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Justification triangle rectangle

Posté par
Matheuux
31-08-17 à 11:58

Bonjour à tous,

Voici un exercice :
Une boule de pétanque de diamètre 74 mm  est décorée par quatre cercles de rayon  24 mm.
Détermine, par le calcul, la distance, arrondie au mm,  du centre d'un de ces cercles au centre de la boule.

Il se résout avec Pythagore et on trouve environ 28 mm.
Ce qui m'intéresse ici, c'est la rédaction à entreprendre.
O : centre de la boule, I centre d'un cercle, M un point de ce cercle.
Comment justifiez-vous précisément que le triangle IOM est rectangle en I ?

Posté par
cocolaricotte
re : Justification triangle rectangle 31-08-17 à 12:23

Bonjour

Pour que cela soit vrai, il faut que le plan déterminé par le cercle passant par M soit orthogonal à la droite (OI) ce qui dépend de la façon dont sont disposés les cercles.

Posté par
Matheuux
re : Justification triangle rectangle 31-08-17 à 12:25

Ce n'est pas toujours le cas ?

Posté par
cocolaricotte
re : Justification triangle rectangle 31-08-17 à 12:31

Si tu crois que c'est toujours le cas, à toi de le démontrer.

Posté par
Matheuux
re : Justification triangle rectangle 31-08-17 à 12:46

Tu n'es pas d'accord ?

Posté par
malou Webmaster
re : Justification triangle rectangle 31-08-17 à 13:56

on coupe la sphère par un plan
on montre que l'intersection est un cercle, dont le centre est le projeté du centre de la sphère sur le plan
et tu as ton angle droit

Posté par
cocolaricotte
re : Justification triangle rectangle 31-08-17 à 14:37

Une autre démonstration

Soit M' le point du petit cercle diamétralement opposé à M
On a donc IM = IM'
M' est bien un point de la boule puisque le petit cercle est dessiné sur la boule
Donc OM  = OM'

Donc (OI) est la médiatrice du segment [MM']
Donc (OI) perpendiculaire à (IM)

Posté par
Matheuux
re : Justification triangle rectangle 31-08-17 à 14:40

Okay, je comprends.
Du coup, dans la démonstration de l'exercice , que me suggérez-vous d'écrire pour justifier que le triangle OIM est rectangle en I ?

Posté par
cocolaricotte
re : Justification triangle rectangle 31-08-17 à 14:42

Tu prends celle que tu veux.

Posté par
Matheuux
re : Justification triangle rectangle 31-08-17 à 14:48

Pourquoi le projeté orthogonal de O sur P (à savoir H) est le centre du cercle formé par la section ?

Posté par
malou Webmaster
re : Justification triangle rectangle 31-08-17 à 14:54

je vois que tu n'as pas lu la démonstration du fichier....

Posté par
Matheuux
re : Justification triangle rectangle 31-08-17 à 15:05

Si Malou, je me suis appuyé dessus pour poser ma question...
Je fais référence au 2. Propriété.
Je comprends le fait d'utiliser Pythagore puisque (OH) est perpendiculaire à (P).
Je ne comprends pas pourquoi on est sûr que le point H est aussi le centre du cercle.

Posté par
malou Webmaster
re : Justification triangle rectangle 31-08-17 à 15:10

HM=r=constante d'après le calcul
donc H est le centre du cercle de rayon r
non ?

Posté par
Matheuux
re : Justification triangle rectangle 31-08-17 à 15:26

Reprenons la situation si tu le veux bien.
On a une sphère de centre que je nomme O.
Un plan (P) coupe cette sphère : la section est un cercle, de centre que je nomme H.
A partir de là, pourquoi le projeté de O sur P serait exactement le point H ?
Autrement dit, pourquoi la droite (d), perpendiculaire à (P) passant par O, couperait-elle ce plan exactement au point H ?

Posté par
Sylvieg
re : Justification triangle rectangle 31-08-17 à 15:59

Bonjour,
Cela a déjà été écrit d'une autre manière par cocolaricotte :
Soit  A et B deux points diamétralement opposés sur le cercle ; ils sont aussi sur la sphère. Le triangle  OAB  est donc isocèle en  H .  

Posté par
Sylvieg
re : Justification triangle rectangle 31-08-17 à 16:12

J'ai été voir,  2. Propriété . Il y est écrit :
Si  H  est le pied de la perpendiculaire menée de  O  au plan  (P)  et  OH < R  
alors
la section de  (S)  et  (P)  est un cercle de centre  H .

Posté par
Matheuux
re : Justification triangle rectangle 31-08-17 à 16:16

Je suis d'accord Sylvieg, mais la démonstration qui suit, dans le document, n'explique pas pourquoi il s'agit du cercle de centre H.
Il démontre seulement que  le rayon de ce cercle est r = rac(R² - OH²).

Posté par
malou Webmaster
re : Justification triangle rectangle 31-08-17 à 16:28

r=HM (cf leur dessin)

Posté par
Sylvieg
re : Justification triangle rectangle 31-08-17 à 16:41

Dans la démonstration, il est démontré  HM2  =  OM2 - OH2.
D'où    HM  =  (R2-OH2) .
Ce qui signifie que  M  est sur le cercle de centre  H  et de rayon   (R2-OH2) .

Là, j'en viens à penser qu'une petite réciproque ne serait peut-être pas complétement superflue  

Une chose est certaine :  L'intersection  sphère plan qui est un cercle est une propriété qui ne peut pas être considérée comme connue sans ce fameux angle droit.

Posté par
Matheuux
re : Justification triangle rectangle 31-08-17 à 17:17

Dans ce cas, comment résolvez-vous l'exercice initial (sans détailler Pythagore mais juste en termes de rédaction) ?

Posté par
verdurin
re : Justification triangle rectangle 31-08-17 à 22:44

Bonsoir.
Une rédaction possible.
O désigne le centre de la boule, r son rayon et le cercle (C) est un des quatre cercles de rayon d=24mm.

Soit M un point de (C) et M' le point le point diamétralement opposé à M.
Par définition, le centre H de (C) est le milieu de MM'.

Considérons le triangle OMM'.
Comme M et M' sont sur la sphère de centre O et de rayon r on a OM=OM'=r.
Le triangle OMM' est donc isocèle en O et la hauteur issue de O dans ce triangle est aussi la médiane issue de O.
Les droites OH et MM' sont donc perpendiculaires.
Etc.

Posté par
Sylvieg
re : Justification triangle rectangle 01-09-17 à 08:08

Bravo verdurin de t'être lancé !
Je propose une petite inversion vers la fin car, H étant milieu de [MM'], ce qui est connu c'est  OH  médiane, ce que l'on démontre c'est  OH  hauteur :

Le triangle OMM' est donc isocèle en O et la médiane issue de O dans ce triangle est aussi la hauteur issue de O.

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