Bonjour

Pour que cela soit vrai, il faut que le plan déterminé par le cercle passant par M soit orthogonal à la droite (OI) ce qui dépend de la façon dont sont disposés les cercles.

Ce n'est pas toujours le cas ?

Si tu crois que c'est toujours le cas, à toi de le démontrer.

Tu n'es pas d'accord ?

on coupe la sphère par un plan
on montre que l'intersection est un cercle, dont le centre est le projeté du centre de la sphère sur le plan
et tu as ton angle droit

Une autre démonstration

Soit M' le point du petit cercle diamétralement opposé à M
On a donc IM = IM'
M' est bien un point de la boule puisque le petit cercle est dessiné sur la boule
Donc OM  = OM'

Donc (OI) est la médiatrice du segment [MM']
Donc (OI) perpendiculaire à (IM)

Okay, je comprends.
Du coup, dans la démonstration de l'exercice , que me suggérez-vous d'écrire pour justifier que le triangle OIM est rectangle en I ?

Tu prends celle que tu veux.

Pourquoi le projeté orthogonal de O sur P (à savoir H) est le centre du cercle formé par la section ?

je vois que tu n'as pas lu la démonstration du fichier....

Si Malou, je me suis appuyé dessus pour poser ma question...
Je fais référence au 2. Propriété.
Je comprends le fait d'utiliser Pythagore puisque (OH) est perpendiculaire à (P).
Je ne comprends pas pourquoi on est sûr que le point H est aussi le centre du cercle.

HM=r=constante d'après le calcul
donc H est le centre du cercle de rayon r
non ?

Reprenons la situation si tu le veux bien.
On a une sphère de centre que je nomme O.
Un plan (P) coupe cette sphère : la section est un cercle, de centre que je nomme H.
A partir de là, pourquoi le projeté de O sur P serait exactement le point H ?
Autrement dit, pourquoi la droite (d), perpendiculaire à (P) passant par O, couperait-elle ce plan exactement au point H ?

Bonjour,
Cela a déjà été écrit d'une autre manière par cocolaricotte :
Soit A et B deux points diamétralement opposés sur le cercle ; ils sont aussi sur la sphère. Le triangle OAB est donc isocèle en H .

J'ai été voir, 2. Propriété . Il y est écrit :
Si H est le pied de la perpendiculaire menée de O au plan (P) et OH < R
alors
la section de (S) et (P) est un cercle de centre H .

Je suis d'accord Sylvieg, mais la démonstration qui suit, dans le document, n'explique pas pourquoi il s'agit du cercle de centre H.
Il démontre seulement que  le rayon de ce cercle est r = rac(R² - OH²).

r=HM (cf leur dessin)

Dans la démonstration, il est démontré HM² = OM² - OH².
D'où HM = (R²-OH²) .
Ce qui signifie que M est sur le cercle de centre H et de rayon (R²-OH²) .

Là, j'en viens à penser qu'une petite réciproque ne serait peut-être pas complétement superflue

Une chose est certaine : L'intersection sphère plan qui est un cercle est une propriété qui ne peut pas être considérée comme connue sans ce fameux angle droit.

Dans ce cas, comment résolvez-vous l'exercice initial (sans détailler Pythagore mais juste en termes de rédaction) ?

Bonsoir.
Une rédaction possible.
O désigne le centre de la boule, r son rayon et le cercle (C) est un des quatre cercles de rayon d=24mm.

Soit M un point de (C) et M' le point le point diamétralement opposé à M.
Par définition, le centre H de (C) est le milieu de MM'.

Considérons le triangle OMM'.
Comme M et M' sont sur la sphère de centre O et de rayon r on a OM=OM'=r.
Le triangle OMM' est donc isocèle en O et la hauteur issue de O dans ce triangle est aussi la médiane issue de O.
Les droites OH et MM' sont donc perpendiculaires.
Etc.

Bravo verdurin de t'être lancé !
Je propose une petite inversion vers la fin car, H étant milieu de [MM'], ce qui est connu c'est OH médiane, ce que l'on démontre c'est OH hauteur :

Le triangle OMM' est donc isocèle en O et la médiane issue de O dans ce triangle est aussi la hauteur issue de O.