Bonjour  

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C'est de la glace à quoi ?

Salut Bcracker
tu dirais que c'est accessible a quel niveau?

salut simon92

Un élève de terminale S pourrait s'en sortir sans trop de problèmes je pense.

ca va être difficile alors

je vais regarder ca, si j'ai le temps.

borneo >>

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Question existentielle en effet!

bonsoir,

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si je comprends bien il s'agit de placer dans le récipient une boule de volume maximun pour faire sortir
un volume d'eau maximun?
je propose la sphère inscrite dans le récipient c'est à dire tangente à la surface latérale du récipient
et arrivant à fleur d'eau
sauf erreur de calcul de ma part son rayon est égal à 20sin(15°)/(1+sin(15°))

je me pose une question :pourquoi une boule de glace?
la boule va peut être flotter ou fondre ,je n'ai peut être pas bien compris le texte

la boule de glace c'est pour l'image de la JFF j'imagine , sinon on aurait pu dire qu'elle est le rayon de la sphère pour que le volume optimal nia nia nia, nia nia nia...  

1 Schumi 1

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C'était juste pour upper discrètement  

salut veleda

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tu as vérifié que c'est avec cette boule-là, tangente à la surface, que le volume immergé est maximal ?

bonsoir
>> mikayaou

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justement le texte dit qu'elle est mise dans le récipient sans dire si elle y est entiérement,j'ai supposé que c'était le cas, sinon  j'ai commencé le calcul avec une boule plus grosse qui serait tangente le long du cercle d'ouverture du cône un peu comme la boule de glace sur le cornet mais comme cela ne semblait intéresser personne j'ai laissé tomber
de plus dans le cas que j'ai traité il me semble que si c'est une boule d'eau en glace une calotte va sortir de l'eau si on ne la maintient pas enfoncée?

bonjour Bcracker et veleda

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Pour ma part, j'ai supposé que la boule de glace est dans le cône de glace, comme une boule "classique", sauf que le cône est rempli d'eau initialement.

Intuitivement, on "sens" qu'il doit y avoir un optimal dans l'occupation de l'espace par la boule de glace.

Soit une boule de rayon x dont le centre est à y de la surface du cône (y pouvant être positif ou négatif) => la grandeur immergée est h=x-y
J'appelle r le rayon de la section de la boule en haut du cône => sa surface est B = pi.r²

on a alors :

sina = x/(H+y) => y = x/sina - H et h = x-y = H + (1-1/sina)x
et
r²+y²=x² => r² = x²-(H-x/sina)²

Le volume du segment sphérique de hauteur H' à partir de l'extrémité de la boule est :
V = pi.h^3/6 +B.h/2
V = pi.h^3/6 +pi.r².h/2
V = (pi/6)h(h²+3r²)

V(x) = (pi/6)(H + (1-1/sina)x)( (H+(1-1/sina)x)² + 3x² -3 (H-x/sina)² )

dont la dérivée, imbuvable, s'exprime comme :

V'(x) = (pi/6)( (1-1/sina)((H+(1-1/sina)x)²+3x²-3(H-x/sina)²) + (H+(1-1/sina)x)( 2(H+(1-1/sina)x)(1-1/sina)+6x+6(H-x/sina)/sina ) )

Avec du courage on doit pouvoir exprimer cette dérivée comme Ax²+Bx+C avec A, B et C fonction de sina

Pour ma part, je suis passé en données numériques avec H=20cm et a=15°, d'où :



V'(x)=0 pour x=4,601864 et Vmax = 340,335 cm3

ce qui donne y = x/sina - H = (4,601864)/sin15° - 20 =-2,219763

Le centre de la boule de glace de rayon 4,6 cm est immergé à 2,22 cm sous le plan supérieur du cône



En espérant ne pas m'être trompé dans le raisonnement ni les calculs
En effet, je n'ai pas détaillé exhaustivement tous les cas : j'ai zoomé sur les valeurs de x qui me semblaient intuitivement les plus intéressantes à examiner : j'ai donc pu passer à côté de valeurs remarquables ou de valeurs interdites...

Sinon, Bcraker, elle méritait d'être en énigme z'officielle, celle-ci ...

Oops, mauvaise relecture

il subsiste un H' au lieu d'un h...

arghhhh, oubli de blanquer

vu le peu de gens que ça intéresse ( dommage ), ça ne devrait gêner que veleda, et encore car, comme d'autres, elle cherche pour le plaisir...

Comme quoi, une énigme, parce qu'elle est officielle, a plus de participation... dommage

bonjour

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bravo mikayaou,quel courage,j'avais aussi commencé ce calcul mais je ne suis pas courageuse quand c'est trop calculatoire
c'est vrai qu'avec cette interprétation du texte c'est une énigme officielle à 3* une énigme  comme celles qu'en général je ne fais pas, je trouve  facilement le bon raisonnement mais les calculs me démoralisent
si j'ai un creux dans mon emploi du temps je me pencherai sur la simplification de ta dérivée
bonne journée

veleda

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merci et bonne journée à toi

>>mykayaou

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sans garantie ,en posant m=(1-1/sina)
V'/=(3-m)m²x²+2m(2-m)xH+(1-m)H²  si je n'ai pas fait d'erreur de lecture ou de calcul
merci à toi

argh

satané encadré  

Salut Mika  

^{Mets tes lunettes}  

eh oui, on a beau demander à T_P de les dissocier qque peu, beaucoup, comme moi, font l'erreur...

Retente le coup

si ça ne gêne que moi, ce n'est pas si grave...

reste plus qu'à Bcraker de nous donner sa(ses) solution(s)...

Bonjour à tous.

En démarrant avec pour inconnue l'altitude x du centre de la boule par rapport à la pointe du cornet et en posant sin(alpha)= S, j'obtiens une expression factorisée du volume, en P^2(x)*Q(x), donc la dérivée est également factorisée. On trouve sans trop de calculs qu'elle s'annule pour x=h/(1-S)(1+2S).

Je trouve alors pour le volume la même formule que Mikayaou:V=hs/(1-S)(1+2S).
C'est rassurant!  

merci rogerd

ahhhhhhhhhhhh, vous me rassurez, elle était superbe cette JFF...

fallait pas gââââcher

tu avais la solution à cette JFF, Bcracker ?

Tu peux donner ta solution, Bcraker ?

toujours pas, Bcracker ?

Bonsoir tout le monde

mikayaou > si si, patience... Voici ma solution,

Soit un repère R orthonormal et soit la droite coupant l'axe des abscisses en en formant un angle et on considère le demi cercle tangeant à dont le diamètre est inclu dans la droite . On voit bien qu'il suffit de faire pivoter le tout pour avoir notre cornet de glace.


Notons le rayon de et et soit le point A(a,0) sont centre. On voir aisément que l'aire de la section obtenue après rotation en fonction de x () est puis on intègre cette expression en fonction de de 0 à la borne égale à l'abscisse du deuxième point d'intersection de (C) avec l'axe des abscisses. Cette abscisse est directement calculable en résolvant en l'inconnue et vaut . Le volume de la boule est donné par . En dérivant en puis en résolvant on trouve deux solution dont l'une conduit au bon résultat (sauf erreur bien entendu) : ce qui donne . Le rayon est obtenu par . On a par là prouvé ce qu'a proposé veleda au tout début

une petite erreur d'innatention, lire "dont le diamètre est inclu dans l'axe des abscisses" et non pas "dont le diamètre est inclu dans la droite delta"

...et pour le rayon c'est plutôt

A+

salut Bcracker

il me semble que ta résolution répond à une partie de l'énoncé demandant à ce que la boule soit immergée.

mais en mettant la boule autrement ( l'énoncé ne précise pas qu'elle soit complètement immergée), on peut faire sortir encore plus d'eau



C'est ce que j'avais indiqué dans un de mes posts blanqués

sauf erreur, bien entendu , comme dirait elhor

salut mikayaou,

Dans mes hypothèses, je ne précise pas que la boule est entièrement immergée, ce n'est qu'une déduction après avoir fait le calcul de r sachant que le cercle (cf. plus haut) est tangent à la droite .

A vérifier...

Bon , après avoir refait les calculs (sous maple cette fois-ci ), je trouve une valeur de r de 4.601863757 cm. Sinon bien joué, mikayaou pour ta solution détaillée.

Donc pour récapituler, il suffisait de calculer le volume (où ) et dont la dérivé s'annulle pour r=4.60 cm (maximum) et 6.98 cm (minimum).

A+

Grâce à veleda qui m'a mis sur la voie, on peux exprimer le rayon R en fonction des caractéristiques du cône, à savoir sa hauteur H et son demi-angle au sommet a selon :