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Joute n°43 : La rentrée

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
07-09-11 à 14:04

Bonjour à tous,

C'est la rentrée au collège et les 150 élèves de 6ème ont été répartis dans 5 classes numérotées de 6°1 à 6°5, dont les effectifs sont de au moins 25 et au plus 35 élèves par classe.
Si on faisait changer un seul élève de classe (mais on ne le fait pas !), les effectifs formeraient alors une suite de nombres consécutifs (indépendamment des numéros de classe).

Coïncidence amusante : l'effectif de chaque classe est un multiple du numéro de la classe (par exemple, le nombre d'élèves en 6°4 est un multiple de 4), sauf pour la 6°1 dont l'effectif est un nombre premier.

Mais, comme rien ne se passe jamais comme on l'a prévu, il faut changer plusieurs élèves de classe après la rentrée.

Or, une fois que les changements sont effectués, la coïncidence amusante citée plus haut est toujours vraie alors que toutes les classes sauf la 6°1 ont eu au moins un élève déplacé.
Par ailleurs, après les changements, les effectifs de chaque classe sont tous différents et toujours compris entre 25 et 35 inclus.

Question : quel est l'effectif de chaque classe avant et après les changements ?
S'il existe plusieurs réponses possibles, une seule suffira.

Joute n°43 : La rentrée

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°43 : La rentrée 07-09-11 à 14:40

perdu6.1 : 31
6.2 : 32
6.3 : 30
6.4 : 32
6.5 : 30

Si un élève de 6.3 va en 6.2, on obtient une suite de nbs consécutifs (de 29 à 33).

Si la 6.5 et la 6.2 gagnent respectvement 5 et 2 élèves et la  6.3 et la 6.4 perdent respectvement 3 et 4 éléves, on arrive à des clases de
6.1 : 31
6.2 : 34
6.3 : 27
6.4 : 28
6.5 : 35

Posté par
totti1000
re : Joute n°43 : La rentrée 07-09-11 à 14:42

gagnéSalut godefroy,

Je propose :

Avant les changements :
- 6e1 : 29 élèves.
- 6e2 : 30 élèves.
- 6e3 : 33 élèves.
- 6e4 : 28 élèves.
- 6e5 : 30 élèves.

Et après les changements :
- 6e1 : 29 élèves.
- 6e2 : 34 élèves.
- 6e3 : 30 élèves.
- 6e4 : 32 élèves.
- 6e5 : 25 élèves.

Merci.

Posté par
ksad
re : Joute n°43 : La rentrée 07-09-11 à 15:05

gagnéBonjour
Voici ma proposition:
si les classes comptent initialement (31,30,27,32,30) élèves on respecte bien les conditions initiales.
En effet, en faisant passer un élève de 6°2 en 6°3 on obtiendrait des classes comptant 28,29,30,31 et 32 élèves (dans le désordre), et par ailleurs on a bien la coïncidence amusante:
31 est premier,
30 est multiple de 2,
27 est multiple de 3,
32 est multiple de 4,
30 est multiple de 5.

Passons alors au jeu des "transferts"... j'enlève 4 élèves de 6°2, 4 autres de 6°4, et j'en replace 3 en 6°3 et 5 en 6°5. Je respecte donc les multiplicités demandées.
Par ailleurs, j'ai maintenant des classes de (31,26,30,28,35) élèves, soit des effectifs tous différents et compris entre 25 et 35 élèves inclus.

Je ne suis pas sûr à 100% qu'elle soit unique, mais c'est la seule solution "tenable" que j'aie pu trouver.
avant: (31,30,27,32,30)
après: (31,26,30,28,35)

Merci pour l'énigme !

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°43 : La rentrée 07-09-11 à 15:45

perduDamned !!il y a 150 élèves ...C'était plus simple avec cette donnée. çà limitait les possibilités.
La solution est donc 29-30-33-28-30 (passage de 6.3à 6.5)
et après changement ....29-34-30-32-25.

Posté par
Tof
re : Joute n°43 : La rentrée 07-09-11 à 15:58

gagnéBonjour,

Première participation, j'espère que ça ira

Je propose :
Avant changement :
31 en 6/1
30 en 6/2
27 en 6/3
32 en 6/4
30 en 6/5

Après changement
31 en 6/1
26 en 6/2
30 en 6/3
28 en 6/4
35 en 6/5

Merci pour l'énigme !

Posté par
link224
re : Joute n°43 : La rentrée 07-09-11 à 16:18

gagnéSalut godefroy !

Avant les changements d'élèves, il y avait :
31 élèves en 6è1, 30 en 6è2, 27 en 6è3, 32 en 6è4, 30 en 6è5 (si un élève de 6è2 allait en 6è3, on aurait la suite 28-29-30-31-32.

Après les changements, il y a :
31 élèves en 6è1, 26 en 6è2, 30 en 6è3, 28 en 6è4, 35 en 6è5.

Heureusement que dans mon collège, les élèves ne sont pas aussi nombreux par classe...

A+ et merci pour l'énigme !

Posté par
Pierre_D
re : Joute n°43 : La rentrée 07-09-11 à 17:25

gagnéBonjour Godefroy, et merci

Les effectifs que j'indique sont dans l'ordre ceux des classes 6°1, 6°2, 6°3, 6°4, 6°5 .

"Avant changements" : une solution est :   29  30  33  28  30   (le changement hypothétique se faisant de la 6°3 à la 6°2, donnant : 29 31 32 28 30).

"Après changements" : une solution est :   29  34  30  32  25  , si l'on interprète l'énoncé comme signifiant que chaque classe sauf la 6°1 a vu son effectif modifié.
(en revanche si on interprétait l'énoncé comme signifiant que chaque classe sauf la 6°1 a vu au moins un élève la quitter et/ou la rejoindre , cela n'a pas forcément d'effet sur les effectifs, et la solution "avant" conviendrait aussi bien ...).

Posté par
frenicle
re : Joute n°43 : La rentrée 07-09-11 à 17:40

gagnéBonjour Godefroy,

Une solution possible (je crois qu'il y en a deux):

Avant

6°1 : 29
6°2 : 30
6°3 : 33
6°4 : 28
6°5 : 30
(Il suffit de déplacer un élève de la 3 à la 2 pour obtenir une suite de nombres consécutifs)

Après

6°1 : 29
6°2 : 34
6°3 : 30
6°4 : 32
6°5 : 25

Merci pour la joute

Posté par
evariste
re : Joute n°43 : La rentrée 07-09-11 à 17:50

gagnéavant :
classe 1 : 29
classe 2 ; 30
classe 3 : 33
classe 4 : 28
classe 5 : 30

après :
classe 1 : 29
classe 2 ; 34
classe 3 : 30
classe 4 : 32
classe 5 : 25

Posté par
dpi
re : Joute n°43 : La rentrée 07-09-11 à 17:50

gagnéBonjour

En essayant d'être logique je trouve

CLASSES INITIALES 6°1 29 6°2 30 6°3 33 6°4 28 6°5 30
CLASSES FINALES   6°1 29 6°34 6°3 30 6°4 32 6°5 25

Posté par
twilightsw
re : Joute n°43 : La rentrée 07-09-11 à 18:34

dure dure

Posté par
LeDino
re : Joute n°43 : La rentrée 07-09-11 à 19:12

gagnéBonjour,

Je propose la répartition suivante "avant" :
6°1 : 31
6°2 : 30
6°3 : 27
6°4 : 32
6°5 : 30

Et la répartition suivante "après" :
6°1 : 31
6°2 : 26
6°3 : 30
6°4 : 28
6°5 : 35

Explication :
La suite consécutive va de 28 à 32.
La répartition initiale compte donc des nombres de 27 à 33.
On en déduit la répartition initiale suivante :
6°1 : 29 ou 31 élèves.
6°2 : 28, 30, ou 32 élèves.
6°3 : 27, 30 ou 33 élèves.
6°4 : 28 ou 32 élèves.
6°5 : 30 élèves.

L'effectif final peut alors être :
6°1 : le même qu'au départ
6°2 : 26, 28, 30, 32 ou 34.
6°3 : 27, 30 ou 33.
6°4 : 28 ou 32.
6°5 : 25 ou 35.

En testant les deux cas possibles pour la 6°1, croisés avec les deux cas possibles pour la 6°5, la solution proposée apparait.

Posté par
caylus
re : Joute n°43 : La rentrée 07-09-11 à 19:14

gagnéBonjour Godefroy,

Voici les effectifs avant et après changements
pour les classes
|6°1|6°2|6°3|6°4|6°5| - |6°1|6°2|6°3|6°4|6°5|

| 31| 30| 27| 32| 30| - | 31| 26| 30| 28| 35|

ou encore...

| 31| 30| 27| 32| 30| - | 31| 28| 30| 36| 25|
| 31| 30| 27| 32| 30| - | 31| 32| 24| 28| 35|
| 31| 30| 27| 32| 30| - | 31| 34| 24| 36| 25|
| 31| 30| 27| 32| 30| - | 31| 34| 36| 24| 25|
======================================
| 29| 32| 27| 32| 30| - | 29| 26| 24| 36| 35|
| 29| 32| 27| 32| 30| - | 29| 26| 36| 24| 35|
| 29| 32| 27| 32| 30| - | 29| 34| 24| 28| 35|
======================================
| 31| 28| 33| 28| 30| - | 31| 26| 36| 32| 25|
| 31| 28| 33| 28| 30| - | 31| 34| 24| 36| 25|
| 31| 28| 33| 28| 30| - | 31| 34| 36| 24| 25|
======================================
| 29| 30| 33| 28| 30| - | 29| 26| 24| 36| 35|
| 29| 30| 33| 28| 30| - | 29| 26| 36| 24| 35|
| 29| 30| 33| 28| 30| - | 29| 28| 36| 32| 25|
| 29| 30| 33| 28| 30| - | 29| 32| 30| 24| 35|
| 29| 30| 33| 28| 30| - | 29| 34| 30| 32| 25|
======================================
Merci pour cette joute très originale.

Posté par
vivelile
re : Joute n°43 : La rentrée 07-09-11 à 19:37

gagnéBonjour Godefroy_lehardi
.
.

classe6ème36éme26ème56ème16ème4ensemble des classes de 6ème
effectifs de départ2730303132150
effectifs si 1 seul élève changeait de classe2829303132150
effectifs après changement3026353128150


Merci.

Posté par
geo3
re : Joute n°43 : La rentrée 07-09-11 à 20:17

perduBonjour
Au départ le nombre de la 1ère classe =A=29 ; celui de la 2ème classe  =B=32 :  celui de la 3ème classe =C=27 ; celui de la 4ème classe =D=32 ; celui de la 5ème classe  =E=30
Dans l'ordre (29 ,32 , 27 , 32 , 30)
Après changements
(B-4 ;C+3 ;D-4 ; E+5)
A=29 ; B=28 ; C=30 ; D= 28 ; E = 35 => dans l'ordre
( 29 , 28 , 30 , 28 ,  35)

A+

Posté par
castoriginal
Joute n°43 : La rentrée 07-09-11 à 20:25

gagnéBonsoir,

Personnellement, j'ai comme situation initiale 29,30,33,28,30
qui donne par permutation fictive    29,31(+1),32(-1),28,30
et comme situation finale 29,34,30,32,25

Bien à vous

Posté par
yoyodada
re : Joute n°43 : La rentrée 07-09-11 à 20:29

gagnéBonjour godefroy, je propose.

Au début:

6°1: 31
6°2: 28
6°3: 33
6°4: 28
6°5: 30

Les conditions de divisibilités sont vérifiées, et si on fait passer un élève de la 6°3 à la 6°4, on obtient la suite 28,29,30,31,32.

Après changements, on obtient:

6°1: 31: pas de mouvement
6°2: 26: 2 élèves vont en 6°5
6°3: 30: 3 élèves vont en 6°5
6°4: 28: 1 élève va en 6°5 et 1 élève provient de 6°5
6°5: 35: 1 élève part en 6°4 et 6 élèves proviennent des 6°2,3,4.

Les 5 quantités sont différentes et comprises entre 25 et 35, et les conditions de divisibilité sont vérifiées.

Sauf erreurs, cette solution convient !

Posté par
titeo
re : Joute n°43 : La rentrée 07-09-11 à 20:32

perduJe propose

Avant redistribution :
6°1 -> 29
6°2 -> 30
6°3 -> 33
6°4 -> 32
6°5 -> 30  

Ce qui donne la suite 28 29 30 31 32 si on fait passer un élève de la 3 dans la 5

Après redistribution :

6°1 -> 29
6°2 -> 34
6°3 -> 30
6°4 -> 32
6°5 -> 25

Merci et bonne soirée  

Posté par
caylus
re : Joute n°43 : La rentrée 07-09-11 à 20:48

gagnéCe va de soi qu'il faut enlever les solutions proposées avec 24 ou 36:
il n'en reste donc que 2:
| 31| 30| 27| 32| 30| - | 31| 26| 30| 28| 35|
| 29| 30| 33| 28| 30| - | 29| 34| 30| 32| 25|
Désolé pour cette erreur de programmation!

Posté par
manpower
re : Joute n°43 : La rentrée 07-09-11 à 20:51

gagnéBonsoir,

la situation de départ offre 4 cas:
29 30 33 28 30
29 32 27 32 30
31 28 33 28 30
31 30 27 32 30
En testant les 4 variations équilibrées +2 -3 -4 +5/-2 +3 +4 -5 et -4 +3 -4 +5/+4 -3 +4 -5
on s'aperçoit que les deux premières combinaisons mènent à des impasses, la troisième offre 1 cas à partir de 31 30 27 32 30 et la dernière un cas à partir de 29 30 33 28 30.

Il en résulte deux solutions:
29 30 33 28 30 qui donne (après changements) 29 34 30 32 25  (où dans la situation 1, 33 verse 1 élève vers 30 d'où 29 31 32 28 30)
31 30 27 32 30 qui donne (après changements) 31 26 30 28 35  (où dans la situation 1, 30 verse 1 élève vers 27 d'où 31 29 28 32 30)

Voilà. J'ai fait ça en 10 petites minutes (papier-crayon), alors ma recherche n'est peut-être pas exhaustive...

Merci godefroy_lehardi pour cette 43ème joute (j'en ai raté un paquet !)

Posté par
torio
re : Joute n°43 : La rentrée 07-09-11 à 21:03

gagnéA+
Torio

Joute n°43 : La rentrée

Posté par
plumemeteore
re : Joute n°43 : La rentrée 07-09-11 à 22:18

gagnéBonjour Godefroy.
Une solution :
La sixième 1 reste à 29 élèves.
La sixième 2 passe de 30 à 34 élèves.
La sixième 3 passe de 33 à 30 élèves.
La sixième 4 passe de 28 à 32 élèves.
La sixième 5 passe de 30 à 25 élèves.

Si le changement fictif avait eu lieu, un élève de sixième 3 aurait été transféré en sixième 2 ou en sixième 4.

Posté par
veleda
re : Joute n°43 : La rentrée 07-09-11 à 22:33

gagnébonsoir

voici les effectifs des classes de sixième
premier nombre :effectif initial
second nombre  :effectif après le supposé changement de classe d'un élève (un élève de6_3^{ième}passe en6_5^{ième})
troisième nombre:effectif final

6_1^{ième}:29,29,29
6_2^{ième}:30,30,34
6_3^{ième}:33,32,30
6_4^{ième}:28,28,32
6_5^{ième}:30,31,25

j'espère avoir bien compris
merci pour ce problème d'actualité(le précédent était aussi d'actualité mais je n'ai pas eu le courage de terminer les calculs)
  

Posté par
geo3
re : Joute n°43 : La rentrée 08-09-11 à 07:11

perduRebonjour
Je viens de constater que ma réponse précédente est mauvaise ( trop de précipitation): tant pis pour le
Une bonne solution serait
Avant
(31, 30, 27, 32, 30)
Après déplacements
(31, 26, 30, 28, 35
A+

Posté par
gloubi
re : Joute n°43 : La rentrée 08-09-11 à 11:07

gagnéBonjour godefroy lehardi,

En tâtonnant un peu on trouve, par exemple:

Effectifs à la rentrée:
6°1: 29 (premier)
6°2: 30 = 15*2
6°3: 33 = 11*3
6°4: 28 = 7*4
6°5: 30 = 6*5
Total: 150

Si on déplace un élève de la 6°3 vers la 6°2 (ou la 6°5), on a bien la suite de nombre consécutifs de 28 à 32.

Situation après la rentrée:
6°1: 29
6°2: 34
6°3: 30
6°4: 32
6°5: 25
Total: 150

A+  

Posté par
pepegeo
Joute43 solution 08-09-11 à 14:32

gagnéBonjour,

Conditions 25>=x>=35
6°1: premiers=27,29,31
6°2: multi2=26,28,30,32,34
6°3: multi3=27,30,33
6°4: multi4=28,32
6°5: multi5=25,30,35 mais 25 et 35 déplacent trop le centre de
gravité de la série qui ne pourrait pas atteindre 150 de somme)

Combinaisons=3x5x3x2x1=90
mais seules 15 remplissent la condition du total=150

manuellement on trouve:
Classe   carsi1bouge    Après
6°1: 31          31         31
6°2: 30          30         34 (+4 de 6°4)
6°3: 27     27+1=28         27 (1 echangé avec 6°5)
6°4: 32          32         28 (-4 vers 6°2)
6°5: 30     30-1=29         30 (1 echangé avec 6°3)

Posté par
farou
La rentrée 08-09-11 à 17:01

gagnéEffectifs des classes avant la rentrée :
6°1 : 31 élèves
6°2 : 30   "
6°3 : 27   "
6°4 : 32   "
6°5 : 30   "
En déplaçant un élève de 6°2 en 6°3 on obtient la suite : 28,29,30,31,32.

Après les changements de la rentrée :
6°1 : 31 élèves
6°2 : 26   "
6°3 : 30   "
6°4 : 28   "
6°5 : 35   "

Posté par
sanantonio312
re : Joute n°43 : La rentrée 08-09-11 à 19:43

gagnéBonsoir,
J'ai trouvé 4 solutions. Elles se ressemblent beaucoup.
En voilà une:
Avant les changements.
6°1: 31 élèves (premier)
6°2: 30 élèves (=2x15)
6°3: 27 élèves (=3x9)
6°4: 32 élèves (=4x8)
6°5: 30 élèves (=5x6)
Si on enlève 1 élève en 6°2 et qu'on l'ajoute en 6°3, on obtient : 28-29-30-31-32 (6°3-2-5-1-4)
Enfin, on ne touche pas a l'effectif de la 6°1, on fait -4 en 6°2 et en 6°4, +3 en 6°3 et +5 en 6°5.
Les effectifs deviennent:
6°1: 31 élèves (premier)
6°2: 26 élèves (=2x13)
6°3: 30 élèves (=3x10)
6°4: 28 élèves (=4x7)
6°5: 35 élèves (=5x7)

Posté par
Jun_Milan
re : Joute n°43 : La rentrée 08-09-11 à 21:30

gagnéBonjour godefroy_lehardi,

Avant les changements:
6°1 contient 29 élèves
6°2 contient 30 élèves
6°3 contient 33 élèves
6°4 contient 28 élèves
6°5 contient 30 élèves

Après les changements:
6°1 contient 29 élèves
6°2 contient 26 élèves
6°3 contient 33 élèves
6°4 contient 32 élèves
6°5 contient 30 élèves

Posté par
Pantagruel
re : Joute n°43 : La rentrée 10-09-11 à 13:40

perduBonjour tout le monde
Je propose ceci:
- Avant:       31   34   33   32   35 = 165
- Mouvements: + 4  - 1  - 1  - 1  - 1 =   0
- Après:       35   33   32   31   34 = 165

Posté par
gsoul
enigme 43 la rentree 10-09-11 à 15:08

gagnéBonjour,

ma réponse est que
avant les changements on avait

6e1    6e2    6e3    6e4    6e5
29     30     33     28     30

aprés les changements on a

6e1    6e2    6e3    6e4    6e5
29     26     33     32     30

Posté par
math-adore
re : Joute n°43 : La rentrée 11-09-11 à 16:08

perduSalut Godefroy.

Je propose:
avant les changements:
6°1: 29
6°2: 30
6°3: 33
6°4: 28
6°5: 30
et après les changements:
6°1: 31
6°2: 32
6°3: 30
6°4: 32
6°5: 25

Posté par
pdiophante
jouten n°43 11-09-11 à 20:51

gagné            avant après

classe 1      31   31
classe 2      30   26
classe 3      27   30
classe 4      32   28
classe 5      30   35

Posté par
Rumbafan
re : Joute n°43 : La rentrée 12-09-11 à 12:29

gagnéBonjour Godefroy,

Je propose :
6°1 6°2 6°3 6°4 6°5
29 30 33 28 30
29 34 30 32 25

Merci pour cette énigme

A+

Posté par
lo5707
re : Joute n°43 : La rentrée 20-09-11 à 20:34

gagnéBonjour,

voici une solution :

avant changements
1°)31
2°)30
3°)27
4°)32
5°)30

Après
1°)31
2°)26
3°)30
4°)28
5°)35

merci pour l'énigme

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°43 : La rentrée 28-09-11 à 10:49

Clôture de l'énigme :

Comme l'a souligné Pierre_D, la contrainte n'étant pas que les effectifs soient obligatoirement modifiés, on pouvait retrouver un effectif égal avant et après les changements dans une classe donnée. En revanche, une configuration identique au départ n'était pas possible.

Pour la présentation des réponses aux énigmes, je vous invite à lire mon post ici Prochaine énigme le jeudi 26 janvier entre 18h et 20h

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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Temps de réponse moyen : 32:32:11.
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