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Joute n°84 : Une course sans premier

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
02-09-12 à 13:13

Bonjour à tous,

Pour une fois, on ne va pas parler de nombres premiers.
C'est vrai, quoi ! Il n'y en a toujours que pour eux !

Nous allons assister à une course où chaque concurrent a un dossard portant un nombre non premier allant de 4 jusqu'à 51. Cela fait donc 35 coureurs.
La course se déroule sur une piste fermée et, à l'issue du premier tour, les coureurs sont placés selon l'ordre croissant de leur dossard.

Ensuite, pendant chaque tour, des duels se forment et on y voit parfois un coureur dépasser l'autre selon des critères bien précis.
Le coureur portant le dossard A ne peut dépasser le coureur portant le dossard B que si les deux conditions suivantes sont réunies :
- les nombres A et B ne sont pas premiers entre eux,
- le nombre de diviseurs de A est strictement supérieur au nombre de diviseurs de B.

Les duels se déroulent comme ceci :
Au cours du 2ème tour, le dernier et l'avant-dernier coureur se livrent un duel acharné au cours duquel les critères ci-dessus vont déterminer lequel des deux sera devant l'autre à la fin du tour.
Il en est de même pour les 2 coureurs devant eux, et ainsi de suite jusqu'au second et troisième coureurs. Le coureur de tête est dispensé de duel.
Au cours du 3ème tour, c'est l'avant-dernier et l'antépénultième qui se livrent un duel homérique, alors que le dernier reste à sa place. De même, le 31ème et le 32ème coureur se mesurent l'un à l'autre, et ainsi de suite jusqu'au coureur de tête et son second.
Pour les tours suivants, on recommence suivant les mêmes dispositions. Le coureur de tête est dispensé de duel pendant les tours pairs, alors que le dernier est dispensé de duel pendant les tours impairs.

Questions : Combien de tours au moins les concurrents auront-ils parcouru depuis le début de la course avant que le classement général n'évolue plus et quels seront (dans l'ordre) les numéros des 3 premiers coureurs ?
Si vous pensez que le classement ne se stabilise jamais, précisez-le.

Joute n°84 : Une course sans premier

Posté par
RickyDadj
re : Joute n°84 : Une course sans premier 02-09-12 à 14:05

gagnéSalut, godefroy!
Cette fois, tous n'est pas encore là, donc...
Je propose 18 tours, nombre après lequel le classement n'évolue(ra) plus. Quant aux trois premiers, ils sont, dans cet ordre, 24, 30 et 12.
Joli énigme, merci beaucoup!
PS: Dommage pour 48, qui était le plus "fort" de tous les concurrents; dommage qu'il soit premier avec 35.

Posté par
totti1000
re : Joute n°84 : Une course sans premier 02-09-12 à 14:26

gagnéSalut Godefroy,

A partir du 19ème tour, le classement général n'évolue plus, et on a dans l'ordre sur le podium : 24, 30 et 12

Merci pour l'énigme.

Posté par
rschoon
re : Joute n°84 : Une course sans premier 02-09-12 à 14:35

gagnéBonjour à tous.

Ma réponse: 18 tours. Ordre d'arrivée : 24, 30, 12

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°84 : Une course sans premier 02-09-12 à 15:04

gagnéLe classement à la fin du 18ème tour  n'est pas modifié par la suite...
Les 3 premiers sont les n° 24, 30 et 12 dans cet ordre...

24    30    12    18     6     8     4     9    20    10    14    15    16    21    22    25    26    27    28    32    33    34    35    48    36    38    39    40    42    44    45    46    49    50    51

Posté par
masab
re : Joute n°84 : Une course sans premier 02-09-12 à 15:29

gagnéBonjour,


Après le 18 ième tour le classement n'évolue plus.
1er joueur : brassard 24
2ème joueur : brassard 30
3ème joueur : brassard 12
Classement en entier :
[24, 30, 12, 18, 6, 8, 4, 9, 20, 10, 14, 15, 16, 21, 22, 25, 26, 27, 28, 32, 33, 34, 35, 48, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 49, 50, 51]

Merci pour cette énigme !

Posté par
sanantonio312
re : Joute n°84 : Une course sans premier 02-09-12 à 18:49

perduBonjour,
Je me lance.
Comme d'habitude, j'ai fait une moulinette en basic.
Pour une fois, elle me donne un résultat cohérent dès le premier coup: Rien ne se passe au 19° tour.
Alors je tente la réponse qui correspond: Les concurents auront parcouru 18 tours avant que ça n'évolue plus.

Merci pour la joute.

Posté par
plumemeteore
re : Joute n°84 : Une course sans premier 02-09-12 à 20:46

perduBonjour Godefroy.
Les trois premiers portent les dossards numéros 24, 30 et 12.
À l'exception de 30, tous les nombres supérieurs à 25 s'arrêtent derrière lui ou plus loin, soit parce qu'ils sont premiers avec lui, soit, dans le cas des nombres divisibles par 5, parce qu'ils sont premiers avec le nombre non premier qui les précèdent.
25 est lui même arrêté par beaucoup de nombres inférieurs à lui.
Il reste comme candidats les numéros inférieurs à 24 ainsi que 30.
Parmi eux, 24 et 30 ont le plus de diviseurs (huit) et ne sont jamais arrêtés. Ils se placent donc dans cet ordre.
Le plus numéro qui a le score suivant (six) en diviseurs est 12; il obtient donc la troisième place.

Posté par
Tiwaz
re : Joute n°84 : Une course sans premier 03-09-12 à 02:54

gagnéBonjour!

18 tours et les trois premiers sont dans l'ordre 24, 30, 12

Posté par
fontaine6140
re : Joute n°84 : Une course sans premier 03-09-12 à 12:11

gagnéBonjour,
Nb tours : 18
tiercé   : 24,30,12
Quarté   : 24,30,12,18
Merci

Posté par
torio
re : Joute n°84 : Une course sans premier 03-09-12 à 13:11

gagné18 tours . Le 19ème donne le même classement que le 18ème.

Classement :
1er   : 24
2eme : 30
3eme : 12


A+
Torio

Joute n°84 : Une course sans premier

Posté par
salmoth
re : Joute n°84 : Une course sans premier 03-09-12 à 14:24

gagnébonjour,

voila ma reponse

les concurrents ont besoin de 18 tours  (une fois ce tour terminé, le classement n'evolue plus)
et voici le classement des 3 premiers a la fin du 18 tour:
1er : dossard "24"
2eme: dossard "30"
3eme: dossard "12"

merci poutr l'enigme

Posté par
ksad
re : Joute n°84 : Une course sans premier 03-09-12 à 15:43

gagnéBonjour

Si j'ai bien compris l'énoncé:
Je trouve des changements dans le classement jusqu'au 18ème tour inclus, et une stabilisation au 19ème.
Lors du deuxième tour, le seul duel "permutant" oppose 28 et 30.
Au cours du troisième tour, six duels "permutent": (4,6), (10,12), (16,18), (22,24), (27,30) et (46,48).
Et ainsi de suite...
A l'issue du 18ème tour, la dernière permutation échange (18,30) en deuxième et troisième positions.
Ensuite, à partir du 19ème tour, les positions restent figées.

Le podium final devient: (24,30,12)
J'espère, cette fois, avoir pris suffisamment de temps et de soin pour répondre à la question. Parce que j'ai ma dose de poissons pour cette année
Merci pour la joute !

Posté par
Kidam
re : Joute n°84 : Une course sans premier 03-09-12 à 18:11

gagnéBonjour,

J'étais parti pour faire une résolution très brute de l'énigme mais je me suis rendu compte que la réflexion permettait de s'en sortir.

Il devient rapidement évident que les nombres avec le plus grand nombre de diviseur vont monter le plus haut dans l'hypothèse où ils ne se retrouvent pas bloqués par un nombre avec lequel ils sont premiers.
48 possède 10 diviseurs, mais il est gêné par 35 (qui ne possède que 4 diviseur et qui donc ne risque pas de monter beaucoup).
Vient ensuite 36 avec 9 diviseurs, mais il est également bloqué par 35.

Il y a ensuite 24, 30, 40 et 42 avec 8 diviseurs. 40 et 42 se font barrer la route par le 39.

24 va remonter petit à petit tous ses concurrents pour se placer en tête au 15ème tour (il n'y a que 13 nombre au dessus de lui, mais il perd un tour tout au début car il fait son duel avec celui qui est sous lui).
30 de même. Seul le 24 l'empêchera de l'emporter (second au 18ème tour).

Il n'y a pas de nombre à 7 diviseurs. Le mieux placé ensuite est alors le 12 qui en possède 6.

Voici un tableau qui illustre les différents tours :
Joute n°84 : Une course sans premier
Ma réponse est donc :
Les places sont figées à partir du 18ème tour.
Les trois premiers dans l'ordre sont (de 1 à 3) : 24, 30, 12.

Posté par
dpi
re : Joute n°84 : Une course sans premier 03-09-12 à 18:13

gagnéBonjour

Si j'ai tout bien compris,les changements
se font jusqu'au 18 ème tour et le classemnt
est 24 30 12 donc le 19 ème reste identique

Posté par
Chatof
re : Joute n°84 : Une course sans premier 03-09-12 à 18:24

gagné18 tours Classement : 24,30,12

24,30,12,18,6,8,4,9,20,10,14,15,16,21,22,25,26,27,28,32,33,34,35,48,36,38,39,40,42,44,45,46,49,50,51

Bonjour,
Et merci Godefroy_Lehardi pour cette sympathique énigme.

Posté par
geo3
re : Joute n°84 : Une course sans premier 03-09-12 à 21:12

gagnéBonjour
Si on admet que le coureur portant le dossard le n°4 est le premier et celui portant le dossard le n°51 est le dernier et non le contraire alors je dirais qu'il faut 18 tours pour que le classement ne change plus et alors les 3 premiers  sont  24, 30, 12
A+

Posté par
scarface01
re : Joute n°84 : Une course sans premier 03-09-12 à 22:02

gagnéBonjour.
Ma réponse: 18 tours. Les trois premiers: le dossard 24, suivi du 30, puis du 12.

Posté par
brubru777
re : Joute n°84 : Une course sans premier 05-09-12 à 17:53

perduBonjour,

Je trouve que le classement se stabilise à la fin du 10ème tour.

Tiercé gagnant : 51 50 49

Merci pour l'énigme.

Posté par
omar6995
Réponse 05-09-12 à 22:51

perduIl faut au moins 31 tours avant que le classement général ne se stabilise

1er : 51
2eme : 50
3eme : 49

Posté par
sbarre
re : Joute n°84 : Une course sans premier 06-09-12 à 12:40

perduBonjour,
pour moi c'est a la fin du 20ieme tour que le dossard 30 prend la tete (apres une progression d'une remarquable regularite) devancant le 6 et le 4 qui monte sur la derniere marche du podium.
A noter la tres bonne course du 42 jusqu'a la mi-course (13 tours exactement) et qui a malheureusement du arreter sa progression en l'absence de diviseur commun avec le 25.

Bonne rentree!

Posté par
franz
re : Joute n°84 : Une course sans premier 07-09-12 à 14:38

perduAprès 17 tours le classement n'évolue plus et les trois premiers sont dans l'ordre le concurrents portant les dossards 24,30 et 12.
NB : le concurrent 48 qu a le plus de diviseurs est bouchonné par le concurrent 35 avec lequel il est premier

Posté par
rogerd
course sans premier 08-09-12 à 11:38

gagnéBonjour à tous et merci à godefroy pour ce casse-tête.
Je trouve que:

A la fin du 18 ème tour, les positions sont acquises.
Les 3 premiers coureurs sont le 24, le 30 et le 12.

Le classement complet:
24,30,12,18,6,8,4,9,20,10,14,15,16,21,22,25,26,27,28,32,33,34,35,48,
36,38,39,40,42,44,45,46,49,50,51

Avec un léger doute sur le "placé suivant l'ordre croissant de leurs dossards"

Posté par
panda_adnap
re : Joute n°84 : Une course sans premier 10-09-12 à 19:51

gagnéSalut

Les derniers dépassements auront lieu au 18e tour, à la fin du 18e tour les 3 premiers coureurs seront 24 30 12

fin tour 1 : 4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 20 21 22 24 25 26 27 28 30 32 33 34 35 36 38 39 40 42 44 45 46 48 49 50 51
30 depasse 28
fin tour 2 : 4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 20 21 22 24 25 26 27 30 28 32 33 34 35 36 38 39 40 42 44 45 46 48 49 50 51
48 depasse 46
30 depasse 27
24 depasse 22
18 depasse 16
12 depasse 10
6 depasse 4
fin tour 3 : 6 4 8 9 12 10 14 15 18 16 20 21 24 22 25 26 30 27 28 32 33 34 35 36 38 39 40 42 44 45 48 46 49 50 51
48 depasse 45
30 depasse 26
24 depasse 21
20 depasse 16
18 depasse 15
12 depasse 9
8 depasse 4
fin tour 4 : 6 8 4 12 9 10 14 18 15 20 16 24 21 22 25 30 26 27 28 32 33 34 35 36 38 39 40 42 44 48 45 46 49 50 51
48 depasse 44
30 depasse 25
24 depasse 16
20 depasse 15
18 depasse 14
12 depasse 4
fin tour 5 : 6 8 12 4 9 10 18 14 20 15 24 16 21 22 30 25 26 27 28 32 33 34 35 36 38 39 40 42 48 44 45 46 49 50 51
48 depasse 42
30 depasse 22
24 depasse 15
20 depasse 14
18 depasse 10
12 depasse 8
fin tour 6 : 6 12 8 4 9 18 10 20 14 24 15 16 21 30 22 25 26 27 28 32 33 34 35 36 38 39 40 48 42 44 45 46 49 50 51
48 depasse 40
30 depasse 21
24 depasse 14
20 depasse 10
18 depasse 9
12 depasse 6
fin tour 7 : 12 6 8 4 18 9 20 10 24 14 15 16 30 21 22 25 26 27 28 32 33 34 35 36 38 39 48 40 42 44 45 46 49 50 51
48 depasse 39
30 depasse 16
24 depasse 10
18 depasse 4
fin tour 8 : 12 6 8 18 4 9 20 24 10 14 15 30 16 21 22 25 26 27 28 32 33 34 35 36 38 48 39 40 42 44 45 46 49 50 51
48 depasse 38
30 depasse 15
24 depasse 20
18 depasse 8
fin tour 9 : 12 6 18 8 4 9 24 20 10 14 30 15 16 21 22 25 26 27 28 32 33 34 35 36 48 38 39 40 42 44 45 46 49 50 51
48 depasse 36
30 depasse 14
24 depasse 9
18 depasse 6
fin tour 10 : 12 18 6 8 4 24 9 20 10 30 14 15 16 21 22 25 26 27 28 32 33 34 35 48 36 38 39 40 42 44 45 46 49 50 51
30 depasse 10
24 depasse 4
fin tour 11 : 12 18 6 8 24 4 9 20 30 10 14 15 16 21 22 25 26 27 28 32 33 34 35 48 36 38 39 40 42 44 45 46 49 50 51
30 depasse 20
24 depasse 8
fin tour 12 : 12 18 6 24 8 4 9 30 20 10 14 15 16 21 22 25 26 27 28 32 33 34 35 48 36 38 39 40 42 44 45 46 49 50 51
30 depasse 9
24 depasse 6
fin tour 13 : 12 18 24 6 8 4 30 9 20 10 14 15 16 21 22 25 26 27 28 32 33 34 35 48 36 38 39 40 42 44 45 46 49 50 51
30 depasse 4
24 depasse 18
fin tour 14 : 12 24 18 6 8 30 4 9 20 10 14 15 16 21 22 25 26 27 28 32 33 34 35 48 36 38 39 40 42 44 45 46 49 50 51
30 depasse 8
24 depasse 12
fin tour 15 : 24 12 18 6 30 8 4 9 20 10 14 15 16 21 22 25 26 27 28 32 33 34 35 48 36 38 39 40 42 44 45 46 49 50 51
30 depasse 6
fin tour 16 : 24 12 18 30 6 8 4 9 20 10 14 15 16 21 22 25 26 27 28 32 33 34 35 48 36 38 39 40 42 44 45 46 49 50 51
30 depasse 18
fin tour 17 : 24 12 30 18 6 8 4 9 20 10 14 15 16 21 22 25 26 27 28 32 33 34 35 48 36 38 39 40 42 44 45 46 49 50 51
30 depasse 12
fin tour 18 : 24 30 12 18 6 8 4 9 20 10 14 15 16 21 22 25 26 27 28 32 33 34 35 48 36 38 39 40 42 44 45 46 49 50 51

Posté par
jonjon71
re : Joute n°84 : Une course sans premier 16-09-12 à 17:46

gagnéBonjour,

Voici ma réponse :

Le classement général n'évolue plus après le 18e tour (les 17e et 18etours sont différents, les 18e et 19e tours sont identiques). Le classement des trois premiers coureurs est 24 - 30 - 12.

Merci!

Posté par
Benwat
re : Joute n°84 : Une course sans premier 17-09-12 à 01:38

perduJ'avoues avoir un doute sur la question, il est 1h24 du mat', et j'ai un peu la tête dans le pâté, mais bon...

Ma réponse est : Le(s) dernier(s) changement(s) dans le classement s'effectue(ent) durant le 10ème tour. A l'issu de ce 10ème tour, le podium est constitué des dossards 6 (3ème), 18 (2nd) et 12 (1er).

Voilà.

L'énigme était sympa, mais sans plus. Je commence à devenir difficile.  
En tout cas, vos distractions intellectuelles sont toujours un plaisir. Merci.

Posté par
lo5707
re : Joute n°84 : Une course sans premier 17-09-12 à 10:44

gagnéBonjour,

à l'issue du 19ème tour, le classement n'évolue plus, il sera le même qu'au 18ème.

le tiercé gagnant sera : 24 - 30 - 12

Joute n°84 : Une course sans premier

merci pour l'énigme

Posté par
Pierre_D
re : Joute n°84 : Une course sans premier 19-09-12 à 00:21

perduBonjour Godefroy,

Le dernier tour à voir des changements dans le classement est le  33ème tour ; à l'issue de ce tour, et pour toujours, les trois premiers coureurs portent les dossards  48 (pour le premier) , 36 , 24

Peut-on trouver la solution autrement qu'en déroulant exhaustivement toute la procédure, à la main ou de préférence par un programme ?

Posté par
jugo
re : Joute n°84 : Une course sans premier 21-09-12 à 12:58

perduBonjour,

Je dirais :
- 10 tours avant que le classement n'évolue plus
- les trois premiers : 8, 12, 4

Joute n°84 : Une course sans premier

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°84 : Une course sans premier 23-09-12 à 20:06

Clôture de l'énigme :

Quelques chutes sans gravité !

Posté par
sanantonio312
re : Joute n°84 : Une course sans premier 24-09-12 à 08:42

perduUn jour, peut-être, je lirai la question jusqu'au bout...

Posté par
Benwat
re : Joute n°84 : Une course sans premier 24-09-12 à 21:10

perduVoilà, une erreur !
Parfait, je vais prendre quelques vacances.
Au mois prochain !

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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