Ici, tu vas partir dans des considérations bizarres., des évidences.
Souvent, l'initialisation est totalement triviale, et c'est le cas ici.
Euclide dit : Prenons tous les nombres premiers connus. Calculons N, le produit de tous ces nombres, et regardonc N+1
N+1 est premier avec tous les diviseurs, donc soit il est premier, soit il a un diviseur premier qui n'était pas dans la liste des nombres premiers connus.
Dans les 2 cas, on a la certitude qu'il existe au moins un nombre premier qui n'était pas dans la liste des nombres premiers connus.
L'initialisation, elle consiste à dire : Est-ce qu'il existe au moins un nombre premier ?
Oui. Par exemple, 2 est premier.
C'est trivial, mais ça suffit, on a un nombre premier ...
2 étant premier, de fil en aiguille, on trouve une infinité de nombres premiers :
2 est premier
Le produit de tous les premiers connus donne 2 .
Donc 3=2+1 a au moins un diviseur premier : 3
On a donc maintenant 2 nombres premiers connus (2,3)
Le produit de tous les premiers connus donne 2*3=6 .
Donc 7=6+1 a au moins un diviseur premier : 7
On a donc maintenant 3 nombres premiers connus (2,3,7)
Le produit de tous les premiers connus donne 2*3*7=42.
Donc 43=42+1 a au moins un diviseur premier : 43
On a donc maintenant 4 nombres premiers connus (2,3,7,43)
etc