Bonsoir

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Je pense que la grenouille fera en moyenne 10 sauts  .

Aie !  

salut

10 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
       = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
       = 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
       = 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1
       = 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1
      = 2 + 2 + 2 + 2 + 2

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10 sauts : une façon de probabilité (2/3)^10

9 sauts : 8 façons de monter les marches de probabilité (1/3)(2/3)^8

8 sauts : 8 x 6 / 2 (??) façons de monter les marches de probabilité (1/3)^2(2/3)^6

7 sauts : 8 x 6 x ... ? façons de monter les marches de probabilités (1/3)^3(2/3)^4

6 sauts : 8 x 6 / 2 (??) façons de monter les marches de probabilités (1/3)^4(2/3)^2

5 sauts : une façons de monter les marches de probabilités (1/3)^5

on calcule alors l'espérance de la variable aléatoire X prenant les valeurs 5, 6, 7, 8, 9, 10 en tenant compte des permuatations et des probabilités ...

et ça doit faire environ ... à peu près !!!

10 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
       = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
       = 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
       = 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1
       = 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1
      = 2 + 2 + 2 + 2 + 2

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10 sauts : une façon de probabilité (2/3)^10

9 sauts : 9 façons de monter les marches de probabilité (1/3)(2/3)^8

8 sauts : 28 façons de monter les marches de probabilité (1/3)^2(2/3)^6

7 sauts : 35 façons de monter les marches de probabilités (1/3)^3(2/3)^4

6 sauts : 15 façons de monter les marches de probabilités (1/3)^4(2/3)^2

5 sauts : une façons de monter les marches de probabilités (1/3)^5

on calcule alors l'espérance de la variable aléatoire X prenant les valeurs 5, 6, 7, 8, 9, 10 en tenant compte des permutations et des probabilités ...

et ça doit faire environ ... toujours pas bon !!

Salut,

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337687/59049=5.719 ce qui semble contre intuitif

Tu nous as déjà proposé cet exercice.

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A chaque saut, la grenouille avance en moyenne de 4/3 marches.
Il faut donc en moyenne 10/(4/3) = 7.5 sauts pour arriver en haut.
Sauf que..., si au cours de son trajet, elle arrive à un moment à la 9ème marche, son dernier saut sera de 1 marche avec une proba de 100%
Et donc, la vitesse moyenne est un petit peu plus basse que le résultat annoncé.
En exagérant, si l'escalier fait une seule marche, il faut 1 saut en moyenne, et non 3/4 sauts.
Et idem, si l'escalier fait 2 marches, soit le premier saut est un saut double (proba = 1/3), et il faut un seul saut, et sinon, il faut 2 sauts.
Donc pour 2 marches, il faut en moyenne 5/3 sauts (au lieu de 2*3/4 avec l'approximation.
A chaque fois, le calcul précis donne un peu plus que l'approximation n/(4/3).

Le calcul précis donne environ 7.6875, soit (logiquement) un peu plus que l'approximation initiale de 7.5

@carpediem
je pense que tu as fait la meme erreur que moi, la somme des probabilites n'est pas egal à 1

daccord avec le resultat proposé par  ty59847

alb12 : oui tout à fait et c'est pour cela que j'ai répondu que mon résultat est ..." n'est pas bon" !!

mais je n'arrive pas à voir où ça pèche ...

je dirai peut-être que je ne prends pas en compte la contrainte que l'avant dernière marche implique un saut de une marche

peut-être faut-il compter le nombre de façons jusqu'à la 8e marche qui n'impose aucune contrainte puis ensuite regarder ce qui se passe avec des sauts de 1 (deux fois) ou de 2 (une fois)

Le calcul très précis est long.
Quand tu écrisles différentes façons de décomposer 10,  par exemple 10 = 2+2+2+1+1+1+1, tu pars sur une mauvaise piste.
Ou alors, tu peux encore t'en sortir, en découpant tous les trajets qui ont 3 doules-sauts et 4 simples-sauts en 2 groupes.
Parmi tous ces trajets, quels sont ceux qui passent par la case 9, et quels sont ceux qui ne passent pas par la case 9.
Il y a 35 façons de positionner 3 '2' et 4 '1'.
Parmi ces 35 façons, il y en a 15 qui finissent par 1 '2', et donc 20 qui finissent par 1 '1'.
Pour les 15 premières, les probas sont bien (1/3)^3*(2/3)^4
Mais pour les 15 autres, le dernier 1a une proba de 100% et non de 2/3
Donc une proba de  (1/3)^3*(2/3)^3 au lieu de (1/3)^3*(2/3)^4 pour ces 20 autres façons de positionner les 1 et les 2.

Personnellement, je n'ai pas raisonné comme ça.
J'ai fait un arbre.
Dans cet arbre, pour toute branche, si la somme des sauts jusque là est un nombre inférieur à 9, alors il y a 2 sauts possibles, avec des probas 1/3 et 2/3,
mais si la somme des sauts jusque là donne 9, alors on a 100% de chance que le dernier saut soit un simple saut.

100% au lieu de 67%, pour une grande proportion des chemins, ça donne un résultat assez différent au final.

oui c'est bien ce que je pensais ensuite ... ne vous inquiétez pas ...

tu as fait un arbre ? à 10 niveaux comme ça !!
j'aurai bien aimé aussi

en fait j'y ai pensé dès le début mais vu l'ampleur de la tache et n'écoutant que mon courage qui ne me disait pas grand chose ... ben j'étais d'accord avec lui !! et donc je me suis abstenu d'agir ...

ensuite la deuxième solution certaine est bien sûr de faire un algo très propre qui donnerait bien sûr aussi la bonne réponse ... mais mon courage étant parti se reposer pendant que j'allais nettoyer mon jardin ... ben j'ai laissé tomber ...

ensuite j'ai essayé de réfléchir ... mais bon mon miroir fait ça mieux que moi ...

et donc je mets trompé (comme dirait mes élèves) ...

merci à tous

L'arbre se simplifie bien.
Après le 1er saut, on a 2 options
Après le 2ème saut, on a 2^2 options, mais 2 des 4 options conduisent à la même situation, on est sur la marche n°2, 3 ou 4.
Et pareil à chaque fois. Le nombre d'options ne se multiplie pas par 2, mais on ajoute 1 seule option à chaque fois.

Avec un tableur, je ne sais plus combien de temps j'y ai passé, mais disons 10 ou 15 minutes.
En vérifiant à chaque fois que la somme des pourcentages donne 100, pour ne pas devoir tout refaire en cas de faute de frappe ou un truc du genre !

re... voici les proba cherchées

P(S=1)=P(S=2)=....P(S=4)=0
P(S=5)=0.0415
P(S=6)=0.097
P(S=7)=0.329
P(S=8)=0.377
P(S=9)=0.17
P(S=10)=0.02557

ce qui donne une esperance d'environ   7.7

S etant la variable aleatoire égale au nombre de sauts

(valeurs obtenues avec un programme )

Pour revenir à mon histoire d'arbre, j'avais fait un arbre complet, mais on peut simplifier.
Pour les 5 premiers sauts, il n'y a aucune embrouille, le résultat au bout de 5 sauts suit une loi binomiale, simple.
Position au bout du 5ème saut.
5 proba=13.2%
6 : 32.9%
7 : 32.9%
8 : 16.5%
9 : 4.1%
10 : 0.41%

Dans mon précédent raisonnement, j'avais fait tout un arbre, pour arriver à ce même résultat.

A partir du 6ème saut, il y a des 'embrouilles'.
Si je suis déjà à la 10ème marche après le 5ème saut, la montée est finie.
Si je suis à la 9ème marche, je suis sur que ce 6ème saut sera un saut d'une marche.
La proba d'arriver à la 10ème marche après le 6ème saut est donc 4.1% +(1/3)*16.5%

Position après 6 sauts :
marche n°6 : 8.8%
n°7 26.3%
n°8 32.9%
n°9 21.9%
n°10 9.6%
et en plus, on a le cas où on était arrivé à cette 10ème marche, mais après le 5ème saut : 0.4%

Position après 7 sauts :
Marche n°7 5.9%
n°8 20.5%
n°9 30.7%
n°10 32.9%  ... plus les cas où on est arrivé en 5 ou 6 sauts.
Etc etc.

On retrouve globalement les chiffres de Flight. J'imagine que quand tu parles de programme, tu parles de simulation sur 1000 ou 10000 montées.

exactement ty59847  j'ai ete jusqu'a  1 000 000 d'essais

je viens de terminer les calculs exacts que voici qui collent parfaitement avec la simu

P(S=10)=(2/3)⁹=0.026
P(S=9)=8(2/3)⁷(1/3) + (2/3)⁸(1/3) = 0,169
P(S=8)=C(7,2)(2/3)⁵(1/3)² +(2/3)⁶(1/3)².7 =0.3755
P(S=7)=C(6,3)(2/3)³(1/3)³+C(6,2)(1/3)³(2/3)⁴ =0.3292
P(S=6)=C(5,1)(2/3)(1/3)⁴+C(5,2)(2/3)²(1/3)⁴=0.0960
P(S=5)=(1/3)⁵=0,00411

Bonjour à tous

Je me trompe peut-être mais le problème ne me semble pas d'une complexité qui empêche une recherche à la main . Il y a grosso-modo deux schémas selon que l'on passe ou non par la marche 9 :



Les chemins rouge et bleus peuvent s'échanger . Il n'y a plus qu'à compter le nombre de chemins pour chaque nombre de sauts ( c'est une simple combinaison ) . Je finis le calcul ce soir si personne ne le fait

Imod

sans faire d'arbres  si  je prend la situation
S=7 sauts
on peut  une sequence du type  :
2  2  2   1  1  1   |  1    avec tout les deplacement possibles des "2" et des"1" avant le trait vertical .
soit  C(6,3)(2/3)³(1/3)³
ou la séquence  :
1   1   1   1    2    2    |   2
soit  C(6,2)(1/3)³.(2/3)⁴

soit P(S=7)=C(6,3)(2/3)³(1/3)³+C(6,2)(1/3)³.(2/3)⁴

C'est exactement ce que je voulais dire , n'est-ce pas plus clair avec deux branches d'arbre ?

Imod

D'une part toutes les façons d'obtenir 9 en combinant des 1 et des 2.
D'autre part toutes les façons d'obtenir 8 en combinant des 1 et des 2, et on ajoute une dernière étape qui est un saut de 2.  
Oui, ça a l'air exact, et un peu plus simple du coup.

La démarche 'pédagogique' est intéressante.
Etape 1 : 10 marches, c'est peu, on fait un arbre.
Etape 2 : Au fait, les 5 premiers niveaux de l'arbre sont totalement simple, pas la peine de détailler chacun de 5 premiers niveaux, on sait donner les résultats précis et les probas associées après 5 sauts
Etape 3 : On voit qu'il faut simplement calculer 2 lois binomiales, et les combiner comme il faut.

Bonsoir,
Oui ty59847 et Imod, on peut séparer en deux cas.
Je traduis par :
1) Le dernier saut est d'une marche et sa probabilité est 1.
2) Le dernier saut est de deux marches et sa probabilité est 1/3.

Je regarderai demain si on trouve bien une somme de probabilités égale à 1...

Bonjour,
J'ai simplifié le problème au maximum...
La séquence la plus probable est  112
Utilisons  la deux fois:112112 nous sommes à la 8 ème marche.
La grenouille n'est pas un robot et voit le haut de l'échelle et donc
ne gaspille pas un saut ,un double lui suffit.
Donc 7 sauts me semble  la réponse .

J'ai développé mes calculs et je retrouve les résultats de Flight on obtient .

Imod

Bonjour,
Je trouve aussi les mêmes résultats que flight à 18h02 expliqués à 18h19.
Et la somme fait bien 1

Et je trouve le même résultat que Imod à 9h12

Si la grenouille est un robot ,la réponse convient,mais comme elle
est consciente,jamais  elle ne fera  les deux derniers sauts de 1 marche pour la neuvième et dixième.
Je postule donc qu'elle fera un double réduisant à 7 le nombre de sauts.

Ou alors elle est assez stupide pour faire un saut de deux marches même quand elle n'est plus qu'à une marche du haut de l'escalier

Etape 4:

Soit la matrice de transition telle que soit la probabilité de passer de la marche à la marche en un saut.

Soit la probabilité d'être sur chacune des marches après sauts. On a

Note: la première marche est la marche 0 qui est en fait le sol.

On a .
Le nombre attendu de sauts pour arriver sur chacune des marches est donnée par .
Où est la matrice identité.

En particulier, le dernier élément de est le nombre de sauts attendus pour arriver sur la dernière marche.

Ça se code très facilement:

Ça fait un bout de temps que je suis votre conversation mais je n'avais pas encore eu le temps de réagir. Voilà qui est fait

Une remarque qui n'a rien à voir avec les développements de LittleFox . Flight a les doigts qui ont manifestement fourché sur le clavier quand il a tapé son titre : on ne peut pas lui rendre une meilleure allure ?

Imod

C'est fait

Bonjour,

je n'avais pas encore prisle temps de chercher l'exercice mais on peut généraliser à un escalier de n marches.

Si on note le nombre de sauts pour gravir un escalier de n marches et si alors on montre facilement la relation de récurrence vérifiée par :

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On peut même généraliser encore plus avec un escalier de n marches et la probabilité de monter deux marches à la fois égale à p (donc 1-p pour une marche).

L'espérance de a une expression très simple :

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@jandri
Jolie récurrence. J'avais essayé la même mais mon était l'espérance du nombre saut pour arriver à la marche . C'était une erreur.
La probabilité de venir par un saut de 1 ou 2 marches n'est pas la même que la probabilité de partir avec un saut de 1 ou 2 marches.

Comment démontre tu cette récurrence?

@LittleFox

c'est simplement le calcul de l'espérance conditionnelle en tenant compte des deux possibilités pour le premier saut.

Ah oui je réfléchissais sur le mauvais bout

Voici une autre démonstration pour le calcul de , désignant le nombre de sauts pour gravir un escalier de marches (avec la probabilité de monter deux marches à la fois).

On introduit la variable qui vaut si la marche n° est atteinte, si on a sauté la marche n°.

Soit .
On a d'où l'on déduit (suite arithmético-géométrique) : .

Avec on retrouve la valeur de .