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L'Integral

Posté par
Mamous1
04-04-22 à 22:50

Je me demande, pourquoi pour calculer l'aire délimitée par une courbe d'une fonction et l'axe des abscisses et les deux droits x=a  et x=b on utilise la primitive de la fonction

Posté par
Glapion Moderateur
re : L'Integral 04-04-22 à 23:35

Bonsoir,
faisons simple :
L\'Integral

Appelons l'aire sous la courbe A(x) à l'abscisse x
l'aire du petit rectangle rouge c'est A(x+dx)-A(x)

Elle est comprise entre l'aire des deux rectangles donc :
f(x) dx < A(x+dx) - A(x) < f(x+dx) dx f(x) < (A(x+dx)-A(x))/dx < f(x+ dx)
et si on fait tendre dx vers 0 ça donne f(x) < A'(x) < f(x)

qui montre que A(x) est bien une primitive de la fonction f(x).

Posté par
Mamous1
re : L'Integral 06-04-22 à 11:37

Merci infiniment Glapion

Posté par
AyoubAnnacik
re : L'Integral 07-06-22 à 23:57

Paisible journée!!
J'arrivais pas à comprende le A(x) :s est ce que vous pouvez le représenter visuallement ? Merci!!

Posté par
Glapion Moderateur
re : L'Integral 12-06-22 à 16:18

L'aire sous une courbe, ça n'est pas bien difficile à visualiser pourtant !
L\'Integral

Posté par
AyoubAnnacik
re : L'Integral 12-06-22 à 16:56

Oui mais l'aire de petit rectangle rouge c'est A(x+dx)-A(x) ??!! Non!!

Posté par
Glapion Moderateur
re : L'Integral 12-06-22 à 18:48

oui c'est ce que j'avais marqué.

Posté par
AyoubAnnacik
re : L'Integral 12-06-22 à 19:12

Bah c'est faux parce que A(x+dx)-A(x) n'a aucune relation avec le rectangle en rouge

Posté par
AyoubAnnacik
re : L'Integral 12-06-22 à 19:28

Mais l'idée est bonne!! l'integrale c'est l'aire délimitée par la courbe de la fct ect... merci pour la clarification

Posté par
carpediem
re : L'Integral 12-06-22 à 20:35

salut

il est relativement évident que l'aire du petit rectangle rouge est :

[(x + dx) - x] * [f(x + dx) - f(x)]

comme on l'apprend en primaire ...

Posté par
Glapion Moderateur
re : L'Integral 13-06-22 à 09:23

oui rectification A(x+dx)-A(x) c'est l'aire sous la courbe entre les abscisses x et x+dx.

Mais c'est vrai que si la courbe est croissante on a bien
A(x+dx)-A(x) plus grand que le rectangle inférieur d'aire f(x)dx et plus petit que le rectangle supérieur f(x+dx)dx (et si la courbe est décroissante on inverse les inégalités). et en passant à la limite ça donne bien A'(x) = f(x)


Autre raisonnement à la physicienne probablement moins rigoureux dira carpediem :

Quand on passe de x à x +dx l'aire varie de dA que l'on peut assimiler à un petit trapèze d'aire dA = dx (f(x)+f(x+dx))/2 puisque dx est infiniment petit.

dA/dx tend vers A'x) et (f(x)+f(x+dx))/2 tend vers f(x) donc ça donne bien A'x) = f(x)

Posté par
carpediem
re : L'Integral 13-06-22 à 12:16

non je suis tout à fait d'accord !!

le pb c'est cette notation dx qui gène les élèves ...
j'utilise alors dans un premier temps x et x + h avec h petit ...

mais je fais toujours le lien avec les physiciens pour "contextualiser" un peu ...

Posté par
AyoubAnnacik
re : L'Integral 13-06-22 à 21:30

C'est génialGlapion merci merci



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