Bonsoir imod

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Si est une telle droite on a nécessairement


la densité du groupe donne

qu'on peut aussi écrire ... _{sauf erreur de ma part bien entendu}

Bonsoir Imod.

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est dense dans donc quelque soit le réel a  il existe un rationnel r tel que
Il n'y a donc pas de droite qui ne rencontre pas un disque.

Bonjour,

On peut déjà voir (sur un papier millimétré par exemple ) qu'aucune  droite passant par l'origine n'échappe à la rencontre avec un point de coordonnées.

Bonjour,
@dpi,
Que penser de la droite d'équation y = x2 ?

Bravo à Elhor_abdelali , @Verdurin , c'est ça en un poil plus subtil

Un autre argument que celui de Sylvieg pour contredire Dpi : si toute droite passant par l'origine rencontrait un point à coordonnées entières alors le nombre de droites du plan passant par O serait dénombrable

Imod

Mon observation était pratique mais évidemment avec des a irrationnels....
Toutefois avec a=2
On aura touché un disque avec x=195025

Dur dilemme... D'un côté, les points de coordonnées entières sont de plus en plus "nombreux" lorsqu'on s'éloigne (par tranche angulaire), mais d'un autre côté, les boules paraissent de plus en plus petites par rapport à l'origine
Je n'ai pas réussi à trancher avec mes calculs, mais je dirais qu'il est impossible de tracer une telle droite

Bonjour,
Tout dépend de la taille du point:
Ici Imod nous donne  rayon 1/1000000 et par exemple avec a=2   challenge proposé par Sylvieg j'ai trouvé x=195025  ,la droite traverse le "point".

Bonjour,

je ne suis pas d'accord avec le calcul de dpi
le point "le plus près" de la droite (195025, 275807)

la distance entre ce point et la droite y = x2 est

valeur corrigée

(formule )
il faut donc aller un cran plus loin dans l'approximation de 2, à savoir 665857 / 470832 :

Je pense que l'ordonnée est au nord du bord du disque ,mais que la droite passe comme sur  le dessin.

De toute façon il y aura d'autres contacts par exemple x=1136689

Raah
déja tes valeurs sont fausses par erreur de recopie.
c'est 275807) et pas 257807
(et j'ai recopié ta valeur dans mon code LaTeX, par contre mes calculs sont avec la bonne valeur)

ensuite je pense que ton schéma est faux
sans doute tracé avec une précision insuffisante (1 carreau = 10^-6 d'après ton cercle, supposé de centre (195025, 275807)
mais avec quelle incertitude est tracée ta droite ??
un zoom de 10⁶ rend fou n'importe quel logiciel.
on ne peut tracer la réalité que par des calculs très précis (très largement plus précis que 10^-6)
si on fait le zoom par calcul, on trace la droite 10^-6 y + 275807 = (10^-6 x + 195025)sqrt(2)
_{(edit : signes + et pas -)}
l'échelle est alors de 1 carreau pour 10^-6, et centré sur le point (195025, 275807)
ça donne ça :


on rate le disque de peu, mais c'est raté tout de même.
(voir le calcul exact précédent de la distance de A à la droite)

encore une erreur de recopie dans un texte



figure corrigée avec plus aucune valeur tapée à la main dans un texte, que les valeurs prises dans les coordonnées elles-mêmes

et du coup il suffit de mettre d'autres valeurs dans les coordonnées pour que tout le calcul suive :

OK pour l'erreur de recopie.
Je pense que si on  prend x=1 366 689  on peut réduire encore le diamètre du disque-point y= 1 607 521.00000031
On peut donc dire que  selon le diamètre du point on peut trouver des droites sécantes.

j'ai louché lire x=1 136 689

c'est en fait lié au "réduites" de 2 qui sont les nombres rationnels P/Q qui sont des "meilleures approximations" de 2.

on les obtient "directement" via la représentation en fraction continue de 2 :


les premières réduites sont ;


puis
(edit : indices corrigés)

ce qui donne
1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1393/985, 3363/2378, 8119/5741, 19601/13860, 47321/33461, 114243/80782, 275807/195025, 665857/470832, 1607521/1136689 etc
à partir de 665857/470832 la distance entre le point et la droite devient < 10^-6
(il s'en faut de peu pour la réduite d'avant, voir calculs précédents)
mais à partir de cette valeur on trouve des approximation à distance point/droite < 10^-6 qui ne sont pas forcément des réduites ...
(des approximations de 2 meilleures que l'avant dernière réduite mais pas meilleures que la dernière réduite)

un programme par force brute donne :

665857 / 470832 , d = 0.43 10^-6
941664 / 665857 , d = 0.61 10^-6
1331714 / 941664 , d = 0.87 10^-6
1607521 / 1136689 , d = 0.18 10^-6
2273378 / 1607521 , d = 0.25 10^-6
2549185 / 1802546 , d = 0.79 10^-6
2939235 / 2078353 , d = 0.69 10^-6
3215042 / 2273378 , d = 0.36 10^-6
3880899 / 2744210 , d = 0.07 10^-6

etc
(en bleu les fractions qui sont des réduites)

Bonjour,
Pour tester,j'ai voulu voir avec a=3 :
On a un contact pour x=1 542 841.
Avec a= --->x=1 360 120

Si y = ax et les réduites de a sous la forme P_n/Q_n
on a


et donc la distance d_n de A_n (Q_n, P_n) à la droite y = ax encadrée par :


en particulier cette distance sera de l'ordre de 10^-6 pour Q_n de l'ordre de 10⁶

en fait c'est garanti dès que
ainsi avec a = 2 on a 10⁶/3 = 577350
la première réduite avec Q > 577350 est Q_n+1 = 1136689
et la précédente Q_n = 470832 est la première réduite garantissant d_n < 10^-6

et "il se trouve" effectivement que la précédente 195025 ne convient pas,

avec
soit 0.5 10^-6 < d < 1.2 10^-6
l'intervalle est trop grand pour qu'on puisse garantir que c'est > 10^-6 sans calculer effectivement ce d pour le rejeter

Suite
Pour a=--->x=514 229

j'attends que Imod donne une contrainte avec un disque plus petit...
car pour le moment avec les pires irrationnels on trouve des rencontres

Bonjour,
Je crois avoir compris qu'il y aura toujours rencontre, même avec des disques plus petits.

Par ailleurs, je me demande s'il est possible de trouver une démonstration plus élémentaire que celle de elhor_abdelali

Bonjour,

Ne peut-on invoquer l'une des façons de construire   (suites de Cauchy de rationnels)? Mais est-ce élémentaire?

Entre deux matchs de Rugby...
pour a =e--->x=398 959

Pourrait-on voir l'exercice d'un autre sens ? Je m'explique : chaque boule de rayon 1/100000 couvre une partie de l'angle à l'origine. Plus cette boule est éloignée, plus elle couvre une petite partie de l'angle. Est-ce qu'en ajoutant les boules une par une après les autres, on réussit à couvrir tout l'angle ?

On pourrait regarder par exemple l'évolution de la couverture d'angle à mesure qu'on ajoute des boules, en trouvant une bonne manière de les numéroter, et essayer de calculer une limite

Et quid d'une dimension quelconque ?

Une question plus simple en gardant des rayons  de 1/1 000 000 et la dimension 2 .

Quelle est la plus petite sphère de laquelle aucun rayon passant par O ne pourra s'échapper sans heurter un disque ?

Imod

PS : La sphère est bien sûr centrée en O .

Imod

Bonjour,
Pour la sphère,je laisse la main ;mais je pense qu'on aura des lieux
de rencontre...
En attendant pour quelques droites avec des a assez irrationnels ,
je donne les valeurs de x les plus petites en postulant qu'il doit y
avoir des valeurs encore meilleures ...
.

Bonsoir,

"Plus simple" était sans doute mal choisi , disons "moins difficile"

Une approche plus expérimentale : chercher le plus grand rayon évitant les disques .

Un exemple avec un rayon  1/4 :

Imod

Toujours dans l'espoir de trouver la hauteur du "ciel" , j'ai regardé avec des disques de rayon 1/8 :



Une recherche possible serait de trouver la position du point limite ( en rouge ) dans le huitième de disque en fonction de la taille des disques .

Imod

J'ai regardé le problème de la hauteur du ciel sous un autre angle en cherchant le plus grand rayon autorisant l'accès au disque de centre M(q,p) avec p et q premiers entre eux .



Sauf erreur ce rayon vaut

A suivre donc ...

Imod

A y regarder de plus près il semblerait ( toujours sans certitude ) que . On aurait alors la hauteur du ciel égale à l'inverse du rayon des disques ( au rayon près ) soit environ 1 000 000 pour le problème initial .

Imod

C'est un problème sympa à programmer
Un beau mélange de mathématiques et d'algorithmie.

Je confirme (empiriquement) que l'horizon du ciel est proche de l'inverse du rayon des soleils (en 2D):



Le code est disponible ici:

Merci pour la confirmation , en fait la démonstration du résultat annoncé plus haut n'est pas très difficile . Bien sûr si on veut la hauteur exacte du ciel pour un rayon donné , c'est plus compliqué mais fort peu intéressant

Imod