPlouf06
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 19-08-11 à 15:20

perduBonjour,

Deux possibilités selon les couples :
Albert/Odile 69km/h - Bernard/Monique 100km/h - Charles/Nadine 72km/h

ou

Albert/Nadine 72km/h - Bernard/Monique 100km/h - Charles/Odile 75km/h

Merci pour l'énigme

Posté par
etienne
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 20-08-11 à 16:12

gagnéBonjour Godefroy,

Je trouve que le mari d'Odile a roulé en moyenne à 69 km/h.

(Pas facile de vérifier ses résultat )

Merci

Etienne

Posté par
torio
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 20-08-11 à 19:07

gagné69km/h

A+
Torio

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 25-08-11 à 10:24

Clôture de l'énigme :

Certains ont proposé deux solutions. Mais, hélas, il y en avait une de fausse.

Posté par
Pantagruel
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 26-08-11 à 03:18

perduBonjour tout le monde
Je ne suis pas du tout d'accord quant au fait que la 2ème.solution est fausse. En voici la démonstration:
- Tout le monde a trouvé que le temps de roulage de Bernard est inférieur au temps mis par Charles, qui est lui-même inférieur à celui d'Albert.
- Si VB = Vitesse de Bernard
- Si VC = Vitesse de Charles
- Si VA = Vitesse de Albert    On écrit alors: VB>VC>VA et donc:
  Hyp.01   * VB = 100 * VC = 72 et * VA = x(x<72)
  Hyp.02   * VB = 100 * VC = x(100<x>72)et * VA = 72
  Hyp.03   * VB = x(x>100)* VC = 100 et * VA = 72    
- L'hypothèse 01 admet comme solution: 100,72,69
- L'hypothèse 02 admet comme solution: 100,75,72
- L'hypothèse 03 n'admet aucune solution.

Posté par
Jun_Milan
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 26-08-11 à 04:44

gagnéBonsoir Pantagruel,

On a par hypothèse que:

AlbertBernardCharles
temps de roulage2t3t`5t``
temps de pauset``tt`


et que 2t+t``=3t`+t=5t``+t` du au fait que les 3 couples ont mis le même temps pour arriver à destination.

Supposons que la longueur du trajet est 100 Km (en effet, on peut prendre n`importe quelle valeur, ceci est du à la proportionalité de l`exercice) et que le temps est exprimé en heure.

Supposons que VB = 100 km par h et VA= 72 km par h. Posons VC=x km par h. (hypothèse de départ)
Vmoyenne=distance parcourue par la duree de ce parcours. Il vient:
100/3t`=100 d`ou t`=1/3 h
100/2t=72 d`ou t=25/36 h

On a: 2t+t``=3t`+t ce qui donne t``=11/36 h.
De meme on a: 3t`+t=5t``+t` ce qui donne t``=49/180 h.
Ce qui est absurde (on a une contradiction). Par suite, l`hypothèse de départ est fausse.

Sauf distraction.

Posté par
LO_RV
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 26-08-11 à 15:05

gagnéMa démonstration (ci-dessus) ne nécessite aucune "hypothèse".
Sur une même distance, il est admis il me semble que les vitesses sont inversement proportionnelles au temps sur lesquelles elles ont été parcourues.
Ainsi, les rapports des vitesses (ou coeff de proportionnalité) sont donc égaux aux rapports inverses des temps.
Si on a le rapport des temps, il est facile d'éliminer les cas où le rapport n'est pas le bon et de ne considérer que le cas possible.
Il n'y a qu'une seule solution à ce problème, je confirme.

Posté par
LeDino
re : Joute n°39 : Sur la route des vacances 29-08-11 à 19:42

gagnéBonsoir Pantagruel,

Je ne sais pas si ça t'aidera à comprendre ton erreur,
mais voici d'où elle provient probablement.

Lorsqu'on met le problème en équations,
et en posant  a,  b,  et  c  les vitesses, on obtient :

1/a + 1/5c = 1/b + 1/2a = 1/c + 1/3b

Tu as probablement trouvé quelque chose d'équivalent à ça,
puisque tu as trouvé la bonne réponse avec a=900/13 (69.23),   b=100,  c=72.
Et en effet, lorsqu'on remplace a, b, c par ces valeurs, toutes les expressions sont égales.

Pour ce qui est de ta deuxième "solution", tu poses a=72 et b=100...
... et tu trouves alors c ~ 75,
probablement parce que tu as résolu une des équations.
mais tu n'as probablement pas vérifié les autres (qui en l'occurrence s'avèrent fausses).

Car dans ton hypothèse, il faut vérifier :
1/72 + 1/5c = 1/100 + 1/144 = 1/c + 1/300

Si tu choisis de résoudre :
1/72 + 1/5c = 1/c + 1/300
Il vient :
c = 1440/19 = 75,78 Km/h  (d'où la valeur que tu as trouvée ?)

Mais si tu choisis une autre équation, elle ne conduit pas au même résultat. Par exemple si tu prends :
1/100 + 1/144 = 1/c + 1/300
Il vient :
c = 3600/49 = 73,46 Km/h

Les résultats sont proches... mais différents.
L'énoncé n'est pas respecté.

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