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Niveau Préparation CRPE
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la dérivabilité en un point

Posté par
bouchaib
07-09-23 à 12:40

Bonjour,
     Soient (a ; b ) \in R^{2} et f la fonction définie sur R par,
    
     f(x)=\left\lbrace\begin{matrix} ax+b&, si & x\leq 0 \\ \frac{1}{x+1} &, si & x>0 \end{matrix}\right.,
  
     déterminer la valeur de  a et de b  pour que f soit dérivable en 0.
  Réponse :   on doit calculer la dérivée en 0 à droite et à gauche et doivent être égales pour que f soit dérivable en 0,
  
   \lim_{x \rightarrow 0^{+} } (\frac{1}{x+1}-b)/x =\lim_{x\rightarrow0^{+} } (\frac{1-b}{x(x+1)}-\frac{b}{x+1}),
  ici j'ai un petit souci :
   on veut que f soit dérivable en  0  et si b est différent de 0  la limite serait +infini; donc 1-b doit être égale à 0; là  j'ai (( 0/0+)-(0/1) et le deuxième terme de cette somme est 0 par contre  (0/0+) du premier terme me pose problème ;  est-ce que 0 exact  divisé par par un nombre très proche de 0 de la droite  donne 0 ou c'est une forme indéterminée ; si c'est 0 le problème est réglé.
On trouve par la suite que b=1 et a= -1 pour que la fonction soit dérivable en 0.
  Merci par avance.

  

Posté par
Leile
re : la dérivabilité en un point 07-09-23 à 13:14

bonjour,
" on doit calculer la dérivée en 0 à droite et à gauche " : oui
tu peux montrer  comment tu calcules ces dérivées ?

Posté par
Ulmiere
re : la dérivabilité en un point 07-09-23 à 14:31

Dérivable en 0 implique continue en 0, ça donne quoi comme condition sur b ?

Posté par
carpediem
re : la dérivabilité en un point 07-09-23 à 14:32

salut

une petite remarque : pour parler de dérivabilité d'une fonction il est nécessaire que celle-ci soit continue ...

Posté par
bouchaib
re : la dérivabilité en un point 07-09-23 à 14:49

bonjour et merci,
   donc pourque f soit dérivable en o à droite, il faut que 1-b=0,  i.e b=1 ( j'ai le problème que j'ai annocé dans le post précédent : 0/0+ fait 0  ou infty ) si c'est 0 alors le nombre dérivé en 0+  est -b= -1 .
pour la dérivabilité en 0 -  est :
      
  \lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0} \frac{ax+b-b}{x-0}=a
\lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0} \frac{ax+b-b}{x-0}=a,
Donc fd'(0)=-b  et f'g(0)=a, donc f est dérivable ssi a=-b or b=1 (condition de dérivabilité dont on a parlé)
donc a=-1.
merci  par avance.

Posté par
Ulmiere
re : la dérivabilité en un point 07-09-23 à 15:12

N'introduis pas de \lim avant que tes calculs soient finis, tu ne sais pas si elle existe avant cela.

Soit h > 0.

1) Calcule f(h) - f(0) et f(-h) - f(0). Ces deux expressions ont-elles une limite lorsque h tend vers 0 ? Utiliser ensuite la continuité de f et l'unicité de la limite dans un espace métrique pour trouver une condition sur b.

2) Même questions en calculant \dfrac{f(h)-f(0)}{h} et \dfrac{f(-h)-f(0)}{-h}. Les limites existent-elles ? Si oui, dérivabilité de f en 0 et unicité de la limite pour trouver une condition sur a.

3) Fin de la partie "analyse" de cet exercice. Tu peux passer à la "synthèse" et terminer.

Posté par
carpediem
re : la dérivabilité en un point 07-09-23 à 17:10

je ne comprends pas toutes ces complications :

continuité :

à gauche lim f(x) = ...

à droite lim f(x) = ...

puis égalité des limites

dérivabilité :

f est dérivable à gauche et à droite :

à gauche : f'(x) = ... et lim f'(x) = ...

à droite : f'(x) = ... et lim f'(x) = ...

puis égalité des limites ...

Posté par
Leile
re : la dérivabilité en un point 07-09-23 à 17:22

bonne continuation à vous trois.

Posté par
malou Webmaster
re : la dérivabilité en un point 07-09-23 à 17:52

Bonjour

Ulmiere a commencé
carpediem a emboîté le pas

faut-il vous rappeler en ce début d'année scolaire les règles de bonne conduite entre vous ? que je sache, Leile attendait une réponse du demandeur, pas qu'on vienne lui couper l'herbe sous le pied...

Posté par
carpediem
re : la dérivabilité en un point 07-09-23 à 18:07

soyons raisonnable :

1/ Ulmiere et moi-même sommes intervenus "en même temps" quand on regarde les heures d'affichage (c'est qu'on a posté en ne voyant pas nos interventions réciproques qui n'existait pas)

2/ j'ai commencé par une remarque parce que je ne désirais pas poursuivre et voulais laisser Leile continuer car je connais bien ces règles

3/ combien de fois je vois d'autres intervenants réagir après mon msg et je ne leur souhaite pas bonne continuation, je les laisse poursuivre et n'intervient que pour corriger certaines choses ou apporter des compléments

4/ et il est étonnant de ne pas voir les mêmes rappels à ces intervenants (comme à certains qui donnent des réponses très complètes à un pb en court de résolution)

Posté par
bouchaib
re : la dérivabilité en un point 07-09-23 à 18:55

Merci à toutes et à tous.
Je voudrais aussi m'aider à ma  question :
La condition pour que f soit dérivable j'ai trouvé que 1-b  doit être égale à 0 ce n'est pas une limite c'est une quantité exacte alors qu'à son dénominateur x(x-1) c'est une limite en o+ et donc on a 0/0+ . Là est mon souci : je considère que c'est 0 ou  + infini ?
Et merci.

Posté par
malou Webmaster
re : la dérivabilité en un point 07-09-23 à 21:28

Je ne sais pas ce que tu fabriques...
Tu as lu ça ? C'est alors immediat

carpediem @ 07-09-2023 à 17:10

je ne comprends pas toutes ces complications :

continuité :

à gauche lim f(x) = ...

à droite lim f(x) = ...

puis égalité des limites

dérivabilité :

f est dérivable à gauche et à droite :

à gauche : f'(x) = ... et lim f'(x) = ...

à droite : f'(x) = ... et lim f'(x) = ...

puis égalité des limites ...

Posté par
bouchaib
re : la dérivabilité en un point 07-09-23 à 21:55

0ui c'est fait . J'ai compris tous les messages merci.
C'était une question qui m'est présentée .

Merci.

Posté par
malou Webmaster
re : la dérivabilité en un point 07-09-23 à 22:11



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