Bonjour à tous,
Aujourd'hui est un jour palindromique. En effet, la date 21 02 2012 s'écrit aussi bien à l'envers qu'à l'endroit (si on ne tient pas compte des espaces).
Mais les deux nombres 2012 et 2102 qui s'écrivent en miroir possèdent une autre caractéristique remarquable : leurs carrés s'écrivent aussi en miroir l'un de l'autre.
En effet, 2012² = 4048144 et 4418404 = 2102².
Question : Combien y a-t-il de paires différentes de nombres compris entre 10 et 100 000 qui possèdent la même propriété ?
Attention : la paire (a ; b) et la paire (b ; a) sont comptées comme une seule et même paire.
On ne compte pas les nombres qui se terminent par un zéro car leur nombre miroir commencerait alors par un zéro.
Une paire peut bien sûr contenir deux fois le même nombre.
Bonjour,
si excel ne m'a pas trahi je dénombre 80 paires :
16 paires de la forme (a;a): avec a=11,22,101,111,121,202,212,1001,1111,2002,10101,10201,11011,11111,11211,20102.
64 paires de la forme (a;b) (où a<b): avec a=12,13,102,103,112,113,122,1002,1003,1011,1012,1013,1021,1022,1031,1102,1103,1112,1113,1121,1122,1202,1212,2012,2022,...
Il y a donc 144 nombres distincts ayant cette propriétés (16+64*2).
Merci pour cette joute bien pensée pour aujourd'hui !
Bonjour,
Il y a en tout sauf erreur 84 paires répondant à l'énoncé.
C'est à dire 84 nombres dont le carré du reflet est le reflet du carré.
Parmi eux, 18 sont des nombres palyndromes, reflets d'eux mêmes.
Voici la liste de ces 84 nombres :
11, 12, 13, 22, 101, 102, 103, 111, 112, 113, 121, 122, 202, 212, 1001, 1002, 1003, 1011, 1012, 1013, 1021, 1022, 1031, 1102, 1103, 1111, 1112, 1113, 1121, 1122, 1202, 1212, 2002, 2012, 2022, 10001, 10002, 10003, 10011, 10012, 10013, 10021, 10022, 10031, 10101, 10102, 10103, 10111, 10112, 10113, 10121, 10122, 10201, 10202, 10211, 10212, 10221, 11002, 11003, 11011, 11012, 11013, 11021, 11022, 11031, 11102, 11103, 11111, 11112, 11113, 11121, 11122, 11202, 11211, 12002, 12012, 12102, 12202, 20002, 20012, 20022, 20102, 20112, 20122
Merci pour cette joute .
Bonjour
Il est évident qu'il faut aussi exclure les nombres symétriques
tels que 101 ...
Voici sauf erreur ou omission la liste des 128 nombres<10000
qui correspondent aux nombres miroirs
Il y a 84 paires différentes de nombres compris entre 10 et 100 000 qui possèdent la même propriété.
Plus précisément ce sont les paires ci-après. cpt est un compteur du nombre de solutions.
cpt=1 11 121 11 121
cpt=2 12 144 21 441
cpt=3 13 169 31 961
cpt=4 22 484 22 484
cpt=5 101 10201 101 10201
cpt=6 102 10404 201 40401
cpt=7 103 10609 301 90601
cpt=8 111 12321 111 12321
cpt=9 112 12544 211 44521
cpt=10 113 12769 311 96721
cpt=11 121 14641 121 14641
cpt=12 122 14884 221 48841
cpt=13 202 40804 202 40804
cpt=14 212 44944 212 44944
cpt=15 1001 1002001 1001 1002001
cpt=16 1002 1004004 2001 4004001
cpt=17 1003 1006009 3001 9006001
cpt=18 1011 1022121 1101 1212201
cpt=19 1012 1024144 2101 4414201
cpt=20 1013 1026169 3101 9616201
cpt=21 1021 1042441 1201 1442401
cpt=22 1022 1044484 2201 4844401
cpt=23 1031 1062961 1301 1692601
cpt=24 1102 1214404 2011 4044121
cpt=25 1103 1216609 3011 9066121
cpt=26 1111 1234321 1111 1234321
cpt=27 1112 1236544 2111 4456321
cpt=28 1113 1238769 3111 9678321
cpt=29 1121 1256641 1211 1466521
cpt=30 1122 1258884 2211 4888521
cpt=31 1202 1444804 2021 4084441
cpt=32 1212 1468944 2121 4498641
cpt=33 2002 4008004 2002 4008004
cpt=34 2012 4048144 2102 4418404
cpt=35 2022 4088484 2202 4848804
cpt=36 10001 100020001 10001 100020001
cpt=37 10002 100040004 20001 400040001
cpt=38 10003 100060009 30001 900060001
cpt=39 10011 100220121 11001 121022001
cpt=40 10012 100240144 21001 441042001
cpt=41 10013 100260169 31001 961062001
cpt=42 10021 100420441 12001 144024001
cpt=43 10022 100440484 22001 484044001
cpt=44 10031 100620961 13001 169026001
cpt=45 10101 102030201 10101 102030201
cpt=46 10102 102050404 20101 404050201
cpt=47 10103 102070609 30101 906070201
cpt=48 10111 102232321 11101 123232201
cpt=49 10112 102252544 21101 445252201
cpt=50 10113 102272769 31101 967272201
cpt=51 10121 102434641 12101 146434201
cpt=52 10122 102454884 22101 488454201
cpt=53 10201 104060401 10201 104060401
cpt=54 10202 104080804 20201 408080401
cpt=55 10211 104264521 11201 125462401
cpt=56 10212 104284944 21201 449482401
cpt=57 10221 104468841 12201 148864401
cpt=58 11002 121044004 20011 400440121
cpt=59 11003 121066009 30011 900660121
cpt=60 11011 121242121 11011 121242121
cpt=61 11012 121264144 21011 441462121
cpt=62 11013 121286169 31011 961682121
cpt=63 11021 121462441 12011 144264121
cpt=64 11022 121484484 22011 484484121
cpt=65 11031 121682961 13011 169286121
cpt=66 11102 123254404 20111 404452321
cpt=67 11103 123276609 30111 906672321
cpt=68 11111 123454321 11111 123454321
cpt=69 11112 123476544 21111 445674321
cpt=70 11113 123498769 31111 967894321
cpt=71 11121 123676641 12111 146676321
cpt=72 11122 123698884 22111 488896321
cpt=73 11202 125484804 20211 408484521
cpt=74 11211 125686521 11211 125686521
cpt=75 12002 144048004 20021 400840441
cpt=76 12012 144288144 21021 441882441
cpt=77 12102 146458404 20121 404854641
cpt=78 12202 148888804 20221 408888841
cpt=79 20002 400080004 20002 400080004
cpt=80 20012 400480144 21002 441084004
cpt=81 20022 400880484 22002 484088004
cpt=82 20102 404090404 20102 404090404
cpt=83 20112 404492544 21102 445294404
cpt=84 20122 404894884 22102 488498404
Complément de réponse
Ayant l'habitude des plantages pour mauvaise
interprétation ,je préfère donner la liste
incluant les symétriques qui par définition
ont le même carré .
Cette liste porte à 150 les nombres miroirs.
Bonjour Godefroy.
Il y a quatre-vingt quatre paires,
dont dix-huit paires doubles, donc cent cinquante nombres différents.
Bonjour,
Je trouve 131 paires.
Voici la liste des termes x1 des paires (x1;x2) cherchées:
10
11
12
13
20
22
30
100
101
102
103
111
112
113
120
121
122
130
200
202
212
300
1000
1001
1002
1003
1011
1012
1013
1020
1021
1022
1030
1031
1102
1103
1111
1112
1113
1120
1121
1122
1130
1200
1202
1212
1220
1300
2000
2002
2012
2022
3000
10000
10001
10002
10003
10011
10012
10013
10020
10021
10022
10030
10031
10101
10102
10103
10110
10111
10112
10113
10120
10121
10122
10130
10200
10201
10202
10210
10211
10212
10220
10221
10300
10310
11002
11003
11011
11012
11013
11020
11021
11022
11030
11031
11102
11103
11111
11112
11113
11120
11121
11122
11130
11200
11202
11210
11211
11220
11300
12000
12002
12012
12020
12102
12120
12200
12202
13000
20000
20002
20012
20022
20102
20112
20120
20122
20220
30000
100000
Merci pour cette énigme .
Voici maintenant la liste des 23 nombres que j'ai trouvé dont le miroir du cube est égal au cube du miroir :
10
11
20
70
100
101
111
200
700
1000
1001
1011
2000
7000
10000
10001
10011
10101
10110
11011
20000
70000
100000
La liste des 8 nombres que j'ai trouvé dont le miroir à la puissance 4 est égal à la puissance 4 du miroir:
10
11
100
101
1000
1001
10000
100000
La liste (sans grande surprise) des 5 nombres que j'ai trouvé dont le miroir à la puissance 5 est égal à la puissance 5 du miroir:
10
100
1000
10000
100000
Et apparemment la liste de ces nombres pour les puissances plus élevées se stabilise ici .
Dans l'espoir que je n'ai pas fait trop d'erreur.
Bonjour Godefroy,
Je te propose : 1155 "paires",
dont 1089 sont en fait constituées d'un seul nombre symétrique, et 66 constituées de nombres différents (comme 12 et 21)
Bonjour godefroy et merci pour cette énigme qui m'aura donné du fil à retordre
Je propose 84 paires.
Voici le programme (en Python) qui m'a permis de répondre. Il est encore très brouillon et peut être beaucoup plus simplifié, mais franchement j'ai la flemme Et tant qu'il donne la bonne réponse (en tout cas j'espère), ben voilà
Palindrome = NonPalindrome = 0
Compteur = 10
while Compteur < 100000:
Reste = Compteur %10
if Reste != 0:
nbrbase=Compteur
n1=nbrbase
n2=0
while n1>0:
Q=n1//10
R=n1-Q*10
n2=10*n2+R
n1=Q
nbrretourne=n2
nbrbase2=nbrbase*nbrbase
n1=nbrbase2
n2=0
while n1>0:
Q=n1//10
R=n1-Q*10
n2=10*n2+R
n1=Q
nbrretourne2=n2
nbrtest=nbrretourne*nbrretourne
if nbrtest==nbrretourne2:
if nbrbase==nbrretourne:
Palindrome+=1
else:
NonPalindrome+=1
Compteur+=1
NonPalindrome//=2
Resultat=Palindrome+NonPalindrome
print(Resultat)
En espérant ne pas m'être trompé,
ciao
Bonjour ,
j'en trouve 84:
11, 11
12, 21
13, 31
22, 22
101, 101
102, 201
103, 301
111, 111
112, 211
113, 311
121, 121
122, 221
202, 202
212, 212
1001, 1001
1002, 2001
1003, 3001
1011, 1101
1012, 2101
1013, 3101
1021, 1201
1022, 2201
1031, 1301
1102, 2011
1103, 3011
1111, 1111
1112, 2111
1113, 3111
1121, 1211
1122, 2211
1202, 2021
1212, 2121
2002, 2002
2012, 2102
2022, 2202
10001, 10001
10002, 20001
10003, 30001
10011, 11001
10012, 21001
10013, 31001
10021, 12001
10022, 22001
10031, 13001
10101, 10101
10102, 20101
10103, 30101
10111, 11101
10112, 21101
10113, 31101
10121, 12101
10122, 22101
10201, 10201
10202, 20201
10211, 11201
10212, 21201
10221, 12201
11002, 20011
11003, 30011
11011, 11011
11012, 21011
11013, 31011
11021, 12011
11022, 22011
11031, 13011
11102, 20111
11103, 30111
11111, 11111
11112, 21111
11113, 31111
11121, 12111
11122, 22111
11202, 20211
11211, 11211
12002, 20021
12012, 21021
12102, 20121
12202, 20221
20002, 20002
20012, 21002
20022, 22002
20102, 20102
20112, 21102
20122, 22102
ma méthode:
Pour détailler un peu plus, voici comment j'ai procédé :
D'abord j'ai fais un programme me donnant le nombre de paires de nombres sans aucune restriction. J'en obtiens 249.
Première restriction : je fais en sorte que toutes les paires se terminant par 0 soient supprimées. J'obtiens alors 150 paires.
Deuxième restriction, plus embêtante : je dois faire en sorte que les paires identiques (de la forme (a;b)(b;a)) comptent comme une seule paire. Pour cela, j'ai eu une idée : parmi les 150 paires, il y a les palindromes (qui forment chacune forcément une unique paire) et les "non palindromes" qui ont forcément une paire identique. J'ai donc d'abord isolé les palindromes (il y en a 18) et les non palindromes (il y en a 132). Ensuite j'ai divisé le nombre de non palindromes par 2 afin de respecter la restriction : ça donne 66. Et finalement j'aditionne les non palindromes et les palindromes ce qui donne au final 18+66 = 84 paires.
Voilà
Pardon de vous déranger encore une fois
J'ai simplifié mon programme du mieux que j'ai pu et j'ai tout de même réussi à économiser 8 lignes (il fait seulement 25 lignes à présent). La forme générale reste cependant identique. Voilà ce que ça donne maintenant :
compteurPalindromes = compteurAutres = 0
nbr1 = 10
while nbr1 < 100000:
reste = nbr1 % 10
if reste != 0:
nbra = nbr1
nbr2 = 0
while nbra > 0:
nbr2 = 10 * nbr2 + nbra - nbra // 10 * 10
nbra //= 10
nbr3 = nbr1 * nbr1
nbr4 = nbr2 * nbr2
nbra2 = nbr3
nbr4_2 = 0
while nbra2 > 0:
nbr4_2 = 10 * nbr4_2 + nbra2 - nbra2//10 * 10
nbra2 //= 10
if nbr4 == nbr4_2:
if nbr1 == nbr2:
compteurPalindromes += 1
else:
compteurAutres +=1
nbr1 += 1
resultat = compteurPalindromes + compteurAutres // 2
print(resultat)
Bien à vous
Bonjour tout le monde
- Je propose 84 paires dont:
- 4 paires entre 11 et 99
- 10 101 999
- 21 1001 9999
- 49 10001 99999
ma réponse est 84
programme scilab pour ceux que ça interesse :
tic()
S=0;
for A=10:10^5
if modulo(A,10)<>0 then
B=renverse(A)
if A^2==renverse(B^2) then
S=S+1
d(S)=A
end
end
end
t=taille(d)
for C=1:t
for D=(C+1):t
if d(C)==renverse(d(D)) then
S=S-1
end
end
end
disp(S)
disp(toc())
bonjour
je trouve 84 paires distinctes répondant aux critères énoncés.
sauf fourvoiement, la plus petite est (11,11) et la plus grande (20122,22102)
merci pour la joute !
84 paires (66 duos + 18 doubles)
Merci
Les poseurs d'énigmes sont comme des chefs en cuisine, ils fabriquent des plats qui seront engloutis rapidement par les convives .
Bonjour,
il y a 84 tels couples différents.
Bravo pour avoir remarqué cette propriété et en avoir imaginé cette question vraiment étonnante !
Et quand on commence la recherche, 11 saute évidemment aux yeux, mais quelle surprise de constater que 11, 12 et 13 sont solution !
Cordialement.
Bonjour,
voici ma réponse :
Il y a 84 paires différentes de nombres compris entre 10 et 100 000 qui possèdent cette propriété.
Merci!
Clôture de l'énigme :
Et dire que mon programme a vraiment fonctionné, franchement j'avais du mal à y croire
Je suis vraiment très content, par contre si ça c'est une énigme à seulement 2 étoiles, vu la complexité de celle-là, j'imagine même pas ce que ça donne pour 3 étoiles ou 4...
Je constate avec "effroi" que je suis en tête du classement provisoire de février ...
Etant parti au ski sans possibilité de connexion,
j'ai répondu avec un retard d'une semaine à la dernière énigme (club 228).
Je n'imaginais pas que j'aurais ainsi à le regretter...
C'est bien la première fois que je perds une "étoile" au ski...
Je crois bien que c'est totti1000, sauvé in extremis de son
"alignement tardif" sur l'impossibilité des quatre points non alignés...
qui sauf improbable erreur finale, tirera les marrons des derniers feux de l'hiver...
Nous serons fixés sous peu...
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