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La corde, problème de dérivée

Posté par
Eva1612 15-10-12 à 12:30

Bonjour, j'ai des difficultés à résoudre un problème en Math.

Voici l'énoncé:

On souhaite former un cercle et un carré avec une corde de 1 mètre de longueur.
Où faut-il couper cette corde pour que la somme des aires du disque et du carré soit minimale? Et maximale?
Que vaut pour chacun des cas la valeur de l'aire trouvée?

Je sais qu'il faut calculer la dérivée mais j'ai des problèmes à poser la fonction de la somme des surfaces, avec pi je trouve des calculs bien trop compliqués. En plus si la dérivée nous donne la surface minimale, comment trouver la surface maximale?

Avez-vous une idée pour résoudre ceci?

Posté par re : La corde, problème de dérivée 15-10-12 à 12:40

Bonjour,

pi ou 2, c'est pareil dans une formule, ce n'est pas ça qui la rend plus ou moins compliquée

Pour minimum et maximum il ne "suffit" pas d'étudier la nullité de la dérivée !
il faut étudier complètement les variations de la fonction dans l'intervalle de définition

donc déja bien préciser cet intervalle.

Il se peut que les maxima et/ou minima soi(en)t les bornes de l'intervalle de définition...

Posté par re : La corde, problème de dérivée 15-10-12 à 12:59

Voilà les calculs que j'ai:
Surface du Cercle = x²/4π
Surface du Carré = (1-2x+x²)/16
Surface Totale = (x²*(4+π)+π-2πx)/16π
Dérivée = (x*(4+π)-π)/8π

Et en posant la dérivée = 0 on obtient un minimum (ou maximum, je ne sais pas trop) de π/(4+π) qu'il faut donc remplacer dans le calcul de la surface du carré et du cercle pour obtenir leur surface minimum.
Ou du moins je pensais que ce calcul nous donnerait un sommet de la parabole (et donc un maximum ou un minimum)...

Je ne suis pas sûre de comment trouver l'intervalle de définition...

Posté par re : La corde, problème de dérivée 15-10-12 à 13:49

tu as bien une fonction aire = ax² + bx + c non ?
que a soit ici (4+)/16 etc ne change rien à la chose :
variations (sens, minimum, maximum etc ) de ce trinome.
c'est tout (limite question de cours !)

maintenant le domaine de définition c'est 0 < x < 1 (assez évident vu qu'on ne peut pas couper la ficelle en dehors de celle-ci) !

si tu fais proprement le tableau de variation de aire(x) en fonction de x dans cet intervalle, tu vas voir le minimum et le maximum sauter aux yeux.