Bonjour,

petit joueur

... pour former un polygone régulier à n côtés et un polygone régulier à m côtés ...

puis ensuite on met n = 4 et m = 5 dans la formule générale

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La somme des deux aires minimale mérite un petit calcul.

c'est sûr qu'il faut calculer ...

prenons donc donc le cas général

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1) avec des figures disjointes soit le périmètre du polygone à n côtés et donc le périmètre du polygone à m côté

"on montre" que l'aire d'un polygone régulier de n côtés est en fonction de son périmètre P


l'aire totale est donc

ceci est en fait un trinome du second degré en x dont le minimum est pour x = "-b/2a"

le coefficient de x² est

le coefficient de x est

et donc le minimum est pour



confortation des calculs
n = 4, m = 3 (carré et triangle équilatéral)


en parfait accord avec le côté x/4 ≈ 0.10874 trouvé "jadis"

pour n = 4 et m = 5 il faut "connaitre"
et le résultat est assez beurk (= la flemme)
..la suite à la calculette ou du bourrin carréradical (et n'offre donc aucun intérêt)

2) avec un côté commun
il ne semble pas si évident que ça de savoir lequel des deux a le plus petit côté !! (pour savoir quelle quantité de ficelle on économise)

en tout cas les calculs précédents sont les mêmes dans leur principe à l'exception de la longueur de la ficelle qui est équivalent au total non pas à 1 mais à 1 plus le plus petit côté (plus car c'est comme si la ficelle avait cette longueur en plus avec des polygones disjoints)
ce qui donne la formule de l'aire :



en échangeant au besoin n et m selon lequel est le plus petit côté.

etc ...
(la flemme de développer des trucs un peu trop calculatoires à mon goût)

salut

mathafou :

question subsidiaire : et quelle est la limite lorsque m et n tendent vers +oo ?

comme on obtient deux cercles la réponse x = 1/2 me semble assez évidente
d'ailleurs la limite de tan(x)/x quand x tend vers 0 étant 1, la limite calculée "avec la formule" donne

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oui
Bravo à mathafou pour sa solution  par tangentes
Je signale :
1/que l'équation du second degré est moins calculatoire
2/que sa réponse s'adresse au cas carré/triangle et que les
excellents participants trouveront les cas carré/pentagone régulier.
Je conseille nettement:

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Soit c le coté du pentagone:
(1-c)²+c²/4
On développe on dérive et on doit trouver une coupure à 0.52406 pour
le cas général et 0.632418 pour le cas coté en partie commun

bien sur bien sur ....

mais si on construit des disques les rayons sont x/2pi et (1 - x)/2pi

je trouvais étonnant de ne pas voir apparaître le facteur 1/pi

mais c'est normal puisqu'il disparaît dans le "-b/2a" ....

Bonne idée les 2 cercles...
On a épuisé le sujet ,car pour 3 figures c'est pas marrant

ma réponse s'adresse a un m-gone et un n-gone quelconques et pas du tout à un carré et triangle.
je n'ai "cité" le cas carré triangle que comme vérification qu'il n'y avait pas d'erreur de calcul grossière parce que la solution en était connue par avance. (l'autre discussion)

quant aux expressions contenant du
quelle que soit la façon dont on les a obtenues, ce sera toujours avec "ça" dedans ou d'autres trucs en "

c'est ça que je dis être "calculatoire" et c'est incontournable si on veut une expression exacte
évidemment si on se contente de la calculette, c'est plus facile, un petit "algorithme" (hum, c'est juste une formule à entrer) et hop on a le cas général gratuit.

Oui,mais..

Je raisonne comme au bon temps des "énigmes"
l'important c'est la réponse aux questions:

1/où couper la ficelle pour carré/pentagone régulier
2/où plier la ficelle sans la couper pour former carré/pentagone régulier
3/rapport entre les 2 cas.

Dans un autre sens il est évident que les explications de mathafou sont
dans le pur esprit mathématique .