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L'initialisation dans le raisonnement par récurrence

Posté par
human09
19-06-21 à 23:12

Bonsoir à tous ,

Dans le but d'un exposé je cherche le lien qui relie directement l'étape d'initialisation dans le raisonnement par récurrence avec la démonstration d'Euclide sur les nombres premiers . Ou tout autre exemple témoignant de l'importance ou la démonstration de l'initialisation .

Merci à tous Cordialement

Posté par
ThierryPoma
re : L'initialisation dans le raisonnement par récurrence 19-06-21 à 23:35

Bonsoir

Je en sais pas si j'ai bien compris, mais l'importance de l'initialisation se trouve être bien illustrée ici :

Posté par
human09
re : L'initialisation dans le raisonnement par récurrence 19-06-21 à 23:39

Bonsoir ,

enfaite je cherche ce qui relie l'initialisation à la démonstration de l'infinité des nombres premiers d'Euclide . J'arrive pas a comprendre le lien

Posté par
ThierryPoma
re : L'initialisation dans le raisonnement par récurrence 19-06-21 à 23:45

En fait, j'avais cru comprendre ceci : ou tout autre exemple témoignant de l'importance de la démonstration de l'initialisation .

Posté par
human09
re : L'initialisation dans le raisonnement par récurrence 19-06-21 à 23:50

Ah d'accord merci comme même

Posté par
ty59847
re : L'initialisation dans le raisonnement par récurrence 20-06-21 à 09:47

Ici, tu vas partir dans des considérations bizarres., des évidences.
Souvent, l'initialisation est totalement triviale, et c'est le cas ici.

Euclide dit : Prenons tous les nombres premiers connus. Calculons N, le produit de tous ces nombres, et regardonc N+1
N+1 est premier avec tous les diviseurs, donc soit il est premier, soit il a un diviseur premier qui n'était pas dans la liste des nombres premiers connus.
Dans les 2 cas, on a la certitude qu'il existe au moins un nombre premier qui n'était pas dans la liste des nombres premiers connus.

L'initialisation, elle consiste à dire : Est-ce qu'il existe au moins un nombre premier ?
Oui. Par exemple, 2 est premier.
C'est trivial, mais ça suffit, on a un nombre premier ...

2 étant premier,  de fil en aiguille, on trouve une infinité de nombres premiers :
2 est premier
Le produit de tous les premiers connus donne 2 .
Donc 3=2+1 a au moins un diviseur premier : 3
On a donc maintenant 2 nombres premiers connus (2,3)

Le produit de tous les premiers connus donne 2*3=6 .
Donc 7=6+1 a au moins un diviseur premier : 7
On a donc maintenant 3 nombres premiers connus (2,3,7)

Le produit de tous les premiers connus donne 2*3*7=42.
Donc 43=42+1 a au moins un diviseur premier : 43
On a donc maintenant 4 nombres premiers connus (2,3,7,43)

etc

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : L'initialisation dans le raisonnement par récurrence 20-06-21 à 12:17

Bonjour,
Quelque chose me chiffonne dans ce sujet :
Quand on envisage une démonstration par récurrence, il peut être utile de préciser la propriété P(n) à démontrer pour tout n de (ou pour tout n n0 de ).
Ça n'apparaît pas ici.
En l'explicitant, il me semble que l'étape d'initialisation devrait apparaître plus clairement.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : L'initialisation dans le raisonnement par récurrence 20-06-21 à 16:58

En fait, je ne vois pas de récurrence dans la démonstration d'Euclide !
Voir et

Posté par
ty59847
re : L'initialisation dans le raisonnement par récurrence 20-06-21 à 17:47

Le théorème dit : si on a n nombres premiers, alors il y en a au moins un autre.  
Enoncé comme ça, ça ne permet de rien conclure.
Mais si on ajoute l'information : Nous savons que 2 est un nombre premier, alors bingo, on a la preuve qu'on a une infinité de nombres premiers.
C'est une démo par récurrence qui ne dit pas son nom.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : L'initialisation dans le raisonnement par récurrence 20-06-21 à 18:31

Bonjour ty59847,
Si dans son exposé human09 se contente de tes arguments, il ne convaincra pas grand monde.
Je répète que dans une récurrence, il y a une propriété P(n) qu'on veut démontrer pour tout n de (ou pour tout n n0 de ).
Ici, ce pourrait être quelque chose dans ce genre :
Il y a au moins n nombres premiers.

Mais je n'y crois pas

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : L'initialisation dans le raisonnement par récurrence 20-06-21 à 18:54

En fait, je viens de survoler jusqu'au bout le contenu du second lien que j'ai donné.
Voici ce qu'ils proposent :
"Pour tout naturel non nul n, il y a plus de n nombres premiers"
Là je commence à y croire et j'invite human09 à lire en détail le contenu de ce lien



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