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Nombre de marches
premier escalier : x
troisième escalier : 9x/8
total (t) : x = (2/7 t)+4; t = (x-4)*7/2; t = 7x/2 - 8/7
deuxième escalier : 11x/8 - 8/7

Temps normaux en secondes
par marche : 12/x
premier escalier : 12
deuxième escalier : 16,5 - 96/(7x)
troisième escalier : 13,5
total : 42 - 96/(7x) = (24x-96)/(7x)

Temps particuliers
premier escalier : 4
deuxième escalier : 6,6 - 38,4/(7x) (2,5 fois plus rapide que normalement)
début du premier escalier : 4,5 (2 fois plus vite que normalement)
fin du premier escalier : 4,5 * (5x/12)/ (5x/12 - 1)
total : 46,1 -38,4/(7x) +  4,5*(5x/12)/(5x/12 - 1)
= 46,1 -38,4/(7x) +  4,5*

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= 46,1 - 38,4/(7x) + 4,5*(1 + 1/(5x/12 - 1))
= [50,6*(35x²/12- 7x) - 16x + 38,4 + 31,5x] / [7x * (5x/12 -1)]
(1771x²/12 - 338,7x + 38,4) / (5x/12 - 1)
= (1771x²- 4064,4x + 460,8)/(5x-12)

[(1771x²- 4064,4x + 460,8)/(5x-12)] / [(294x-96)/(7x)] = 69/50
619850x³-1422540x²+161280x = 101430x²-276552x+79488
619850x²-1523970x²+437832x-79488 = 0
mon tableur indique x entre 2 et 3
l'équation et le résultat sont invraisemblables

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Puisque tu as oublié de masquer ta réponse, je l'ai lue par curiosité.
Je ne comprends pas dans ton premier paragraphe la valeur finale de t (fin de l'avant-dernière ligne.)

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je trouve 30 marches

je n'ai pas le courage de mettre mes calculs, mais je peux le faire par la suite si nécessaire

merci pour ton énigme

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par contre, il y a des informations qui ne sont pas nécessaires...

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J'ai fait une erreur dans la formule du nombre total de marches : il s'agit de 3,5x-14
On a donc :
premier escalier : x marches
troisième escalier : 1,125x marches
deuxième escalier : 1,375x - 14 marches

temps ordinaires en secondes
premier escalier 12
deuxième escalier : 16,5 - 168/x (une marche en 12/x secondes)
troisième escalier : 13,5
total : (42x-168)/x

temps exceptionnels en secondes
premier escalier : 4
deuxième escalier : 6,6 - 67,2/x (2,5 fois moins que la normale)
début du premier escalier : 4,5 (2 fois moins que la normale)
fin du deuxième escalier : 4,5*(5x/12)/(5x/12 - 1) = 4,5*(5x/12) / (5x-12)/12
= 22,5x/(5x-12)
temps total : 46,1 - 67,2/x + 22,5x/(5x-12)
= (230,5x²- 553,2x - 336x + 806,4 + 22,5x²) / (5x²-12x)
= (253x²-889,2x+806,4)/(5x²-12x)
égal au temps ordinaire fois 69/50 : (57,96x-231,84)/x

(253x²-889,2x+806,4)/(5x-12) = 57,96x-231,84
253x²-889,2x+806,4 = 289,8x²-1159,2x-695,52x+2782,08
36,8x²-965,52x+1975,68 = 0

solution : 24 (inespéré !)
on monte 2 marches en 1 seconde, une marche en une demi-seconde
nombre de marches : 24*3,5 - 14 = 70 (24+19+27)
temps normal : 35 secondes
temps exceptionnels
premier escalier : 4 (12/3)
deuxième escalier : 3,8 (9,5/2,5)
début du troisième escalier : 4,5 (9/2)
fin du troisième escalier : 4,5*10/9 = 5, car en 5 secondes, on monte 9 marches au lieu de 10
total (compte tenu de l'arrêt) : 48,3

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Définissons n1 le nombre de marches du rez au premier,
            n2 le nombre de marches du premier au deuxième
            n3 le nombre de marches du deuxième au troisième
donc le nombre total de marches vaut N = n1+n2+n3.
comme n1=8/9*n3 et que le nombre de marches doit évidemment être un nombre entier, les solutions pour n3 sont des multiples de 9.
Après résolution avec tableur, on voit que n3= 27marches donne n1=24marches.
Comme il est dit que (n1)/2 = N/7 + 2 soit n(1)/2 = (n1+n2+n3)+2 ou encore n2=5/2*n1-n3-14  on trouve n2= 19 marches  

donc le nombre total de marches est de 70

Il faut maintenant confirmer ce résultat avec les temps de montée.

1°)Temps de montée habituel
La vitesse habituelle est donnée par  v(a) = n3/ 13,5 = 2marches/sec
Le temps de montée habituel vaut N/v(a) = 70/2 = 35 sec.

2°) Temps de montée accélérée

Ce temps est la somme du temps de montée du rez au premier + temps montée du 1er au 2e + temps montée des 2/3 de la volée du 2e au 3e + temps arrêt + temps de montée du 3e tiers de la volée du 2e au 3e.
La vitesse accélérée au départ du rez de chaussée vaut 3xv(a) = 6marches/sec
Comme il y a 24 marches, le temps vaut 24/6= 4 sec
La vitesse de montée du premier au 2e vaut 5/6 de la vitesse du rez au premier soit
5/6 * 6marches/sec = 5marches/sec. Le temps mis pour monter les 19marches est donc de 19/5 = 3,8sec
La vitesse de montée des 2/3 de la volée du 2e au 3e vaut les 2/3 de la vitesse accélérée de départ soit 6 *2/3= 4 marches/sec. On monte de n3*2/3 = 27*2/3=18 marches. Le temps de montée est de 18/4 = 4,5 sec.
On  a un temps d'arrêt de 31 sec.
Pour le dernier tiers de la volée 2e-3e, on considère que si l'on avait la vitesse habituelle, en 5sec on monterait à la vitesse de 2 marches par seconde donc de 10 marches.Comme, avec la fatigue on monte 1 marche de moins dans ce temps de 5sec, on monte de 9marches. La vitesse est alors de 9/5 = 1,8 marches/sec. Le temps mis pour monter les 9 dernières marches est donc de 5 sec
Le temps total est en régime accéléré de 48,3 sec

3°) comparaison des temps totaux de montée:

on définissait que le rapport des temps était de 69/50 soit 1,38
après calcul on arrive à 48,3/35 = 1,38

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Oui, mon livre donne bien 70 marches comme solution. pour ta démo et merci

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Regarde la solution de Castoriginal si tu veux bien et merci aussi à toi

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Excuse-moi, j'avais lu ta réponse trop vite et j'ai loupé ton "70"

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je trouvais a+b+c= N=82
car a= 24
-->   24 x 7 /2 -2 =82
et  comme b = 27
c =82-24-27 =31