bonjour dpi,
merci pour cette énigme !

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mon avis :
pour l'aire qui double chaque année, j'écris A_n = A₀* 2ⁿ
pour l'autre, j'écris B_n = B₀ * (n+1)²
A₀ = B₀
les premières années,  la fille est gagnante,
mais pour n=7, elle est perdante.
A₇ = 128 A₀    et   B₇= 64B₀

?  

Merci de vos réponses
>Leile

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Ton raisonnement est bon pour A à un an près (8 ans)
Par contre  pour B ,trouve une autre fonction (expansion)

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On attend d'autres réponses donnant  les surfaces finales

Bonjour,

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             surface     côtés en progression
             doublée     arithmétique

aire initiale 1            1
après 1 an    2            4  les côtés ont tous été doublés
après 2 ans   4            9  les côtés ont tous été multipliés par 3
après 3 ans   8            16 les côtés ont tous été multipliés par 4
après 4 ans   16           25 les côtés ont tous été multipliés par 5
après 5 ans   32           36 les côtés ont tous été multipliés par 6
après 6 ans   64           49 les côtés ont tous été multipliés par 7 
                              à partir d'ici l'aire de la seconde est < celle de la première
après 7 ans   128          64 les côtés ont tous été multipliés par 8
après 8 ans   256          81 les côtés ont tous été multipliés par 9

>mathafou

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Le triangle de droite subit une expansion qui modifie son aspect
(cf nouveaux sommets)
et donc ta formule n'est pas adaptée....mais je sais que tu vas trouver

>Glapion

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Je t'ai mis un car je savais que tu étais sur la bonne piste et
maintenant ça va pomper

oui tu as raison j'ai un beau
(un de plus)

>mathafou

En matière de tu as affaire à un spécialiste ,
heureusement que j'ai été premier une fois dans les énigmes

Bonjour,

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au bout de 8 années :
256 ha à gauche et 181,95 ha à droite

non moi j'ai trouvé au contraire (aussi dans geogebra ) que les aires étaient indépendantes de la forme du triangle initial.

l'aire de la première extension est indépendante, mais pas les suivantes :

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pour moi 18.08 est tout de même assez différent de 17.94 !!
en fait mon erreur est de dire que cette augmentation est la plus petite possible avec un triangle équilatéral
c'est faux.
si le triangle est rectangle très plat, l'aire finale est plus petite.



on peut peut être choisir de ne pas "tourner" toujours dans le même sens pour augmenter les côtés mais bof, ça me semble un peu illogique

et l'augmentation de ces côté c'est l'augmentation
de la longueur de ses cotés a,b,c d'origine

on ajoute toujours la constante a, b, c d'origine à la valeur actuelle des côtés
pas la valeur actuelle des côtés (ce qui reviendrait à multiplier systématiquement l'aire par 7 quelle qu'en soit la forme, effectivement.)

Bonjour,

Le rapport des aires vaut 7 entre le second triangle et le premier
Le rapport des aires varie entre les triangles suivant et le premier quand change la forme du triangle initial...

mais les extensions sont en ligne droite !

Je suis assez satisfait de mon énigme:

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Je blanke  pour ceux qui veulent répondre sans "pomper"
et pour éclairer ceux qui sont dans la bonne voie .

Pour le doublement ras S=
Pour l'expansion* S=3n(n+1)+1   donc fin de première année 3x1(1+1)+1=7 oui vham
Le petit graphe joint illustre notre histoire.

*expansion dans le sens des flèches , ce qui fait changer la forme mais pas la formule.

Bon alors je poste mon dessin :


quelque soit la forme du triangle (pourvu que sa surface soit égale à 1), il donne les mêmes aires finales 256 et 217 qu'on lit dans la zone algèbre

ah ces énoncés imprécis ...
pour moi

la parcelle verra ses cotés allongés chaque année de la longueur de ses cotés a,b,c d'origine.

ça veut dire que les côtés (actuels) du triangle l'année n sont allongés de la mesure a, b, c des côtés d'origine

c'est à dire ça



le triangle à l'étape n, SES côtés (pas les droites supports des côtés d'origine) qui sont allongés de a, b, c


vu que le dessin de dpi ne donnait que la première augmentation l'interprétation du texte (SES côtés, ceux de la parcelle actuelle) était la seule interprétation légitime.

oui c'est vrai, c'est ambiguë

Bonjour dpi

J'ai lu les "blankés" et j'avoue ne pas avoir bien compris ta correction. Peux-tu expliciter davantage ?

J'avais essayé avec plusieurs configurations et je ne trouvais pas deux résultats identiques.

En voici une (incomplète)

Ça y est, compris. "Mauvaise" interprétation de l'énoncé.

mauvaise interprétation de cet énoncé ambigu

on est trois, (toi, vham et moi) à avoir compris cet énoncé d'une autre façon que ce qu'il y avait dans la tête de dpi...

Bonjour à tous,

Heureusement que Glapion a compris ,sinon je cesserai de poster
Ma figure de droite fait clairement apparaître un triangle quelconque
de coté a,b,c, que rien n'interdit de nommer
L'expansion se fait dans le sens des flèches de longueur a,b,c.
Ce nouveau triangle A1B1C1  a pour surface 7 comme l'a trouvé vham.
A ce niveau le nouveau triangle A2B2C2 aura ces sommet éloignés de a,b,c
etc...jusqu'à A8B8C8.
En disant de ne pas se préoccuper des clôtures, j'indiquais que les variations
d'aspect seraient de mise.

Oui, oui dpi

On a tous trouvé une aire de 7ha pour A₁B₁C₁.

Mais comme d'autres j'avais une autre traduction de l'énoncé : je pensais que le "sens de l'allongement" était déterminé par exemple pour obtenir C₁ par le vecteur , puis pour obtenir C₂ par le vecteur ,  etc., bref par les "sens", si je me permets cet abus de langage,  des côtés du nouveau triangle.

Observe bien le schéma que j'ai donné (ou ceux de mathafou), et tu comprendras cette interprétation.

Mais bon, ce serait dommage que tu ne postes plus, toi qui animes sans relâche le site.

A bientôt de te lire.

>littleguy

J'ai bien parlé d'expansion dans le sens des flèches.
Donc après S(A1B1C1)=7
il faut trouver S(A2B2C2)=19 etc...

Par contre une variante est possible .A mathafou de la lancer:
avec toujours les constantes de progression (a,b,c) mais dans le sens des nouveaux
cotés

Bonjour à tous,

>>>dpi merci  pour cette énigme qui semble poser plein de questions !

la solution graphique est bien décrite par littleguy.
Ce qui me dérange fondamentalement du point de vue pratique: c'est que chaque année, il faut déplanter et refaire toutes les clôtures ! Un vrai texan, un peu radin sur les bords, n'aurait pas accepté cette solution. Avec ma solution, on ajoute seulement b+c+n*a longueurs de clôture et on déplante (n-1)*a

J'aime mieux la progression qui est décrite à la figure suivante et que mathafou avait interprêté au début. Il avait donc appliqué la formule de Héron pour trouver les surfaces, formule qui permet de trouver les aires en fonction des trois côtés d'un triangle quelconque.
La figure correspond au développement des côtés de l'énoncé. Mais pas suivant le sens demandé.



amitiés

bonjour à tous,
et merci à castoriginal : sa figure correspond exactement à ce que j'avais compris de l'énoncé..
Bonne journée à tous.

salut

bon ben moi je viens jeter mon grain de poivre ... histoire de faire éternuer tout le monde ...

il fallait donc comprendre l'énoncé comment ?

selon la figure de castoriginal à 15h03 ou selon la figure de littleguy à 17h26 ?  ou mathafou juste avant ou à 15h39 ?

Bonsoir les amis
Je vous concocte ma réponse en image dans 1 heure.

suite...

J'ai donc expansé mon petit (1 ha) triangle jaune suivant les flèches .
(Peut-être trop petites pour certains).
On sait que aire ABC =(absinC)/2 par exemple
On observe le  triangle B1CC1  ,sa surface est 2ab(sin(-C))/2
donc égale au double du triangle d'origine et sans démo on peut dire que pour le niveau 1,
les deux autres aussi soit surface A1B1C1= 2+2+2+1 = 7 fois  ABC.
Au niveau 2 le triangle B2CC2  a une surface de  6ab(sin(-C))/2
Donc surface de A2B2C2 =6+6+6+1 =19 fois ABC.
En généralisant on obtient au niveau n  :  3n(n+1)+1

C'est bien comme certains l'ont trouvé   n8 = 24(9)+1= 217 ha

Je reconnais que je trouve intéressant l'évolution avec les flèches qui
dès le niveau 1 "s'aligneraient" dans le sens des nouveaux cotés.

ce n'est pas que les flèches étaient trop petites
c'est qu'elles n'étaient pas mentionnées du tout dans le texte.
ce "dans le sens des flèches" était absent de l'énoncé
et même il aurait été ambigu
et comme seul le premier agrandissement était illustré ... on pouvait interpréter ça comme on veut.

(d'où l'interprétation ambigüe et la polémique)

je persiste à dire que quand on dit ses côtés, c'est les côtés du terrain actuel, pas celui qu'il était jadis.
ni un déplacement des sommets dans une direction fixe.

Maintenant que ma figure est donnée et comprise, je ne vois plus de polémique.

J'ai déjà  proposé à mathafou de poster  une version  dans laquelle
dès le stade 1 l'agrandissement  se ferait dans l'alignement de cotés
de A1B1C1 (toujours +a+b+c  d'origine).

Bonsoir,

Le dessin fait par dpi dans sa question pouvait peut-être prêter à confusion mais la phrase qu'il a écrite est très claire:
"la seconde verra ses cotés allongés chaque année de la longueur de ses cotés a,b,c d'origine".
Au départ les trois côtés mesurent a,b et c.
Après le premier allongement ils mesurent a+a=2a, b+b=2b et c+c=2c.
Après le deuxième allongement ils mesurent 2a+a=3a, 2b+b=3b et 2c+c=3c.

Après n allongements ils mesurent donc (n+1)a, (n+1)b et (n+1)c et la surface est égale à (n+1)².

Bonjour,

Donc ,mon énoncé  aurait dû proposer les 2 expansions:
La linéaire :toujours dans le sens d'origine.
La successive: dans le sens des nouveaux cotés (en rouge sur l'image)
Merci aux participants.
Remarque:

Contrairement aux énigmes qui sont (qui étaient...) bloquées jusqu'à correction,
en "détente " les poseurs sont ouverts à toute question ou précision dès la parution.
Ce n'est pas encourager les poseurs que de critiquer sans fin...