Bonjour lyceen,
Ce qui est aussi intéressant, c'est de le démontrer

Bonjour et merci pour ce classique

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On remarque que cela ne fonctionne pas si N1 et symétrique  ce qui attire l'attention sur b
|100 a+10b+c-100c-10b-a | =|99(a-c)|
On n'obtiendra jamais 1089 mais 0
Dans tous les autres cas:
*l'inverse sera aussi multiple de 99
*la somme des multiples est toujours 11
Donc  11 x99 = 1089

Avec 314 au départ, D₁ = 99 ; et il me semble que ça se casse la figure.

pour 314 --->D1=099 et ça marche

Pas avec D1 = 99

Mais lyceen n'aurait pas du dire  3 chiffres non nuls  

Bonjour !

Sylvieg, pas de soucis, je retranscrirai la démonstration, je l'ai déjà faite, elle m'a fait transpirer. Pour votre exemple, il fonctionne, j'aurais dû dire pour D1 que si le nombre est inférieur à 100, il faut bien prendre en compte la centaine nulle qui devient l'unité.

Dpi, pas de chiffre nul pour la construction de N1 et N2 en effet, même si cela fonctionne. Ensuite, j'ai bien insisté sur trois chiffres distincts non nuls pour N1 et N2 pour écarter le cas particulier d'un palindrome (un peu de zèle pour montrer mon riche vocabulaire ). Votre remarque est cependant juste.

>lyceen
j'ai volontairement pris le cas du palindrome pour souligner l'importance de b .

@lyceen,

Voici la démonstration que je soumets à votre validation :

Soient trois chiffres non nuls et distincts , et tels que :



Soit


Soit



Or

Donc :



Soient respectivement et les nombres de centaines et dizaines et l'unité de  :



On en déduit que :



Cela permet de déterminer que :





D'où :



J'espère ne rien avoir oublié et que cette démonstration soit suffisante.

Je retiens mon souffle.

Tu peux respirer

_{* Modération > Message édité car répétition du cas 314. *}

Je disais :
D1= 99|(a-c) |  
D2=99(11-|(a-c)|)
D1+D2 =99x11 =1089

exemple N1+ 236-->|2-6| -->D1=4x99=396
et  11-4 =7x99=D2=693
D1+D2=1089

Je n'avais pas utilisé la valeur absolue dans ma démonstration.
Je me contentais d'un échange éventuel de N₁ et N₂ ; ce que je trouve moins "joli".
Voici ce que ça donne avec l'amélioration de la valeur absolue, et en reprenant les mêmes notations :

N₁ = 100a + 10b + c et N₂ = 100c + 10b + a avec a c .
D₁ = |N₁ - N₂| = |100(a-c) + c-a| = 99|a-c|
On transpire un peu pour faire apparaître les chiffres de D₁ :
D₁ = 100(|a-c| - 1) + 109 + (10 - |a-c|)
D'où
D₂ = 100(10 - |a-c|) + 109 + (|a-c| - 1)
D₂ = 1089 - 99|a-c|
Et enfin
D₁ + D₂ = 99|a-c| + 1089 - 99|a-c| = 1089 .

Franchement, je ne vois pas une grosse différence.

J'ai simplement tendance à trop écrire... Sans doute des passages inutiles qui rallongent ma démonstration.